人教版高中数学必修二《第六章 平面向量及其应用》单元教学设计

人教A版必修二《第六章平面向量及其应用》教学设计6.1平面向量的概念【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等【教学目标与核心素养】课程目标学科素养了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.D、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.E、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.1.数学抽象：平面向量的概念；2.逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量；3.直观想象：向量的几何表示；【教学重点】：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.【教学难点】：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.【教学过程】教学过程教学设计意图一、情景引入1.老鼠以10m/s的速度向东跑，猫以50m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量.2.问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向。二、探索新知（一）向量的实际背景与概念1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？【答案】不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。2.（1）向量与数量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.练习：下列量不是向量的是（）质量（2）速度（3）位移（4）力（5）加速度面积（7）年龄（8）身高【答案】（1）（6）（7）（8）（二）向量的几何表示探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？1.有向线段的定义在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作.思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？【答案】三个要素：起点、方向、长度.向量的几何表示画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如。A(起点)A(起点)BA(起点)A(起点)B（终点）B（终点）aaA(A(起点)B（终点）aA(起点)B（终点）a注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.数学中的向量也叫自由向量.（2）.有向线段与向量的区别：有向线段：三要素：起点、大小、方向。向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。4.向量的模向量的大小，就是向量的长度（或模），记作或记作。思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？【答案】可以为0,1，不能为负数。5.零向量：长度为0的向量，记作.单位向量：长度等于1个单位的向量.说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.（2）注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）（三）.相等向量与共线向量思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；1.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.2.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.3.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.牛刀小试;填空：（1）平行向量是否一定方向相同？（）（2）不相等的向量是否一定不平行？（）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）【答案】（1）不一定（2）不一定(3零向量（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同（7）不一定例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与向量、、相等的向量.通过生动的例子及物理知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过物理量路程与位移引入向量概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。提高练习，进一步巩固向量的概念。通过探究，引入向量表示，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，进一步理解向量的表示。提高思考，引入特殊的向量，增强对概念的理解，提高学生分析问题的能力。通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。通过练习，进一步巩固所学的向量有关知识，提高学生解决问题的能力。通过例题的讲解，让学生进一步理解共线向量、相等向量，提高学生解决与分析问题的能力。三、达标检测1．下列说法中正确的个数是()①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0 B．1C．2 D．3【解析】只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．【答案】B2．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤【解析】由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选D．【答案】D3．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A．e1＝e2 B．e1∥e2C．|e1|＝|e2| D．以上都不对【解析】单位向量的模都等于1个单位，故C正确．【答案】C4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．【解析】由向量的相关概念可知④⑥正确．【答案】④⑥5.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．【解】由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的长度相等且方向相同，所以与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(ED,\s\up6(→)).通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.向量及向量的有关概念、表示方法；2还知道有两个特殊向量；3.学了向量间的两种关系，即平行向量（共线向量）和相等向量五、作业习题6.12,3题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本课是“平面向量”的起始课,具有“统领全局”的作用.因此,本课的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面:(1)形成平面向量的概念,特别是要让学生体会“向量集形与数于一身的特征;（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量(3)通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路(思路)。