控制系统状态空间表达式的解

控制系统状态空间表达式的解第1页/共35页2.1线性定常齐次状态方程的解(自由解)

所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻

时的状态给定为则式(1)有唯一确定解：(2)若初始时刻从开始，即则其解为：(3)

证明

和标量微分方程求解类似，先假设式(1)的解为的矢量第2页/共35页幂级数形式，即(4)代入式(1)得：(5)

既然式(4)是式(1)的解，则式(5)对任意时刻都成立，故的同次幂项的系数应相等，有：第3页/共35页在式(4)中，令，可得：将以上结果代入式(4)，故得：(6)第4页/共35页

等式右边括号内的展开式是矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为，即(7)于是式(6)可表示为：

再用代替即在代替的情况下，同样可以证明式2)的正确性。第5页/共35页2.2矩阵指数函数——状态转移矩阵2.2.1状态转移矩阵齐次微分方程(1)的自由解为：或1．性质一这就是组合性质，它意味着从转移到0，再从0转移到的组合。或(1)2.2.2状态转移矩阵(矩阵指数函数)的基本性质第6页/共35页即2.性质二或(2)3.性质三或(3)4.性质四第7页/共35页或(4)这个性质说明，矩阵与A矩阵是可以交换的。5.性质五

对于方阵A和B，当且仅当AB=BA时，有而当AB≠BA是，则

这个性质说明，除非距阵A与B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。2.2.3几个特殊的矩阵指数函数第8页/共35页1．若A为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若A能够通过非奇异变换予以对角线化，即第9页/共35页则(7)3.若A为约旦矩阵第10页/共35页则(8)4.若(9)第11页/共35页1.根据的定义直接计算2.变换A为约旦标准型（1）A特征根互异其中T是使A

变换为对角线矩阵的变换阵。由式（7），有：2.2.4

的计算第12页/共35页2.2.4

的计算第13页/共35页2.2.4

的计算第14页/共35页2.2.4

的计算第15页/共35页2.2.4

的计算第16页/共35页3.利用拉氏反变换法求(10)证明齐次微分方程两边取拉氏变换即故第17页/共35页4.应用凯莱—哈密顿定理求对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解：（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程，即所以有它是的线性组合。同理第18页/共35页以此类推，都可用线性表示。(2)在定义中，用上面的方法可以消去A的n及n以上的冥次项，即（11）（3）的计算公式第19页/共35页A的特征值互异时，则

证明根据A满足其自身特征方程的定理，可知特征值和A

是可以互换的，因此，也必须满足式（11），从而有：（12）第20页/共35页上式对求解，记得式（12）。A的特征值均相同，为时，则证明同上，有：(13)第21页/共35页上式对，求异数，有：再对求异数，有：重复以上步骤，最后有：由上面的n个方程，对求解，记得公式（13）。第22页/共35页第23页/共35页第24页/共35页第25页/共35页第26页/共35页第27页/共35页2.3线性定常系统非齐次方程的解

现在讨论线性定常系统在控制作用作用下的强制运动。此时状态方程为非齐次矩阵微分方程：当初始时刻

初始状态时，其解为：式中，。（1）（2）当初始时刻为，初始状态为时，其解为：第28页/共35页式中，。（3）证明采用类似标量微分方程求解的方法，将式（1）写成：等式两边同左乘，得：即（4）第29页/共35页对式（4）在上间积分，有：整理后可得式（2）：同理，若对式（4）在上积分，即可证明式（3）。式（2）也可从拉氏变换法求得，对式（1）进行拉氏变换，有：即第30页/共35页上式左乘，得：（5）注意式（5）等式右边第二项，其中：两个拉氏变换函数的积是一个卷积的拉氏变换，即以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得：第31页/共35页

在特定控制作用下，如脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数的激励下，则系统的解式（2）可以简化为以下公式：1.脉冲响应即当时2.阶跃响应即当