数学问题非传统解法

数学问题非传统解法第1页/共149页2023/4/112本章主要内容模糊逻辑与模糊推理神经网络及其在数据拟合中的应用遗传算法及其在最优化问题中的应用小波变换及其在数据处理中的应用粗糙集理论与应用分数阶微积分学及其应用本章要点简介第2页/共149页2023/4/11310.1

模糊逻辑与模糊推理10.1.1经典集合论和模糊集10.1.2隶属度与模糊化10.1.3模糊推理系统建立10.1.4模糊规则与模糊推理第3页/共149页2023/4/114经典集合论及其MATLAB

求解集合论是现代数学的基础集合：一些事物的全体，而其中每一个事物均称为集合中的一个元素。可枚举集合：该集合中的所有元素均可以一一列出的集合第4页/共149页2023/4/115集合表示举例第5页/共149页2023/4/116MATLAB下的集合运算函数第6页/共149页2023/4/117【例10-1】已知对这些集合进行各种运算，并验证第7页/共149页2023/4/118第8页/共149页2023/4/119【例10-2】试验证结合律第9页/共149页2023/4/1110交集:并集:验证结合律:第10页/共149页2023/4/1111模糊集合经典集合：

一个事物a

要么就属于集合A，要么就不属于集合A美国控制论专家LotfiAZadeh教授，1965Zadeh教授指出，当问题的复杂性增加时，精确的描述将失去意义，而有意义的描述将失去精度。第11页/共149页2023/4/1112第12页/共149页2023/4/111310.1.2隶属度与模糊化钟形隶属度函数数学函数:MATLAB求解函数:第13页/共149页2023/4/1114【例10-3】绘制出不同参数组合下的钟形隶属度函数曲线。第14页/共149页2023/4/1115Gauss隶属度函数数学函数:MATLAB求解函数:第15页/共149页2023/4/1116【例10-5】绘制不同参数下Gauss隶属度第16页/共149页2023/4/1117Sigmoid型隶属度函数数学函数:MATLAB求解函数:第17页/共149页2023/4/1118【例10-6】绘制Sigmoid隶属度函数第18页/共149页2023/4/1119隶属度函数的图形编辑界面用界面编辑隶属度函数修改隶属度参数添加隶属度函数第19页/共149页2023/4/112010.1.3模糊推理系统建立建立新模糊推理系统:添加新变量:第20页/共149页2023/4/1121第21页/共149页2023/4/1122第22页/共149页2023/4/112310.1.3模糊规则与模糊推理模糊化模糊规则解模糊第23页/共149页2023/4/112410.2

神经网络及其

在数据拟合中的应用10.2.1神经网络基础知识10.2.2神经网络界面第24页/共149页2023/4/1125单个人工神经元的数学表示形式第25页/共149页2023/4/1126【例10-9】常用传输函数曲线第26页/共149页2023/4/1127BP神经网络结构示意图第27页/共149页2023/4/1128第28页/共149页2023/4/1129【例10-10】第29页/共149页2023/4/113010.2.1.2神经网络的训练与泛化神经网络训练函数目标值曲线函数神经网络泛化第30页/共149页2023/4/1131【例10-11】由例8-25中的数据进行曲线拟合2个隐层，隐层节点选择为5第31页/共149页2023/4/1132第32页/共149页2023/4/1133第33页/共149页2023/4/1134选择隐层15个节点:第34页/共149页2023/4/1135【例10-12】二元函数的拟合第35页/共149页2023/4/1136第36页/共149页2023/4/1137第37页/共149页2023/4/1138第38页/共149页2023/4/113910.2.2神经网络界面启动神经网络界面nntool【例10-13】重新求解一元函数拟合第39页/共149页2023/4/114010.3遗传算法及其