许多老师认为本课概念多但不难理解,多次观摩本课的教学,看到的大多是沉闷的课堂,教师讲得乏味,学生学得无趣,事实上,许多概念课都有这种弊端.有的老师可以把解题讲得头头是道,但概念教学就没词、没招了.我认为,概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的理由让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾,激发认知冲突,把学生卷入其中;另方面要让学生有参与的时间与机会,特别是有思维的实质性参与6.2.1向量的加法运算【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解向量加法的意义；B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的另两个运算法则；C.理解向量的运算律；D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强学生的应用意识。1.数学抽象：向量的加法；2.逻辑推理：向量的加法法则；3.数学运算：求向量的和；4.直观想象：向量加法的集合意义。【教学重点】：两个向量的和的概念及其几何意义；【教学难点】：向量加法的运算律。【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？【答案】向量：既有方向又有大小的量。平行向量：方向相同或相反的向量。相等向量：方向相同并且长度相等的向量。用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？【答案】向量的大小：有向线段的长度。向量的方向：有向线段的方向。零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。二、探索新知思考1：如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？【答案】从运算的角度看，可以认为是与的和，即位移、可以看作向量的加法。1.已知向量和，如图在平面内任取一点O，作，则向量叫做和的和，记作．即。求两个向量和的运算叫做向量的加法.根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．【口诀】首尾相连首尾连。思考2：某物体受到F1，F2作用，则该物体所受合力怎么求？【答案】从运算的角度看，可以认为是与的和，即力的合成可以看作向量的加法。2.向量加法的平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量和为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是和的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．【口诀】起点相同，对角线为和。思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？【答案】一致。平行四边形法则中利用了相等向量的平移。注：向量的加法运算结果还是向量对于零向量与任一向量．我们规定。例1.如图，已知向量和，求作向量。解：探究1：如果向量和共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能做出向量吗？【答案】（1）当和同向时，（2）当和反向时，探究2：结合例1，探索之间的关系。【答案】由例1和探究1可得，当和反向或不共线时，；当和同向时，。所以，。结论：一般地，有。探究3：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？【答案】在平行四边形ABCD中，，所以。在图（2）中，，，所以，。结论：向量加法的交换律和结合律，例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹角来表示）。解：（1）如图所示，表示船速，表示水速，以AD、AB为邻边作平行四边形，则表示船实际航行的速度。在中，，所以，，因为，，所以。所以，船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。通过复习上节所学，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，由质点的位移引入向量加法的三角形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过口诀，让学生更容易识记法则。通过思考，由力的合成引入向量加法的平行四边形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，进一步理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过例题讲解，让学生理解怎样用向量的三角形法则与平行四边形法则求向量的和，提高学生解决问题的能力。通过探究，求共线向量的和，进一步理解向量的求和法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过探索之间的关系，进一步理解向量的求和法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过探究，结合向量的求和法则推导加法运算律，进一步理解向量的求和法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过例题进一步理解的运算，用向量解决实际问题，提高学生用向量解决问题的能力。三、达标检测1．化简eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的结果等于()A．eq\o(QP,\s\up6(→))B．eq\o(OQ,\s\up6(→))C．eq\o(SP,\s\up6(→))D．eq\o(SQ,\s\up6(→))【解析】eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(OQ,\s\up6(→)).【答案】B2．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则一定有()A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是正方形D．四边形ABCD是平行四边形【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD一组对边平行且相等，故为平行四边形．【答案】D3.（多选题）下列命题中正确的命题是()A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a；B.在平行四边形ABCD中，必有eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；C.若eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点；D.若a，b均为非零向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|.【解析】选项A，正确；选项B，在平行四边形ABCD中，BC∥AD，且BC＝AD，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，正确；选项C，A，B，C，D可能共线，所以错误；选项D，为向量的三角不等式，所以正确的命题为ABD．【答案】ABD4．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的最大值为________．【解析】由|a＋b|≤|a|＋|b|知|a＋b|的最大值为2.【答案】25．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.