河南省南阳市2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题及参考答案

—2023学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，角，其顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则实数的值是（）A． B． C． D．2．已知在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知函数，若，则（）A． B． C． D．4．对于非零向量，，定义．若，则（）A． B． C． D．5．已知在中，为的中点，点满足，则（）A． B． C． D．6．已知，且，则（）A． B． C． D．7．某病毒在一天内的活跃度与时间（，单位：）近似满足关系式，其图象如图所示．已知时，该病毒对人类不具有传染性，则该病毒在一天内对人类不具有传染性的时长大约为（）A． B． C． D．8．已知的角，，的对边分别为，，，且，，，则（）A．4 B．6 C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量，，则（）A． B．C． D．与方向相同10．下列给出的角，其终边与的终边互相垂直的有（）A． B． C． D．11．已知函数（，）的图象有两条相邻的对称轴与，且在区间上单调递增，则（）A．的最小正周期为B．的图象关于点对称C．在区间上的值域为D．方程有3个不等实根12．在中，的平分线交边于点，，，，则（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知在半径为的圆中，弦的长为2，则劣弧的长为__________．14．已知的角，，的对边分别为，，，且，，，则__________．15．已知函数（，）为偶函数，且在区间上没有最小值，则的取值范围是__________．16．如图所示，某次航展期间，一架表演机以的速度在同一水平高度向正东方向飞行，地面上观众甲第一次观察到该表演机在北偏西60°方向，1min后该表演机飞到北偏东75°方向，此时仰角为30°，则该表演机的飞行高度为__________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．（Ⅰ）若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．（Ⅱ）化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求边上中线的长．19．（12分）已知，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．20．（12分）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为直径的三个半圆的面积依次为，，．已知，．（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求的最大值．21．（12分）在平面直角坐标系中有三个向量，，，已知，，，与共线．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的最小值．22．（12分）已知函数的部分图象如图所示，矩形的面积为．（Ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间．（Ⅱ）先将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩小为原来的，最后得到函数的图象．若关于的方程在区间上仅有3个实根，求实数的取值范围．2022—2023学年（下）南阳六校高一年级期中考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案C命题意图本题考查三角函数的概念．解析由三角函数定义，可得，解得．2．答案B命题意图本题考查三角形的性质．解析若，则或，即或，不一定满足；反过来，若，则必有，．3．答案A命题意图本题考查诱导公式的应用．解析，，即，∴．4．答案B命题意图本题考查平面向量的运算．解析∵，∴．由可得两式相减得，∴．5．答案D命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析．6．答案C命题意图本题考查三角函数的概念．解析因为，两边平方得，故，所以与异号，又，所以，，所以，所以所以．7．答案B命题意图本题考查三角函数的性质以及应用．解析由图可知，，且，所以．由以及可得．所以，．令，得，所以，，解得，，因为，所以或．所以该病毒在一天内有对人类不具有传染性．8．答案D命题意图本题考查正弦定理和余弦定理的应用．解析∵，由余弦定理可得，整理得，∴，即，而，∴．又，，∴由余弦定理可得，∴，∴．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案ABC命题意图本题考查向量的坐标运算．解析对于A，因为向量，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，则，所以与方向相反，故D错误．10．答案AD命题意图本题考查任意角三角函数的概念．解析在范围内，终边与的终边互相垂直的角为和，A项中的终边与的终边重合，D项中的终边与的终边重合，故A，D满足．11．答案BCD命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析由题意，，为图象的两条相邻的对称轴，且当时，取得最小值，当时，取得最大值．故最小正周期，故，解得．又当时，取得最大值，故，即，又，故．所以．对于A，的最小正周期，故A错误；对于B，令，解得，令，得，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，当时，，所以，故C正确；对于D，的图象和直线都关于点对称，作图如下，注意到，所以二者只有3个交点，故原方程有3个不等实根，故D正确．12．答案ACD命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析如图所示，过点作交于点，作交于点，则，而，∴，，∴，故A正确，B错误；对于C，∵是的平分线，，而，∴，∴，故C正确；对于D，∵，∴，故D正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案命题意图本题考查弧度制与扇形的相关计算．解析因为圆的半径为，弦的长为2，所以，，所以，故为直角三角形，且为直角，所以弦所对圆心角为，由弧长公式得．14．答案命题意图本题考查正弦定理和余弦定理的应用．解析∵，∴由正弦定理可得，即，∴．15．答案命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析因为（，）为偶函数，则，所以，令，，则，在区间上没有最小值，等价于函数在时没有最小值，所以解得．16．答案命题意图本题考查解三角形的实际应用．解析将图中各点标上字母，如图，其中，则，，．由已知可得，．在中，根据正弦定理可得，即，得，．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析（Ⅰ）由条件知，即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形．（Ⅱ）由平行四边形及三角形中位线的性质可知．所以．作出向量如图所示．18．命题意图本题考查正弦定理和余弦定理的应用．解析（Ⅰ）由正弦定理及条件得，即，由余弦定理得，而，故．（Ⅱ）由于，，可得，即，设的中点为，则在中，由余弦定理可得．19．命题意图本题考查三角函数的概念以及诱导公式的应用．解析（Ⅰ）原式．（Ⅱ）原式．20．命题意图本题考查正弦定理和余弦定理的应用．解析（Ⅰ）∵，∴，得．根据余弦定理，得，∴．（Ⅱ）由正弦定理可得，∴，，∴．由余弦定理得，当且仅当时取等号，∴，即的最大值为．21．命题意图本题考查平面向量的运算．解析（Ⅰ）∵与共线，∴存在实数，使得，又，∴，∵，∴，解得或，∴或．（Ⅱ）∵，∴．由可得，展开得，∴，∴，∴．而，∴，当且仅当，即时取等号，故的最小值为．22．命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析（Ⅰ）由的解析式可知，矩形的面积为，所以．根据点在的图象上的位置知，得．所以．的最小正周期为．令，，得，，所以