概率论与数理统计 第八章

概率论与数理统计第八章第1页，共45页，2023年，2月20日，星期五推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。随机原则总体样本总体参数统计量推断估计参数估计检验假设检验抽样分布第2页，共45页，2023年，2月20日，星期五

假设检验

基本思想

检验规则

检验步骤

常见的假设检验第3页，共45页，2023年，2月20日，星期五

基本思想小概率原理：如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。总体（某种假设）抽样样本（观察结果）检验（接受）（拒绝）小概率事件未发生小概率事件发生第4页，共45页，2023年，2月20日，星期五

检验规则确定检验规则检验过程是比较样本观察结果与总体假设的差异。差异显著，超过了临界点，拒绝H0；反之，差异不显著，接受H0差异临界点拒绝H0接受H0cc判断两类错误接受或拒绝H0，都可能犯错误I类错误——弃真错误，发生的概率为α

II类错误——取伪错误，发生的概率为β检验决策H0为真 H0非真 拒绝H0

犯I类错误（α）正确 接受H0正确犯II类错误（β） 怎样确定c?第5页，共45页，2023年，2月20日，星期五α大β就小，α小β就大基本原则：力求在控制α前提下减少β

α——显著性水平，取值：0.1,0.05,0.01,0.005等。如果犯I类错误损失更大，为减少损失，α值取小；如果犯II类错误损失更，α值取大。确定α，就确定了临界点c。①设有总体：X~N（μ，σ2），σ2已知。②随机抽样：样本均值③标准化：④确定α值，⑤查概率表，知临界值⑥计算Z值，作出判断0接受区拒绝区拒绝区第6页，共45页，2023年，2月20日，星期五

当检验判断为接受原假设H0时，就有可能犯取伪的错误即II类错误。犯II类错误的概率计算：(1)先求出拒绝H0的临界值；(2)再求得在统计量真实的抽样分布下达到临界值的概率β。统计中，称不犯取伪错误的概率1-β为统计检验的能力或效力。II类错误的概率β的计算第7页，共45页，2023年，2月20日，星期五

检验步骤建立总体假设H0，H1抽样得到样本观察值12选择统计量确定H0为真时的抽样分布3根据具体决策要求确定α确定分布上的临界点C和检验规则计算检验统计量的数值比较并作出检验判断7456第8页，共45页，2023年，2月20日，星期五8.1假设检验的基本概念和思想

一、基本概念(一)两类问题1、参数假设检验

总体分布已知,参数未知,由观测值x1,…,xn检验假设H0：=0；H1：≠02、非参数假设检验总体分布未知,由观测值x1,…,xn检验假设H0：F(x)=F0(x;);H1：F(x)≠F0(x;)

第9页，共45页，2023年，2月20日，星期五以样本(X1,…,Xn)出发制定一个法则,一旦观测值(x1,…,xn)确定后,我们由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受H1,这种法则称为H0对H1的一个检验法则,简称检验法。样本观测值的全体组成样本空间S,把S分成两个互不相交的子集W和W*,即S=W∪W*,W∩W*=

假设当(x1,…,xn)∈W时,我们就拒绝H0；当(x1,…,xn)∈W*时,我们就接受H0。子集WS就称为检验的拒绝域(或临界域)。(二)检验法则与拒绝域第10页，共45页，2023年，2月20日，星期五(三)检验的两类错误称

H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称

H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记p(I)=p{拒绝H0|

H0真};=p{接受H0|

H0假}对于给定的一对H0和H1,总可找出许多临界域,人们自然希望找到这种临界域W,使得犯两类错误的概率都很小。奈曼—皮尔逊(Neyman—Pearson)提出了一个原则：“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下,尽量使犯第二类错误小”按这种法则做出的检验称为“显著性检验”,称为显著性水平或检验水平。第11页，共45页，2023年，2月20日，星期五？怎样构造的拒绝域方可满足上述法则？如:对总体X~N(,1),要检验H0：=0；H1：=1显著性检验的思想和步骤：(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量,在H0真时其分布已知；(3)给定显著性水平的值,参考H1,令

P{拒绝H0|H0真}=,求出拒绝域W；(4)计算统计量的值,若统计量W,则拒绝H0,否则接受H0第12页，共45页，2023年，2月20日，星期五8.2单正态总体的假设检验一、单总体均值的假设检验1、2已知的情形---U检验

对于假设H0：=0；H1：0,构造查表,计算,比较大小,得出结论第13页，共45页，2023年，2月20日，星期五说明：(1)H0：=0；H1：m0称为双边HT问题；而H0：=0；H1：>0(或<0),则称为单边问题；

(2)

H0：0；H1：>0

或H0：0；H1：u<u0也称为单边HT问题,不过这是一个完备的HT问题。

(3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒绝域,从而检验法一致。·先考虑不完备的右边HT问题的解H0：=0；H1：>0,第14页，共45页，2023年，2月20日，星期五现考虑完备的右边HT问题H0：0；H1：>0,若取拒绝域为则犯第一类错误的概率为第15页，共45页，2023年，2月20日，星期五于是故是H0：0；H1：>0,的水平为的拒绝域第16页，共45页，2023年，2月20日，星期五