【解】在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，如图，则由向量加法的三角形法则，得eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(OC,\s\up6(→))即为所作向量．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.向量加法的三角形和平行四边形法则；2.；3.向量加法的运算律。五、作业习题3.16,7,9题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本节课教学环节严谨,学案课前预习一一课件动画引入一一合作探究(三个探究问题)一一个体展示——例题精讲一一课堂练习一课堂小结。在整个教学环节中,合作讨论让整个课堂更活跃了,更增加了课堂趣味性。还有课后练习展示答案,可以很淸楚的掌握全班同学对本节课所学知识的掌握情况,从而调整课下和下一节的辅导和教学。总体说这节课比较成功,主要有以下几个亮点：1.形式上,黑板与多媒体结合有效防止视觉疲劳,动手与思考结合形成主动学习，主动接受老师给予，与书本探究结合有利于课后复习和作业。2、教学方法采用多媒体教学,动画效果非常逼真,三角形法则和平行四边形法则做和的几何画法让学生得到了感性和理性的认识3、培养目标明确,除了学习物理中的数学外,还参透培养演绎思维,化归转化思想。6.2.2向量的减法运算【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第一册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第3课时。向量的减法运算是平面向量线性运算的一种。在学完向量的加法运算及几何意义后,本节课是对上节课内容的一个转换。学生在上节课已经学习了平面向量的加法运算及几何意义,会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量,具备了一定的作图能力。这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。类比数的减法运算时,应让学生注意对“被减数”的理解。本节主要学习相反向量，向量的减法的三角形法则。通过类比数的减法,得到向量的减法及几何意义,培养了学生的化归思想和数形结合思想。这样,不但能帮助学生加深对向量加法运算及几何意义的理解,也为后面学习向量的数乘运算及几何意义提供了指导性的思想。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用；B.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义；C.会求两个向量的差；D.培养学生的类比思想、数形结合思想及划归思想。1.数学抽象：向量减法的定义；2.逻辑推理：向量减法的法则；3.数学运算：求两个向量的差；4.直观想象：向量减法的几何意义。【教学重点】：向量减法的运算和几何意义；【教学难点】：减法运算时差向量方向的确定。【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新1.向量加法的三角形法则？注意：各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.2.向量加法的平行四边形法则？注意：起点相同.共线向量不适用。二、探索新知思考1：你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？【答案】实数a的相反数记作-a.思考2.两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？如何定义向量的减法呢？【答案】如。1.相反向量的定义：设向量，我们把与长度相同，方向相反的向量叫做的相反向量。记作：。规定：的相反向量仍是。练习：（1）；；；设与互为相反向量，那么，=，=。【答案】（1）（2）（3）向量减法的定义：向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即。求两个向量差的运算叫做向量的减法。探究：向量减法的几何意义是什么？设则在平行四边形OCAB中，思考3：不借助向量的加法法则你能直接作出吗？在平面内任取一点O，作则。即可以表示为从向量的终点指向的终点的向量，这就是向量减法的几何意义。注意：（1）起点必须相同；（2）指向被减向量的终点。思考4：如果从的终点指向终点作向量，所得向量是什么呢？【答案】思考5：当与共线时，怎样作呢？当与方向相同时，在平面内任取一点O，作则。当与方向相反时，在平面内任取一点O，作则。例1.如图，已知向量求作向量解：练习：填空：，（2），（3），（4），（5），（6）。【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）例2.在平行四边形ABCD中，，你能用表示向量吗？通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，由实数的减法引入向量的减法，建立知识间的练习，提高学生分析问题能力。通过练习，让学生进一步理解相反向量的定义，巩固所学知识。通过探究思考，学习怎样求两向量的减法，提高学生分析问题的能力。通过思考进一步完善向量的减法，让学生进一步理解向量的减法，提高学生的观察、概括能力。通过例题的讲解，让学生进一步理解怎样作两个向量的差，提高学生解决与分析问题的能力。通过练习，进一步巩固向量的减法，提高学生运用所学知识解决问题的能力，提高学生的运算能力。三、达标检测1．在△ABC中，若eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则eq\o(CA,\s\up6(→))等于()A．aB．a＋bC．b－aD．a－b【解析】eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b.故选D．【答案】D2．如图，在四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝()A．a－b＋c B．b－(a＋c)C．a＋b＋c D．b－a＋c【解析】eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.【答案】A3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))B．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))C．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))【解析】因为O，E，F三点不共线，所以在△OEF中，由向量减法的几何意义，得eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))，故选B．【答案】B4．已知a，b为非零向量，则下列命题中真命题的序号是________.①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同；②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；③若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模；④若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同．【解析】当a，b方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当a，b方向相反时有||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此①②④为真命题．【答案】①②④5．化简(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．【解】法一：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.法二：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.相反向量；2.