数学欣赏03数学的分类

数学欣赏03数学的分类第1页/共59页数学欣赏C数学之旅AnOverviewof

Mathematics第2页/共59页庞加莱说……

如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门学科的历史和现状.第3页/共59页数学之旅穿越时空数学，作为人类最早建立的科学，如今根粗杆壮，枝繁叶茂，已经形成一个庞大的学科体系.数学研究领域不断扩大，数学研究方法不断创新，数学研究内容不断深入，数学应用领域不断拓宽。回顾数学发展史可以看到，数学发展史是新思想、新方法、新工具被创造的历史，是问题被解决的历史，也是高级数学替代低级数学的历史.第4页/共59页本章内容数学的分类1数学分支发展概观2数学形成与发展的因素3第5页/共59页数学的分类第6页/共59页从历史看数学1第7页/共59页8

纵向发展：

初等数学和古代数学；变量数学；近代数学；现代数学。第8页/共59页9初等数学和古代数学：16世纪以前古希腊时期建立的欧氏几何学；古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术；欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等。初等数学又叫常数数学。第9页/共59页10变量数学：17----19世纪初起点：解析几何；标志：微积分（数学分析）；特点：数形结合，引入了变量，可以研究运动。第10页/共59页11近代数学：19世纪

主要特征：分析的严密化;代数的抽象化;几何的非欧化。第11页/共59页12现代数学：20世纪

起点：1900年Hilbert提出的23个数学问题；特点：学科分支增多，交叉增强(如：代数拓扑、微分拓扑、代数几何等）；基础：Cantor的集合论。

第12页/共59页13现代数学三大趋势：交错发展、高度综合、逐步走向统一；边缘、综合、交叉学科与日俱增；数学表现形式、对象和方法日益抽象化。第13页/共59页14现代数学六大特征：从单变量到多变量，从低维到高维；从线性到非线性；从局部到整体，从简单到复杂；从连续到间断，从稳定到分岔；从精确到模糊；计算机的应用。第14页/共59页从对象与方法看数学2第15页/共59页2023/4/1116美是自然，是一切事物生存和发展的本质特征。第16页/共59页数学分支发展概观第17页/共59页18

横向分类：

基础数学（理论、纯粹数学）（三大分支：代数、几何、分析）应用数学计算数学概率统计运筹与控制论第18页/共59页19数学分支：精确数学；随机数学；模糊数学；可拓数学。自然社会现象：确定现象；随机现象；模糊现象；可拓现象。第19页/共59页几何学通论1第20页/共59页

“几何学”就是人类文明对空间本质的“认识论”；宇宙中的所有事物皆存在于空间之中、发生于空间之内，并永远受着空间本质的制约与蕴育；而空间既完美又简朴的本质则是蕴育着宇宙万物万象中至善至美、至精至简的根源。几何学——人类第一科学第21页/共59页22研究对象:诸如“几何物体”和图形的几何量，是空间形式的抽象化;研究内容:各种几何量的关系与相互位置;研究方法:实验方法、思辨方法、解析方法.第22页/共59页23欧几里得几何学在承认某些自明的公理的前提下，按照严密的演绎推理方法，一层一层地建立起来的一套系统严密的几何学知识体系。第23页/共59页24解析几何1637年，法国数学家笛卡尔引入了坐标的观念，实现了数形结合，创立了解析几何，使得人们可以用代数方法研究几何问题，实现了数学的两大分支代数与几何的联系。两个重要观念：点、数联系的坐标观念，曲线的方程表示观念。第24页/共59页25向量几何也叫向量代数，该学科产生于十九世纪中叶，是由德国数学家哈密尔顿（W.R.Hamilton,1805—1865）和格拉斯曼（H.G.Grassmann，1809—1877）等创立的。向量几何是不依赖于坐标系的解析几何，是坐标几何的返璞归真和精益求精，它使得几何和代数结合得更加真切自然、直截了当。第25页/共59页26分形几何分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）在1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学。这是现代数学的一个新分支，其本质是一种新的世界观和方法论。承认世界的局部可能在一定条件下、一定过程中、在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性；它承认空间维数的变化既可以是离散的，也可以是连续的。第26页/共59页代数学大观2第27页/共59页28代数学是研究数的科学，起源于古代中国和古埃及。早期的代数学其实是研究数的运算的，因此叫做算术。“代数学”一词源自于拉丁文algebra（公元12世纪之后），但它又是从阿拉伯文“还原与对消”（al-jaberw’almuqabala）（公元820年左右）或“方程的科学”变化而来。第28页/共59页29代数学的符号化第一阶段是文字代数学，其主要标志是，代数书全部由文字表述。第二阶段是简写代数学，其主要标志是，采用以速记为目的的简写形式表示数量、关系与运算。第三阶段是符号代数学。法国数学家韦达（Viete,Francois.1540—1603）对代数学符号化的发展作出了重要贡献。第29页/共59页30初等代数学初等代数是代数学的古典部分，它是随着解方程与方程组而产生并发展起来的，是研究数字和文字的代数运算理论和方法的科学，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。第30页/共59页31初等代数的中心问题是研究方程或方程组的解的存在性、解的个数、解的结构问题，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学。第31页/共59页32初等代数运算十条规则：五条基本运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律）；两条等式基本性质（等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变）；三条指数律（同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积）。第32页/共59页33高等代数学高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、多项式代数。第33页/共59页34线性代数的研究对象是线性方程组，研究内容是线性方程组解的存在性、解的个数、解的结构问题，研究工具包括矩阵、行列式等。围绕线性方程组的这些核心问题，线性代数不仅要研究数，数的运算，还有矩阵、向量、向量空间的运算以及变换等。第34页/共59页35多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。第35页/共59页微积分大意3第36页/共59页37分析学是指以微积分学为基本内容的数学分支的全称，包括微积分学、微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析等。这里我们只介绍微积分等几个基础分支学。第37页/共59页微积分学

