第2课时平面向量的基本定理与向量坐标运算一轮复习讲义

第七知识块平面向量第2课时平面向量的基本定理与平面向量的坐标考点点击1、平面向量的基本定理；2、用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行等等；3、会利用向量坐标的定义求向量的坐标或点的坐标及动点的轨迹问题．考向定位向量的坐标运算（共线向量、平行向量）及平面向量的基本定理，在高考中常以选择、填空题的形式出现，难度为中低档题；向量的坐标运算有可能单独命题，更多地是与其它知识（如三角、解析几何）综合考查，在知识的交汇点上命题。考纲解读1、了解平面向量的基本定理及其意义；2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3、会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件。重难点重点：平面向量的坐标运算难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性基础自测1、已知平面向量，，则向量（）A．平行于轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于轴D．平行于第二、四象限的角平分线2、已知，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．3、平面向量与的夹角为，＝(2,0),，则|＋2|＝（）．A．B．2C．4D．124、已知向量，．若向量满足，，则（）A．B．C．D．5、在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________．答案与提示1、C提示：,由及向量的性质可知,C正确．2、A提示：本题主要考查平面向量的坐标运算及基本的计算能力．由已知可得代入的坐标易得．3、B4、提示：不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有5、（0，－2）提示：平行四边形ABCD中,∴＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)即D点坐标为(0,－2)考点精讲1、平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底注意：(1)基底不惟一，关键是不共线；(2)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(3)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2、平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作=，其中叫作在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标。规定：①相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：eq\o\ac(○,1)若，则eq\o\ac(○,2)若，则eq\o\ac(○,3)若=(x,y)，则=(x,y)eq\o\ac(○,4)若，则注意：∥充要条件不能写成，因为x1,x2有可能为0，从而向量共线的充要条件有两种形式：∥()eq\o\ac(○,5)若，则，若，则典例解读例1、直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4解析：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以的可能值个数是2，选B点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。高考资源网例2、已知是以点A(3,-1)为起点，且与向量平行的单位向量，则向量的终点坐标是.高考资源网解：方法一设向量的终点坐标是(x,y),则=(x-3,y+1)，则题意可知解得，故填(,-)或(,-)方法二与向量平行的单位向量是±(-3,4)，高考资源网故可得＝±(-,)，从而向量的终点坐标是,便可得结果。注：①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念高考资源网例3、已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反向？.解：（1）因为所以则（2），因为与平行所以即得此时，则，即此时向量与方向相反。例4、已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标.解：设，则因为是与的交点所以在直线上，也在直线上即得由点得，得方程组,解之得故直线与的交点的坐标为。例5、已知点及,试问:（1）当为何值时,在轴上?在轴上?在第三象限?（2）四边形是否能成为平行四边形?若能,则求出的值.若不能,说明理由.解：（1），则若在轴上，则，所以；若在轴上，则，所以；若在第三象限，则，所以。（2）因为若是平行四边形，则,所以此方程组五解；故四边形不可能是平行四边形。达标测试1、已知平面向量，则向量__________.1、2、已知向量，若与共线，则＝________.2、3、已知向量，若，则3、解析：∵，∴由得。4、在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则＝________.4、5、已知四边形的顶点且则顶点D的坐标为________．5、6、已知向量，，且，求实数的值。解：因为，所以，又因为所以，即解得7、在平行四边形中，，，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.(1)若，求点的坐标；(2)当|时