向量减法的概念；3.向量减法的几何意义。五、作业习题6.24（5）、（6）、（7）通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】学生在上节课中学习了向量的定义及表示,相等向量,平行向量的定义,知道向量可以自由移动,更重要的是已经学习了加法运算及其几何意义,这是学习本节内容的基础。学生对数的运算了如指掌,但是对于向量的加减法运算,学生可能不明白向量加减的道理,为此,我在案例设计中,首先以动画回顾向量加法的实际含义。在此之后提出相反向量的定义及向量的减法定义。通过定义,把向量的减法运算转化为加法运算。这样起到了承上启下,轻松引入的作用。6.2.3向量的数乘运算【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。1.数学抽象：实数与向量的积的定义；2.逻辑推理：利用共线向量定理证明三点共线、两线平行；3.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；4.直观想象：共线向量定理。【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新向量的三角形法则。特点:首尾相接，连首尾。2.向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。3.向量减法的三角形法则。特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。二、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？，记作。即。的方向与的方向相同，。类似地，，其方向与的方向相反，。1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。说明：（1）当时，。（2）。2.向量数乘的运算律探究2：设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）（2）（3）特别地，有向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。注：向量的线性运算的结果仍为向量。。例1：计算(1)(2)(3)注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。例2.如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，用向量表示探究3：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？【答案】当的方向相同；当的方向相反。3.共线向量定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。思考：为什么要是非零向量？可以是非零向量吗？【答案】若，则。可以是。牛刀小试：判断下列各小题的向量是否共线。。【答案】（1）共线（2）共线（3）不共线例3.如图，已知任意两个非零向量，试作，，你能判断A、B、C三点之间的位置关系，并证明你的猜想。结论：证明（判断）A、B、C三点共线的方法：且有公共点B,A、B、C三点共线.例4.已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数t的值。通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生类比推理的能力。通过探究，推出数乘向量的定义，提高学生分析问题、归纳问题的能力。通过探究，得到几个向量之间的关系，进一步归纳出数乘向量的运算律，提高学生的分析问题、归纳问题的能力。通过特例进一步理解数乘向量的运算律，提高学生解决问题的能力。通过例题进一步熟悉数乘向量的运算律，提高学生利用知识解决问题的能力、运算素养。通过例题进一步熟悉数乘向量的运算律与向量的运算，提高学生利用所学知识解决问题的能力、运算素养。通过探究，推出共线向量定理，提高学生归纳能力，概括能力。通过思考，进一步理解共线向量定理。通过练习，巩固所学知识，提高学生运用所学知识解决问题的能力。通过例题的讲解，让学生进一步理解共线向量定理，提高学生解决与分析问题的能力。三、达标检测1．下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a＋3bC．|3a|D．eq\f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)【解析】向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．【答案】C2．下列计算正确的个数是()①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.A．0B．1C．2D．3【解析】因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．【答案】C3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,4)b－c))等于()A．a－eq\f(1,4)b＋2c B．5a－eq\f(1,4)b＋2cC．a＋eq\f(5,4)b＋2c D．5a＋eq\f(5,4)b【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,4)b－c))＝(3a－2a)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－\f(3,4)b))＋(c＋c)＝a－eq\f(1,4)b＋2c.故选A．【答案】A4．O为平行四边形ABCD的中心，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e2，则3e2－2e1＝________．【解析】设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).【答案】eq\o(OD,\s\up6(→))(或eq\o(BO,\s\up6(→)))5．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC．【证明】∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线．又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.数乘向量的定义；2.数乘向量的运算律；3.共线向量定理。五、作业习题6.28.（2）（3）（4）,9题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】与好的问题设计相联系,在课堂教学中还要考虑以问题为主要载体的教学内容的选择,以及与问题的呈现时间、呈现空间和呈现方式相联系的教学情境设计,使教学过程达到最优。1、本节课的教学设计从学生的角度出发,采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成四个步骤层次分明(1)引入定义(2)验证运算律(3)探究共线定理(4)共线定理的应用。教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。2、在教学过程中,学生用于探究的时间相对较少了点,同时还发现学生在向量的书写和计算上存在不少问题,花了较多的时间让学生作过手训练,导致最后时间显得过于紧张,因此对于教学时间节奏的把握还不是特别的好,需要在以后的教字中多加打磨。3、在教学中重基础知识,重基本方法,重基本技能,重教材,重应用,重工具作用,不拔高,不选偏题和难题,遵循学生认知规律和按大纲要求进行。4、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点,提高“向量法”的运用能力,充分发挥工具作用在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示,掌握向量的数乘运算,理解向量运算和实数运算的联系和区别,强化本章基础。