概率论与数理统计讲义

第1页，共13页，2023年，2月20日，星期五第四节区间估计置信区间定义置信区间的求法单侧置信区间课堂练习小结布置作业第2页，共13页，2023年，2月20日，星期五一、置信区间定义满足设是一个待估参数，给定X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是的置信水平（置信度)为的置信区间.和分别称为置信下限和置信上限.若由样本第3页，共13页，2023年，2月20日，星期五置信度和置信区间的意义:置信区间的长度反映估计的精度；置信度反映估计的可靠度.第4页，共13页，2023年，2月20日，星期五~N(0,1)选的点估计为,求参数的置信度为的置信区间.

例1设X1,…Xn是取自的样本，明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.解一个包含待估参数的样本的的函数，其分布为已知.于是所求的置信区间为对给定的置信水平有从中解得对于给定的置信水平,根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.第5页，共13页，2023年，2月20日，星期五从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平

是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计T=T(X1,X2,…Xn)

3.从T出发寻找一个含待估参数的样本

的函数W=W(X1,X2,…Xn),且其分布为已知.

5.将不等式等价变形为4.对于给定的置信水平

，根据W的分布，确定常数a,b，使得第6页，共13页，2023年，2月20日，星期五注意：给定样本，给定置信水平，置信区间也

不是唯一的，区间的长度各不相同。~N(0,1)上例中取不同的a,b,可得到不同的置信区间第7页，共13页，2023年，2月20日，星期五在概率密度为单峰且关于y轴对称的情形，如标准正态分布和t分布,当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.在置信水平相同的情况下，我们总是希望置信区间尽可能短.即使在概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.第8页，共13页，2023年，2月20日，星期五第七节、单侧置信区间上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限.例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了.这时,可将置信上限取为+∞，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间.第9页，共13页，2023年，2月20日，星期五于是引入单侧置信区间和置信限的定义：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.定义称为的置信水平为的单侧置信下限.对于任意,第10页，共13页，2023年，2月20日，星期五满足若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为的置信水平为的单侧置信上限.对于任意,第11页，共13页，2023年，2月20日，星期五~N(0,1)选的点估计为,求参数的置信度为的单侧置信上限.

例2设X1,…Xn是取自的样本，解对给定的置信水平有从中解得于是所求的置信度为