例1：设某厂生产一种灯管,其寿命X~N(,2002),由以往经验知平均寿命

=1500小时,现采用新工艺后,在所生产的灯管中抽取25只,测得平均寿命1675小时,问采用新工艺后,灯管寿命是否有显著提高。(=0.05)解:这里拒绝H0第17页，共45页，2023年，2月20日，星期五·左边HT问题H0：=0；H1：<0,或H0：0；H1：<0,可得显著性水平为的拒绝域为第18页，共45页，2023年，2月20日，星期五例2：已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112).某日测得5炉铁水含碳量如下:4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果标准差不变,该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?(取=0.05)解:得水平为的拒绝域为这里拒绝H0第19页，共45页，2023年，2月20日，星期五注:上题中,用双边检验或右边检验都是错误的.若用双边检验,H0：=4.55；H1：4.55,则拒绝域为由|U|=3.78>1.96,故拒绝H0,说明可以认为该日铁水的平均含碳量显著异于4.55.但无法说明是显著高于还是低于4.55.不合题意若用右边检验,H0：4.55；H1：>4.55,则拒绝域为由U=-3.78<-1.96,故接受H0,说明不能认为该日铁水的平均含碳量显著高于4.55.但无法区分是等于还是低于4.55.不合题意.第20页，共45页，2023年，2月20日，星期五2、2未知的情形·双边检验:对于假设H0：=0；H1：0由p{|T|t/2(n1)}=,得水平为的拒绝域为|T|t/2(n1),第21页，共45页，2023年，2月20日，星期五例3：用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重复测量7次，测得温度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取=0.05)?解:H0：=112.6；H1：112.6由p{|T|t0.025(n1)}=0.05,得水平为=0.05的拒绝域为|T|t0.025(6)=2.4469这里接受H0第22页，共45页，2023年，2月20日，星期五·右边HT问题H0：=0

；H1：>0,或H0：0

；H1：>0,由p{Tt(n1)}=,得水平为的拒绝域为Tt(n1),第23页，共45页，2023年，2月20日，星期五例4：某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620(kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度(kg/mm2)为:10512,10623,10668,10554,10776,10707,10557,10581,10666,10670.认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?解:H0：=10620；H1：>10620由p{Tt0.05(9)}=0.05,得拒绝域为Tt0.05(9)=1.8331这里接受H0第24页，共45页，2023年，2月20日，星期五·左边HT问题H0：=0

；H1：<0,或H0：0

；H1：<0,由p{T-t(n1)}=,得水平为的拒绝域为T-t(n1)第25页，共45页，2023年，2月20日，星期五例5设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620(kg/mm2)的正态分布,今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测得平均抗拉强度10600(kg/mm2),样本标准差为80.,问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格?(=0.1)

解:H0：10620；H1：<10620由p{T-t0.1(9)}=0.1,得拒绝域为T-t0.1(9)=1.383这里接受H0第26页，共45页，2023年，2月20日，星期五二、单总体方差的假设检验假定未知,·双边检验:对于假设第27页，共45页，2023年，2月20日，星期五得水平为的拒绝域为第28页，共45页，2023年，2月20日，星期五例6电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42,65,75,78,59,57,68,54,55,71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80?(=0.05),熔化时间为正态变量.)得水平为=0.05的拒绝域为这里接受H0第29页，共45页，2023年，2月20日，星期五设保险丝的融化时间服从正态分布，取9根测得其熔化时间（min）的样本均值为62,标准差为10.(1)是否可以认为整批保险丝的熔化时间服从N(60,92)?(=0.05)(2)是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差显著大于70?(=0.05)EX答:(1)|t|=0.6<2.306,接受60;2.18<X2=9.877<17.535,接受10(2)X2=11.42<15.507,认为方差不显著大于70第30页，共45页，2023年，2月20日，星期五8.3双正态总体均值差与方差比的假设检验一、均值差的假设检验第31页，共45页，2023年，2月20日，星期五而对应的单边问题拒绝域为拒绝域为第32页，共45页，2023年，2月20日，星期五例7：比较甲,乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成两组,每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数分别为1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4;另10人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从方差相同的正态分布.试问两种安眠药的疗效有无显著性差异?(=0.10)解:第33页，共45页，2023年，2月20日，星期五这里:拒绝H0认为两种安眠药的疗效有显著性差异第34页，共45页，2023年，2月20日，星期五上题中,试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效显著?EX1这里:t=1.86>1.3304,故拒绝H0,认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著EX2上题中,试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效显著?第35页，共45页，2023年，2月20日，星期五二、方差比的假设检验两样本独立,给定检验水平,由观测值假定1,2未知第36页，共45页，2023年，2月20日，星期五由p{FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)}=F1/2F/2得拒绝域FF1/2(n11,n21)或FF/2(n11,n21)第37页，共45页，2023年，2月20日，星期五而对应的单边问题拒绝域为FF(n11,n21)FF1(n11,n21)拒绝域为第38页，共45页，2023年，2月20日，星期五例8：有甲乙两种机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品,测得产品直径为(单位:mm):甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9.乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.假定甲,乙两台机床的产品直径都服从正态分布,试比较甲,乙两台机床加工的精度有无显著差异?(=0.05)解:拒绝域为FF10.025(7,6)=1/5.12=0.1953或FF0.025(7,6)=5.7这里:接受H0第39页，共45页，2023年，2月20日，星期五

几种常见的假设检验总体均值的检验条件检验条件量拒绝域H0、H1(1)H0：μ=μ0H1：μ≠μ0

z(2)H0：μ≤μ0H1：μ＞μ0(3)H0：μ≥μ0H1：μ＜μ0z0z0正