6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；B.会求平面向量的数量积、投影向量；C.熟记平面向量数量积的性质；D.能运用数量积的性质解决问题；E.通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、发展的过程过程，培养学生的思维习惯。1.数学抽象：数量积的定义；2.逻辑推理：数量积的性质；3.数学运算：求平面向量的数量积；4.直观想象：投影向量。【教学重点】：平面向量数量积的定义及投影向量；【教学难点】：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.向量的数乘的定义：【答案】一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。2.向量的数乘运算律：【答案】设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）（2）（3）二、探索新知思考1：一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？【答案】思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则叫做向量的夹角。显然，当时，同向；当时，反向。如果的夹角是，我们就说垂直，记作。思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。2.数量积的定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即。规定：零向量与任一向量的数量积为。说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.中间的“”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“”；运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[0°，180°]。思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？【答案】当0°≤θ＜90°时，为正；当90°＜θ≤180°时，为负；当θ=90°时，为零。结论：数量积符号由的符号所决定。例1.已知的夹角，求。解：例2.设，求的夹角。解：投影向量的定义：如图(1)设是两个零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影(project).,叫做向量在向量上的投影向量。如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则就是向量在向量上的投影向量。探究：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？【答案】。综上可得，对于任意的，都有。探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则：（1），（3）当向量共线同向时，；当向量共线反向时，。特别地，或。（4）牛刀小试：已知在当时，试判断的形状。【答案】当为钝角三角形；当为直角三角形。通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，由物理知识引入本节知识，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，让学生进一步理解数量积的定义，提高学生理解问题的能力。通过例题巩固数量积的定义，提高学生解决问题的能力。通过探究，进一步理解投影向量，提高学生的观察、概括能力。通过探究，让学生由投影向量来推导数量积的性质，掌握知识间的联系，提高学生的理解、概括能力。通过练习进一步理解数量积的性质，提高学生解决问题的能力。三、达标检测1．在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝()A．20B．－20C．20eq\r(3)D．－20eq\r(3)【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＝5×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20.【答案】B2．设e1，e2是两个平行的单位向量．则下面的结果正确的是()A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1【解析】e1·e2＝|e1||e2|cos<e1，e2>＝±1.【答案】C3．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，且b·a＝0，则△ABC是()A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．无法确定【解析】在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．【答案】C4.已知为单位向量，且的夹角为，求向量在上的投影向量。【解析】向量在上的投影向量为。通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.向量的数量积的定义；2.投影向量；3.数量积的性质;五、作业习题6.210,18题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】通过本节课的教学,我有以下几点体会：(1)让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉刨设问题情景,建立数学模型,让学生经历数学知识的形成与应用,可以更好的理解数学概念、结论的形成过程,体会蕴含在其中的思想方法,增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学习方法。(2)鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者,教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提,教学过程中要发扬民主,要鼓励学生质疑,提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等,要尽可能地让所有学生都能主动参与,提出各自解决问题的方案,并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略,使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。6.2.4向量的数量积第2课时向量的向量积【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握数量积的运算律；B.利用数量积的运算律进行化简、求值；1.数学抽象：数量积的运算律；2.逻辑推理：证明数量积的运算律；3.数学运算：运用数量积的运算律求值；【教学重点】：数量积的运算律；【教学难点】：利用数量积的运算律化简、求值。【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新1.向量的数乘的运算律【答案】设、为任意向量，、为任意实数，则有：（1）（2）（3）2.平面向量的数量积定义：平面向量的数量积的结果是数量。探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律证明：（1）因为，所以，。（2）当一样。因为，同理，当成立。所以，。（3）思考：设是向量，一定成立吗？为什么？【答案】表示与一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，但与不一定共线。所以。结论：向量数量积不满足结合律。例1.对任意，恒有，，对任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）。【解析】例2.例3.已知且不共线，当k为何值时，向量互相垂直？