在最优化问题中的应用遗传算法是基于进化论，在计算机上模拟生命进化机制而发展起来的一门新学科，它根据适者生存、优胜劣汰等自然进化规则搜索和计算问题的解。美国Michigen大学的JohnHolland于1975年提出的。遗传算法最优化工具箱MATLAB7.0的遗传算法与直接搜索工具箱第40页/共149页2023/4/1141遗传算法的基本思想从一个代表最优化问题解的一组初值开始进行搜索，这组解称为一个种群，这里种群由一定数量的、通过基因编码的个体组成，其中每一个个体称为染色体，不同个体通过染色体的复制、交叉或变异又生成新的个体，依照适者生存的规则，个体也在一代一代进化，通过若干代的进化最终得出条件最优的个体。第41页/共149页2023/4/1142简单遗传算法的一般步骤选择n个个体构成初始种群，并求出种群内各个个体的函数值。设置代数为i=1，即设置其为第一代。计算选择函数的值，所谓选择即通过概率的形式从种群中选择若干个个体的方式。通过染色体个体基因的复制、交叉、变异等创造新的个体，构成新的种群。i=i+1，若终止条件不满足，则继续进化。第42页/共149页2023/4/1143遗传算法和传统优化算法比较不同于从一个点开始搜索最优解的传统的最优化算法，遗传算法从一个种群开始对问题的最优解进行并行搜索，所以更利于全局最优化解的搜索。遗传算法并不依赖于导数信息或其他辅助信息来进行最优解搜索。遗传算法采用的是概率型规则而不是确定性规则，所以每次得出的结果不一定完全相同，有时甚至会有较大的差异。第43页/共149页2023/4/114410.3.2遗传算法在求解最优化问题中的应用举例GAOT工具箱MATLAB7.0GA工具箱界面，gatool()第44页/共149页2023/4/1145【例10-14】第45页/共149页2023/4/1146不同初值得出不同“最优解”第46页/共149页2023/4/1147第47页/共149页2023/4/1148最优化搜索结果列表第48页/共149页2023/4/1149第49页/共149页2023/4/1150【例10-15】求最大值第50页/共149页2023/4/1151第51页/共149页2023/4/1152GAOT的最优化函数可以设置其他参数n为最大允许代数第52页/共149页2023/4/1153【例10-16】求最大值第53页/共149页2023/4/1154第54页/共149页2023/4/1155第55页/共149页2023/4/1156【例10-14】求下面的最优化问题第56页/共149页2023/4/1157第57页/共149页2023/4/1158遗传算法优化中间结果第58页/共149页2023/4/115910.3.3遗传算法在有约束

最优化问题中的应用不能直接用于有约束最优化问题求解可以令不满足约束的目标函数为小值仍采用gaopt()

或ga()

函数求解第59页/共149页2023/4/1160【例10-18】第60页/共149页2023/4/1161第61页/共149页2023/4/1162建议求解方法：用GA找出全局最优解的大致位置以其为初值调用最优化函数求精确解。第62页/共149页2023/4/116310.4小波变换

及其在数据处理中的应用10.4.1小波变换及基小波波形小波：均值为零的一族波形10.4.2小波变换技术在信号处理中的应用10.4.3小波问题的程序界面第63页/共149页2023/4/116410.4.1小波变换及其

在数据处理中的应用连续小波变换第64页/共149页2023/4/1165【例10-19】第65页/共149页2023/4/1166小波反变换函数第66页/共149页2023/4/1167【例10-20】第67页/共149页2023/4/1168离散小波变换第68页/共149页2023/4/1169【例10-22】第69页/共149页2023/4/1170小波工具箱中提供的基小波函数显示基小波类型小波分析函数第70页/共149页2023/4/1171【例10-22】绘制Daubechies6基小波波形第71页/共149页2023/4/1172【例10-23】试绘制出常用基小波波形第72页/共149页2023/4/117310.4.2小波变换技术

在信号处理中的应用第73页/共149页2023/4/1174一维信号的小波分解提取近似系数cA和细节系数cD信号重建第74页/共149页2023/4/1175【例10-24】第75页/共149页2023/4/1176第76页/共149页2023/4/1177【例10-24】第77页/共149页2023/4/117810.4.3小波问题的程序界面可以键入wavemenu命令第78页/共149页2023/4/117910.5粗糙集理论与应用粗糙集(roughset)是波兰数学家ZPawlak为开发自动规则生成系统及研究软计算问题于1982年提出的。粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学方法。能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。第79页/共149页2023/4/1180下近似集：肯定属于X的最大的集合上近似集：可能属于X的最大集合集合边界区若Bnd(X)非空，则X为关于R的粗糙集。第80页/共149页2023/4/1181【例10-26】可见可以写出第81页/共149页2023/4/118210.5.1.3信息决策系统信息决策系统第82页/共149页2023/4/1183【例10-26】第83页/共149页2023/4/1184信息决策系统表第84页/共149页2023/4/1185近似集的MATLAB求解【例10-28】第85页/共149页2023/4/1186信息决策表第86页/共149页2023/4/118710.5.3基于粗糙集的约简及处理约简：不含多余属性并保证分类正确的最小条件属性集核集：所有不可约去的关系第87页/共149页2023/4/118810.5.2.2粗糙集理论在信息约简中的应用举例【例10-29】找出不必要的数码管第88页/共149页2023/4/1189第89页/共149页2023/4/1190【例10-30】SARS诊断第90页/共149页2023/4/1191第91页/共149页2023/4/1192第92页/共149页2023/4/119310.5.2.3粗糙集约简的MATLAB程序界面rsdav3第93页/共149页2023/4/119410.6分数阶微积分学n=1/2，微分是什么？300年前的问题应用领域，包括分数阶控制第94页/共149页2023/4/1195本节主要内容10.6.1分数阶微积分的定义与性质10.6.2分数阶微分的计算方法10.6.3分数阶微分方程求解第95页/共149页2023/4/119610.6.1分数阶微积分的定义与性质分数阶Cauchy积分公式

