简单逻辑联结词、全称量词与存在量词教案

第4课时简单逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲点击1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、理解全称量词与存在量词的意义；3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定。热点、难点提示1、本部分高考考查的主要内容是全称量词与存在量词，全称命题与特称命题，特别是两种命题的否定命题的写法和判断；2、在高考试题中多以选择、填空题为主，一般不会出现解答题。知识梳理一、简单逻辑联结词（“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.，用…表示命题）1、“且”命题：“且”的理解，可联想集合中“交集”的概念，“”是指“”，“”要同时满足的意思，用“且”联结两个命题构成复合命题“且”。只有“真真”时，“且”为真。2、“或”命题

：“或”的理解，可再考虑并集的概念，“”是指“”，“”其中至少一个是成立的，即“,且”,也可以是“,且”，也可以是“,且”。逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活中的“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”。由“或”联结两个命题p和q构成的复合命题“或”在“真真”、“真假”“假真”时，都真。3、“非”命题

：“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念，“非”有否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非P”。当P为真时，“非P”为假；当为假时，“非”为真。若将命题对应集合，则命题“非”就对应集合在全集U中的补集。注意：1.“非

”命题也叫命题

的否定.下面把常用的一些词语和它的否定词语对照列表如下：原词语等于大于（＞）小于（＜）是都是至多有一个至少有一个至多有n个任意的所有的能否定词语不等于不大于（）不小于（）不是不都是至少有两个一个也没有至少有n+1个某个某些不能2.

“或”、“且”、“非”中的是命题,而“若,则

”

中的可以是命题,也可以不是命题,是其他语句二、全称量词与存在量词1、全称量词、全称命题的理解：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中叫做全称量词，用“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。一般地，设是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有，”的命题。用符号简记，。注：常见的全称量词有：“所有的”、“任意一个”、“一切”、“任给”、“所有的”等。2、特称量词、特称命题的理解：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词。并用符号“”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题。说明：特称命题就是陈述在集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题，一般地，设是某集合M的有些元素具有的某种性质，那么特称命题就是形如“存在集合M中的元素，”的命题，用符号简记，。注：常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”“有的“等。3、含有一个量词的命题的否定：（1）一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：全称命题P：，.它的否定：，非。（2）一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：特称命题P：，，它的否定：，非。例题剖析[例3]写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。（1）p：5是17的约数，q：5是15的约数.（2）p：方程x2－1=0的解是x=1,q：方程x2－1=0的解是x=－1,（3）p：不等式的解集为R，q：不等式的解集为解析：（1）p或q：5是17或15的约数；p且q：5是17与15的公约数，（或写成：9是17的约数，且9是15的约数）；非p：5不是17的约数.∵p假，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为假，而“非p”为真.（2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”与“p且q”均为假，而“非p”为真.（3）p或q：不等式的解集为R或不等式的解集为.p且q：不等式的解集为R或不等式的解集为非p：不等式的解集为.∵p真，q假，∴“p或q”为真，“p且q”为假，而“非p”为假.注意：写三种形式的复合命题时，在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。判断复合命题真假时，关键是判断简单命题的真假，再按真值表来判断即可.变式训练1、写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假． （1）p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除； （2）p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形；解：（1）根据真值表，复合命题可以写成简单形式：p或q：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除.p且q：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除.非p：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除.∵连续的三整数中有一个（或两个）是偶数，而有一个是3的倍数，∴p真，q真，∴p或q与p且q均为真，而非p为假.（2）根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式：p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形.p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.非p：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形.∵p假q假，∴p或q与p且q均为假，而非p为真.例2、已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．解：p：有两个不等的负根．q：无实根．因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．(ⅰ)当p真且q假时，有；(ⅱ)当p假且q真时，有．综合，得的取值范围是{或}．变式训练2、给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．解：对任意实数都有恒成立；关于的方程有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数的取值范围为．例3、指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假.(1)对任意a＞0且a≠1,y＝ax的图象恒在x轴上方;(2)对任意实数x1,x2,若x1＜x2,则tanx1＜tanx2;(3)T∈R,使|sin(x+T)|＝|sinx|;(4)x∈R,使x2+1＜0.解:(1)(2)是全称命题,(3)(4)是特称命题.(1)∵ax＞0(a＞0,a≠1)恒成立,∴命题(1)是真命题.(2)存在x1＝0,x2＝π,x1＜x2,但tan0＝tanπ,∴命题(2)是假命题.(3)y＝|sinx|是周期函数,π就是它的一个周期,∴命题(3)是真命题.(4)对任意x∈R,x2+1＞0,∴命题(4)是假命题.评注：①要判定一个特称性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假。②要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x0，p(x0)为假。变式训练7．下列全称命题中真命题为()A.一次函数都是单调函数B.是有理数C.任何一条直线都有斜率D.答案:A8.下列特称命题中假命题为()A.空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直B.仅存在一个实数,使得成等比数列C.存在实数满足,使得的最小值是6D.恒成立答案:A例4写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。解：（1）P：若x＞y，则5x≤5y；假命题否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题（2）P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。（3）P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。（4）P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命题。否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。3．原命题“若P则q”的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。变式训练写出命题：“若，则”的否定与否命题，并加以区别。解析:命题的否定：若，则命题的否命题：若，则点拨:已知：命题则（）答案：C随堂检测1、下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是 （）A．p:0＝；q:0∈B．p：在ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；y＝sinx在第一象限是增函数C．；不等式的解集为D．p：圆的面积被直线平分；q：椭圆的一条准线方程是x＝4解：由已知条件，知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C)．3．判断下列命题的真假，其中为真命题的是A．B．C．D．3．D7、命题“”的否定是______________8、命题“”的否定是______________9、命题“”的否定是______________7、8、9、8.下列三种说法:①命题“x∈R,使得x2+1＞3x”的否定是“x∈R,都有x2+1≤3x”;②设p、q是简单命题,若“p∨q”为假命题,则“p∧q”为真命题;③把函数y＝sin(-2x)(x∈R)的图象上所有的点都向右平移个单位即可得到函数y＝sin()(x∈R)的图象.其中正确说法的序号是_________.解析:本题考查了存在性命题的否定写法,真值表的应用,以及三角函数的图象及其性质.答案:①②③4．命题方程有两个不等的正实数根，命题方程无实数根若“或”为真命题，求的取值范围4．解：“或”为真命题，则为真命题，或为真命题，或和都是真命题当为真命题时，则，得；当为真命题时，则当和都是真命题时，得思维总结1、要理解逻辑联结词