解：互相垂直的充要条件是，即，因为。所以，解得。也就是说，当时，向量互相垂直。通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过探究，让学生证明，讲解向量数量积的运算律，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，总结通过思考，让学生明白向量数量积不满足结合律，提高学生解决问题的能力。通过例题进一步巩固向量数量积的运算律，提高学生运用所学知识解决问题的能力。三、达标检测1．给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝eq\a\vs4\al(0)，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是：________．【解析】由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当a与b的夹角为0时，也有a·b>0，因此⑦错；【答案】①②⑥2.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．【解】设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cosθ＝13|b|2＋12|b|2cosθ，即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cosθ，故有cosθ＝－eq\f(1,3).【答案】－eq\f(1,3)3.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？【解析】由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，知c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝eq\f(29,14)，即m＝eq\f(29,14)时，c与d垂直．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.理解数量积的定义；2.向量数量积的运算律；五、作业习题6.211（1），18题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】在整个探求过程中,充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”并利用它探求新知识。这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有:(1)教师应该如何准确的提出问题在教学中,教师提出的问题要具体、准确,而不应该模棱两可。(2)教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考,何时教师引导学生,何时教师讲授,这是个值得思考的问题。(3)教师要点拨到位，在学生出现问题后,教师要及时点评加以总结,要重视思维的提升,提高学生的数学能力和素质。(4)课堂语言还需要进一步提炼。在教学中,提出的问题,分析引导的话应具体,明确,不能让学生不知道如何回答,当然有些问题我也考虑过该如何问,只是没有找到更合适的提间方法,这方面的能力有待加强。6.3.1平面向量基本定理【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二次承认》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量基本定理及其应用。本节课是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算(向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理)之后的又一重点内容,它是引入向量坐标表示,将向量的几何运算转化为代数运算的基础,使向量的工具性得到初步的体现,具有承前启后的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础本节内容用1课时完成。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解平面向量基本定理及其意义；B.会用基底表示某一向量；C.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。1.数学抽象：平面向量基本定理的意义；2.逻辑推理：推导平面向量基本定理；3.数学运算：用基底表示其它向量；【教学重点】：平面向量基本定理及其意义；【教学难点】：平面向量基本定理的探究。【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.共线向量定理【答案】向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。2.向量的加法法则【答案】三角形法则。特点:首尾相接，连首尾。平行四边形法则特点:同一起点,对角线。二、探索新知探究：如图6.3-2（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？【答案】如图，思考1.若向量与共线，还能用表示吗？【答案】当向量与共线时，。当向量与共线时，。思考2.当是零向量时，还能用表示吗？【答案】思考3.设是同一平面内两个不共线的向量，在中，是否唯一？【答案】假设，即，所以，所以唯一。平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。说明：(1).基底的选择是不唯一的；(2).同一向量在选定基底后，是唯一存在的。(3).同一向量在选择不同基底时，可能相同也可能不同。例1.如图，不共线，且，用表示。解：因为，所以思考4：观察你有什么发现？【结论】如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。例2.如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。证明：设所以，所以。于是是直角三角形。通过复习前面所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过探究，利用向量加法的平行四边形法则，用两个不共线的向量表示另一个向量，引出平面向量基本定理，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，进一步完善结论，推出平面向量基本定理。提高学生分析问题、概括能力。通过说明，让学生进一步理解平面向量基本定理，提高学生理解问题的能力。通过例题练习平面向量基本定理的运用，提高学生解决问题的能力。通过思考，得到结论，提高学生的观察、概括能力。通过例题巩固平面向量基本定理的运用，提高学生用向量知识解决问题的能力。三、达标检测1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)) D．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))【解析】由于eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))不共线，所以是一组基底．【答案】D2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定【解析】∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．【答案】B3．如图，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1) D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)【解析】eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．