(完整版)历年上海高考题(立体几何)

17.(2017-21-17)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC-A1B1cl的体积；(2)设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小.17.【分析】(1)•••直三棱柱ABC-A1B1cl的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5.1 1，三棱柱ABC-A1B1cl的体积V=S△ABC•AA1=2AB•AC•AA1=2X4X2X5=20.(2)连结AM.;直三棱柱ABC-A1B1C1,•・AA1，底面ABC.•・/AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.・•△ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，点M是BC的中点，・・.AM=・・.AM=12BC=1X42+22=5.由AA1，底面ABC，可得AA1±AM,AA1，tan，tanNA1MA==：=5.AM^5直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan5.JiJi19.(2016?23-1内)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OOi旋转一周形成圆柱，3 3如图，AC长为n,A1B1长为，此中B1与C在平面AA1O1O的同侧.(1)求三棱锥C-O1A1B1的体积；(2)求异面直线BiC与AA1所成的角的大小.

声C I【考点】异面直线及其所成的角.【专题】计算题；转变思想；综合法；空间地点关系与距离.【剖析】（1）连结OlB1,推导出△OlA1B1为正三角形，进而s一=-，由此能求出11111三棱锥C-O1A1B1的体积.（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1〃AA1,/BB1c为直线B1c与AA1所成角（或补角），由此能求出直线BiC与AAi所成角大小.【解答】解：（1【解答】解：（1）连结Oi1B1 11 1 11一则NOAB=ZAOB=,・•・△O1A1・•・△O1A1B1为正三角形，（2）设点B1在下底面圆周的射影为B,连结BB1,ITNAOB=NA1O1B1一"——，・・・/BOC=-，则BB1〃AA1,・・NBB1C为直线BiC与AA1所成角（或补角），BB=AA=1,1 1连结BC、BO、OC,•・△BOC为正三角形，・・BC=BO=1，XtanNBB1C=45°,・・直线BiC与AA1所成角大小为45。.【评论】此题考察三棱锥的体积的求法，考察两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要仔细审题，注意空间思想能力的培育.BBBB11311319、（2015.上海）如图。在长方体ABCDA1B1c1D1中，A^1,ABAD2,E,F分别是AB,BC的中点，证明： A「C「F,E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角的大小。D19.(2014)(此题满分12分)底面边长为2的正三棱锥PABC,PPP，如图，求PPP12的各边长及此三棱锥的体积 V.319.解：（此题满分12分）在123PPP中,1PAPA2PC3PC所以是中位线12PP19.(2014)(此题满分12分)底面边长为2的正三棱锥PABC,PPP，如图，求PPP12的各边长及此三棱锥的体积 V.319.解：（此题满分12分）在123PPP中,1PAPA2PC3PC所以是中位线12PP2AC同理，1P3P是ABC的PQAP2AQ2 26.3,进而，V -SABCPQ二3 319.（2013）（此题满分12分）如图其表面睁开图是三角形,123是等边三角形，各边长均为PPP则PQ在长方体明直线BC1平行于平面DA1c，并求直线BC【解答】由于ABCD-A1B1C1D1为长方体，故平面ABC,所以AQABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A到平面D1AC的距离.AB//C1D1,ABC1D1,故ABC1D1为平行四边形，故BCi//ADi,明显B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；直线BC1到平面D1AC的距离即为点 B到平面D1AC的距离设为h1 11A=11考虑三棱锥ABCD1考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得V— (12)3 2而AD1c中，ACDQ所以，V_1_3h132 3eAD12，故SADC1h2而AD1c中，ACDQ所以，V_1_3h132 3eAD12，故SADC1h2，即直线BC1到平面D1AC的距离为21 13 319.(2012)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2_2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积；(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)所以CD，平面PAD,3分［解］(1)由于PA，底面ABCD,所以PA±CD,又AD±CD,进而CD±PD.由于PD=^22(2/2)22P,CD=2,所以三角形PCD的面积为21-2 2-3 2'3.(2)［解法一］如下图，成立空间直角坐标系，则B(2,0,0),C(2,22,0),E(1,... 2,1),AE(1,J2；1),BC(0,22,0), 8分设AE与BC的夹角为，则AEBC 4 #2■IAEIIBCI222 2,=4.12分由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是4-［解法二］取PB中点F,连结EF、AF,则EF〃BC,进而NAEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角 8分在AEF中，由EF=2二AF=2、AE=2知AEF是等腰直角三角形，所以NAEF=4-.BCAE1221.(2011)(14分)已知ABCD A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1是A1cl和B1D1的交点。(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成的角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为。求证：tan、2'tan；(2)若点C到平面ABB的距离为_，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高。3DB2B221.解：设正四棱柱的高为h。⑴连AO1,AA1 底面AiBiCiDi于A\,・・・ABi与底面AiBiCiDi所成的角为ABi%,即AB[A]・・・ABiADi,Oi为BiDi中点，・・.AOiBiDi，又AiOiBiDi,AOiAi是二面角ABiDi