简单地来说，微积分学是微分学和积分学的总称，其研究对象是函数；研究工具是极限；研究内容包括函数的微分、积分，以及联系微分与积分的桥梁——微积分基本定理。第38页/共59页随机数学一瞥4第39页/共59页40在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性现象，另一类是不确定性的现象，这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

第40页/共59页41从表面上看，随机现象似乎是杂乱无章、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科，统称为随机数学。第41页/共59页模糊数学概览5第42页/共59页43现实生活中有许多模糊现象，比如，秃子、年轻、高个子、胖子、干净，好、漂亮、善、热、远等。模糊数学就是研究如何处理与把握这些模糊现象的科学，其基础是1965年美国控制论专家、数学家查德（Zadeh,L.A.1921—）引入了模糊集合的概念。模糊集合描述事物“是”与“非”的程度。第43页/共59页可拓学——中国人创立6第44页/共59页45可拓学——中国人自己创立的新学科全世界有2000多门学科，而中国人自己创立的则很少。以研究解决矛盾问题的规律和方法为内容的新兴学科──可拓学，是由广东工业大学蔡文研究员创立的。蔡文先生引进的物元是包括事物的名称N、特征C和关于此特征的量值V的有序的三元组R=（N，C，V）。第45页/共59页46可拓学有两个理论支柱，一个是研究物元及其变化的物元理论，一个是建立在可拓集合基础上的可拓数学。物元理论着重研究物元的可拓性，物元的可变性，借以探索事物变化的过程，寻求解决问题的方法。所谓物元的可拓性，即可开拓性，是指事物变化的多种可能性，包括发散性、可扩性、共轭性和相关性。所谓物元的可变性，即可变换性，是指在一定条件下，物元的要素（事物、特征和量值）的变换或分解。第46页/共59页47可拓数学是对应用数学的发展，它是建立在可拓集合的基础上的。在现实世界中，事物是可变的，事物具有某种性质的程度也是可变的，因此，“是”与“非”及其程度都是可以转换的。蔡文先生在1983年引入的可拓集合概念，兼顾了这些因素。在此基础上，建立了可拓数学，从经典数学对数量关系和空间形式的研究发展到对物元关系和物元空间形式的研究，以矛盾问题的转化为研究对象，成为可拓学的一大理论支柱。应用可拓数学，使人们能够定量研究自然科学、社会科学和工程技术中的各种矛盾问题。第47页/共59页数学形成与发展的因素与轨迹第48页/共59页49数学的形成与发展的因素

实用科学哲学美学第49页/共59页50第一动力：解决因社会需要而直接提出的问题。这为人类认识与改造自然提供了工具与方法。初等数学的欧几里得几何学、代数方程以及高等数学的概率论、运筹学等，都是为解决实际问题而产生与发展的。第50页/共59页51第二动力：提供自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论都是物理学的基础。这些学科的成就的大小取决于它们与数学结合的程度。图论、拓扑学、微分几何、复变函数等都是因此而产生的。第51页/共59页52第三动力：智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣。数论、非欧几何、射影几何等都在很大程度上受这一动力的影响。

第52页/共59页53第四动力：对美的追求。数学除了其完美的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，所运用的想象和直觉也为创造者提供了高度的美学上的满足。数学美几乎体现在数学的每一个分支中。第53页/共59页54

数学发展的轨迹数学发展的基本模式是：

具体──抽象──具体

从具体事物、现象（具体）出发，提炼出能够反映其本质的结构（抽象）进行研究，研究的结果再返回到（更多、更广泛的）具体事物、对象（具体）中。第54页/共59页55

数学发展的轨迹数学发展的两大基本支柱是：猜想——证明数学结论的孕育有赖于猜想，数学结论的确立离不开证明。第55页/共59页56

数学发展的轨迹数学发展的五大基本思路是：特殊的东西，加以推广，以便适用更广；一般的东