【答案】A4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)【解析】∵A，B，D三点共线，∴存在实数t，使eq\o(AD,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))，即eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋t(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CA,\s\up6(→))＋teq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－t＝\f(4,3)，,t＝λ，))即λ＝－eq\f(1,3).【答案】C5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.【解】∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝7，,－2x＋y＝－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))∴c＝a－2b.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.平面向量基本定理；2.基底；五、作业习题6.31,11（1）题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】定理部分讲解比较到位,把总结和找关键词的机会给学生,充分发挥了学生的主观能动性,掌握的效果也比较好。为了理解定理中的关键词适当插入思考巩固,效果比较好,帮助学生加深印象。平面向量基本定理的出现如果是由教师直接给出,在定理给出之后让学生观看例题板演然后练习巩固,这样就完全体现不出来新课程的数学教学理念,因为在新课程的理念中重点强调了,教师在进行数学教学时要充分考虑到数学学科的特点,针对不同水平、不同兴趣学生的学习需要,运用多种教学方法和手段引导学生积极主动的学习。6.3.2平面向量的的正交分解及坐标表示【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.会把向量正交分解；B.会用坐标表示向量；1.数学抽象：向量的正交分解；2.逻辑推理：将一向量分解为两个垂直的向量；3.数学运算：求向量的坐标；【教学重点】：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；【教学难点】：平面向量的坐标表示。【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使。我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。探索新知1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？【解析】在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个不共线向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi+yj，则把有序数对（x，y），叫做向量a的坐标．记作a＝（x，y），此式叫做向量的坐标表示．作向量，设，所以。【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。两向量相等时，坐标一样。例1．如图，用基底i,j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标【解析】:由图可知,a=+=xi+yj,∴a=(2,3).同理,b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).通过复习上节所学平面向量基本定理，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，建立点的坐标和向量坐标之间的关系，提高学生分析问题、概括能力。通过例题练习向量的坐标表示，提高学生解决问题的能力。三、达标检测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．()(4)点的坐标与向量的坐标相同．()【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×【解析】(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．(3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．(4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标．2.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝________；eq\o(OD,\s\up6(→))________.【解析】因为eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，－1)，同理eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－1，1)．3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))的坐标．【解析】由题意知B,D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq\f(1,2)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).x2＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y2＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、小结1.向量的正交分解；2.向量的坐标表示；五、作业预习下一节。通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本教案的亮点是用心设置思考题，在学生已有的知识基础上得到要学习的问题，水到渠成，讲练结合。学生在独立或小组讨论中解决问题，很好调动学生的积极性与主动性。6.3.3平面向量的加、减运算的坐标表示【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量加、减运算的坐标表示。前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.学习这一节为以后学习数乘向量的坐标运算、数量积的坐标运算打下基础。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.掌握平面向量加、减运算的坐标表示；B.会用坐标求两向量的和、差；1.数学抽象：平面向量的坐标的概念；2.逻辑推理：平面向量加、减的坐标运算；3.数学运算：求两个向量的和、差。【教学重点】：平面向量加、减运算的坐标表示；【教学难点】：根据平面向量加、减运算的坐标表示求点的坐标。【教学过程】教学过程教学设计意图复习回顾，温故知新1.平面向量的基本定理是什么？若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2、用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y).二、探索新知思考：已知，你能得到的坐标吗？【答案】即同理可得。这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.例1.已知的坐标。解：探究：如图，已知，你能得出的坐标吗？【答案】=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.例2：如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，得到向量加法、减法的坐标表示，提高学生分析问题、推理能力。通过例题讲解，让学生明白怎样求向量加法、减法的坐标运算，提高学生解决问题的