Ai的平面角，即 AOi%tanAAiABihtanAA1 一一―2h2tanAOii⑵成立如图空间直角坐标系，有A(0,0,h),Bi(i,0,0),Di(0』,0),C(i,i,h)Auuuur

ABuuuur

ABiuuurh),AC(i,i,0)uuuur(i,0,h),ADi(0,i,设平面rnABiDi的一个法向量为(x,y,z),uuurABiuuuurADirnrnuuurABiuuuurADir取zi得n(h,h,i)・•・点C到平面ABiDi的距离为ruuurInACIrInIh2h2i4.，则h2。3A」一；.【J 、金1-■OiCiDiy2i、（20i0）（本大题满分 i3分）此题共有2个小题，第i小题满分5分，第2小题满分8如下图，为了制作一个圆柱形灯笼， 先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）（i）当圆柱底面半径r取何值时，S获得最大值？并求出该最大值（结果精准到0.0i平方米）；（2）在灯笼内，以矩形骨架的极点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线 AiB3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）

19(2009)(此题满分14分)如图在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2如图ABBC,求二面角B1AC1C1的大小。19,【解】如图，成立空间直角坐标系A1则AABBC,求二面角B1AC1C1的大小。19,【解】如图，成立空间直角坐标系A1则A(2,0,0)、C(0,2,0)A1(2,0,2),B1(0,0,2)、C1(0,2,2)B1C1BC设AC的中点为M，;BM±AC, BM±CC1;・•・BM・•・BM，平面uuuuvA1C1C,即BM=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。5分v设平面A1B1C1的一个法向量是n(x,y,z)=(x，yv设平面A1B1C1的一个法向量是n(x,y,z)=(x，yuuuvAC=(-2,2-2),uuuuvA1B1=(-2,0,0)vuuuvnAB2xvvuuuv0,nAC12x2y2z0,令2解得1,A1C1n(0,1,1)10n(0,1,1)10vuuuuv想法向量n与BM的夹角为二面角B1AC1C1vuuuuv想法向量n与BM的夹角为二面角B1AC1C1的大小为明显为锐角QcoscosvuuuuvnBM-v3.14二面角B1AC1C1的大小为一3中，E是的中点，DBCC中，E是的中点，DBCC1二1D16.(2008)(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1BC1求直线DE与平面ABCD所成角的大小(结果用反三角函数表示)【分析】过E作EF BC,交BC于F,连结DF.・・・EF平面ABCD,.・.EDF是直线Df与平面ABCD所成的角.由题意，得EF CC11.ACDF5.EF5EFDF，,tanedf二—.DF5故直线DE与平面ABCD所成角的大小是arctan」.516.（2007）（此题满分12分）.求如图，在体积为 1的直三棱柱ABCA1B1cl中，ACB90，ACBC1直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）16.解法一： 由题意，可得体积TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1VCC1gS△abc CCagACgBC-CC11，\o"CurrentDocument"2 2AA1CC1 2.连结BC1.QAq1B1C1,Aq1CC1,A1cl 平面BB1C1C,A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角.■BC1VCC12BC255,A1cl 1tanA1BC1 11 -,则A1BC1=arctantan _BC1 •5即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为解法二：由题意，可得arctan.2 2 2 2 22 2 2 2 21体积V CC1gSABCcqg2gACgBC|CC1cc12,如图，成立空间直角坐标系.得点B(010)，uuur,,C1(0,0,2),A1(1,0,2).则A1B(112)r平面BB1C1C的法向量为n(1,0,0).设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为A1B与n的夹角为则cosuuurrA1Bgn 16,uuur।r

A1Bgn|sinIcosI6arcsm即直线_i_6,

6A1B与平面BB[C]C所成角的大小为.6arcsin 619.(2006--19)(此题满分14分)此题共有2个小题，第1小题满分6分第2小题满分8分)在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的菱形，/DAB=于点O,PO，平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60.(1)求四棱锥P—ABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示).[解](1)在四棱锥P-ABCD中，由PO，平面ABCD,得AZPBO是PB与平面ABCD所成的角，ZPBO=60°在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO±BO,于是,PO=BOtg60°73，而底面菱形的面积为2#.・・・四棱锥P-ABCD的体积V=_义4厂3&3=2.3(2)解法一：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y空间直角坐标系.轴、z轴的正半轴成立在Rt△AOB中OA=3,于是，点A、B、D、P的坐标分别是A(0,B(1,0,0),D(—1,0,0),—3,0),