第96页/共149页2023/4/1197Riemann-Liouville分数阶积分公式分数阶微分定义第97页/共149页2023/4/1198Caputo分数阶微分定义Caputo分数阶积分定义为第98页/共149页2023/4/1199分数阶微积分有如下各条性质

线性交换律第99页/共149页2023/4/11100分数阶微积分的积分变换积分的Laplace变换微分的Laplace变换零初始条件Fourier变换第100页/共149页2023/4/1110110.6.2分数阶微积分的计算利用Fourier级数计算周期函数的分数阶微积分其中第101页/共149页2023/4/11102正弦、余弦函数微分，同样适用于分数阶利用Fourier级数第102页/共149页2023/4/11103实现该算法的MATLAB函数第103页/共149页2023/4/11104【例10-31】求解该函数的分数阶微积分第104页/共149页2023/4/11105第105页/共149页2023/4/11106不同阶次的分数阶微积分第106页/共149页2023/4/11107【例10-32】求取该函数的分数阶微积分第107页/共149页2023/4/11108第108页/共149页2023/4/11109第109页/共149页2023/4/11110第110页/共149页2023/4/11111第111页/共149页2023/4/11112分数阶微分的数值算法函数第112页/共149页2023/4/11113【例10-33】第113页/共149页2023/4/11114绘制微分曲面第114页/共149页2023/4/11115【例10-34】比较不同算法得出的0.75阶微分Caputo算法结果第115页/共149页2023/4/11116分数阶微积分的

Fourier变换算法Fourier变换分数阶微分的Fourier变换第116页/共149页2023/4/11117离散Fourier变换函数分数阶导数可以表示成计算方法，先用FFT,再乘以频率加权，再进行FFT反变换求解第117页/共149页2023/4/11118分数阶微积分的滤波算法连续滤波算法：Oustaloup算法其中:第118页/共149页2023/4/11119MATLAB函数第119页/共149页2023/4/11120【例10-35】的0.5阶微分第120页/共149页2023/4/11121不同滤波器阶次与参数对滤波修改影响第121页/共149页2023/4/11122FIR滤波器

第122页/共149页2023/4/11123【例10-36】第123页/共149页2023/4/11124IIR滤波器算法

变换函数连分式算法第124页/共149页2023/4/11125第125页/共149页2023/4/11126【例10-37】0.5阶微分算子第126页/共149页2023/4/11127第127页/共149页2023/4/11128用

Pade近似代替连分式第128页/共149页2023/4/11129【例10-38】试构造更高阶的滤波器第129页/共149页2023/4/1113010.6.3分数阶微分方程的求解方法分数阶线性微分方程的解法非线性分数阶微分方程近似解法第130页/共149页2023/4/1113110.6.3.1分数阶线性微分方程的解法分数阶线性微分方程分数阶传递函数第131页/共149页2023/4/11132

第132页/共149页2023/4/11133分数阶线性微分方程的数值解法第133页/共149页2023/4/11134第134页/共149页2023/4/11135【例10-39】求解下面的分数阶微分方程第135页/共149页2023/4/1113610.6.3.2非线性分数阶微分方程近似解法利用Oustaloup滤波器近似，可以构造出

Simulink模块c10mfode.mdl模块可以直接应用与建模第136页/共149页2023/4/11137第137页/共149页2023/4/11138【例10-40】重新求解分数阶线性微分方程选择：变换：模型：c10mfode1.mdl第138页/共149页2023/4/11139【例10-41】求解分数阶非线性微分方程模型：c10mfode2.mdl第139页/共149页2023/4/11140本章主要内容本章有关函数一览表第140页/共149页2023/4/11141`第141页/共149页2023/4/11142第142页/共149页