P(0,0, 3).1E是PB的中点，则E(一. 3于是dea60交POBA),AP=(0,3,3).,0,，对角线AC与BD相17171717设DE与AP的夹角为0,有cos0「29-3 4：4 4弋3 3-2-2arccos-・,・异面直线DE与PA所成角的大小是arccos2；解法二：取AB的中点F,连结EF、DF.由E是PB的中点，得EF〃PA,・•・/FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）,在Rt△AOB中AO=ABcos30°=3-=OP,V于是，在等腰Rt△POA中，6PA=6 ，则EF=.2TOC\o"1-5"\h\z在正△ABD和正△PBD中,DE=DF= ,3,EF.62.cosZFED= 4= 2DE..3 4・,・异面直线DE与PA所成角的大小是17.（2005-22-17）（此题满分12分）已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，ZA是直角，AB||CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线BC1与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）DtCi［解法一］由题意AB//CD, C1BA是异面直线BC1与DC所成的角连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得AC.5,又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H,得CHB90,CH2,HB3,CB.13又在RtCBC1中，可得BC1 .17,在ABC1中,cosABC1AB2BC12AC12 317 ,ABC12ABBC1 17317arccos 22223-17・••异而直线BC1与DC所成角的大小为arccos17［解法二［解法二］如图，以D为坐标原点，分别以角坐标系.AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴成立直则C1(0,1,2),则C1(0,1,2),B(2,4,0)BC1'(2,3,2),(0,1,0),设BC；与CD所成的角CD为 ， __ 317贝ijcos BC1CD317.arccos,IBC1||CD| 17 1731・•・异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos21、(2004-22-21)(此题满分16分)第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分6分如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF〃底面ABC,且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中全部棱的长度之和)(1)证明：P-ABC为正四周体；1(2)若PD=PA,求二面角D-BC-A的2大小；(结果用反三角函数值表示 )(3)设棱台DEF-ABC的体积为V,是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有同样的棱长和？若存在,请详细结构出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明原因.21、【证明】(1)•・•棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等，,DE+EF+FD=PD+OE+PF.又•・•截面DEF〃底面ABC,工DE=EF=FD=PD=OE=PF,/DPE=/EPF=ZFPD=60°,・P-ABC是正四周体.【解】(2)取BC的中点M,连结PM,DM.AM.;BC±PM,BC±AM,・•・BC，平面PAM,BC±DM,则NDMA为二面角D-BC-A的平面角.由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,・・・PM=AM=，由D是PA的中点，得sinDMAADDMAarcsm.sinDMAADDMAarcsm.AM3 3⑶存在知足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值 6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为；，底面相邻两边夹角为 ，1则该六面体棱长和为 6,体积为_sinV.8•・.正四周体P-ABC的体积是_2,...0V_2,08V1.可知arcsin(8V)1 12 12故结构棱长均为—，底面相邻两边夹角为 arcsin(8V)的直平行六面体即知足要求2中，AA，平面ABCD,AB=4,AD=2.若BD±BC中，AA，平面ABCD,AB=4,AD=2.若BD±BC,1 1,求平行六面体ABCD—A1B1clD1的体积.1111直线B1D与平面ABCD所成的角等于3018.［解］连结BD，由于B1BL平面ABCD,B1D±BC,所以BC±BD.在^BCD中，BC=2,CD=4，所以BD=23.又由于直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°,所以1ZB1DB=30°,于是BB1=-^BD=2.故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD•BB1=83.17.(2002-22-17)(此题满分12分)如图，在直三棱柱 ABO—A/BO中，。。/=4,OA=4,OB=3,ZAOB=90°,D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OP±BD,求OP与底面AOB所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)317.ZPOB=arctan—.8

19.（2001-22-19）（此题满分14分）此题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在棱长为a的正方体OABCOABC中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AEBF.（I）求证：afce；（11）当三棱锥BBEF的体积获得最大值时，求二面角BefB的大小.（结果用反三角函数表示）【解】（I）证明：如图，以O为原点成立空间直角坐标系.设AEBFx，则A(a,0,a),F(ax,a,0),C(0,a,a),uuur uuurAF(x,a,a),CE(a,xa,a).uuuruuur•••AFCExaa(xa)a20・・・uuur uuurAF(x,a,a),CE(a,xa,a).uuuruuur•••AFCExaa(xa)a20・・・AFCE.（4分）（II）记BFx,