大学生数学竞赛（数学类）赛前加强训练题集（高代与解几）

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高等代数与解析几何篇

一、向量空间与矩阵

1.1向量空间

1.(北大2023).回复以下问题：

(1)是否存在n阶方阵A,B,满足AB?BA?E(单位矩阵)？又,是否存在n维线性空间上的线性变换A,B,满足AB?BA?E(恒等变换)？若是,给出证明;若否,举出例子.

(2)n阶行列式A各行元素之和为常数c,则A的各行元素之和是否为常数？若是,是多少？说明理由.

(3)m?n矩阵秩为r,取r个线性无关的行向量,再取r个线性无关的列向量,组成的r阶子式是否一定为0？若是,给出证明;否,举出反例.

(4)A,B都是m?n矩阵.线性方程组AX?0与BX?0同解,则A与B的列向量是否等价？行向量是否等价？若是,给出证明;否,举出反例.

32(5)把实数域R看成有理数域Q上的线性空间,b?pqr,这里的p,q,r是互不一致的素数.判断

3向量组1,nb,nb2,?,nbn?1是否线性相关？说明理由.

2.(北大2023).向量组?1,?2,?,?s线性无关,且可以由向量组?1,?2,?,?l线性表出.证明必存在某个向量?j(j?1,2,?,l)使得向量组?j,?1,?2,?,?s线性无关.

3.(北大2023).设A是n阶正定矩阵,向量组?1,?2,?,?s满足?iA?j?0(1?i?j?n).问

'向量组?1,?2,?,?s的秩可能是多少？证明你的结论.

1.2线性方程组

1.(北大1997).设A,B是数域K上的n阶方阵,X是未知量x1,x2,?,xn所成的n?1矩阵.已知齐次线性方程组AX?0和BX?0分别有l,m个线性无关解向量,这里l?0,m?0.(1)证明

(AB)X?0至少有max(l,m)个线性无关解向量.(2)假使l?m?n,证明(A?B)X?0必有非

n零解.(3)假使AX?0和BX?0无公共非零解向量,且l?m?n,证明K中任一向量?可唯一

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表成?????,这里?,?分别是AX?0和BX?0的解向量.

2.(北大1998).探讨a,b满足什么条件时,数域上的下述线性方程组有唯一解,有无穷多个解,无解？当有解时,求出该方程组的全部解.

?ax1?3x2?3x3?3,??x1?4x2?x3?1,?2x?2x?bx?2.23?1l3.(北大2023).设?是复数域C上的本原次单位根(即,?n?1,而当0?l?n时,??1),

s,b都是正整数,而且s?n.令

?1?b?2b??2(b?1)?1?b?1A???????1?b?s?1?2(b?s?1)????.???(n?1)(b?s?1)?????(n?1)b??(n?1)(b?1)??任取??Cs判断线性方程组AX??有无解？有多少解？写出理由.

4.(北大2023).(1)设A,B分别是数域K上s?n,s?m矩阵.表达矩阵方程AX?B有解的充分必要条件,并给予证明.(2)设A是数域K上s?n列满秩矩阵,试问：方程XA?En是否有解？若有解,写出它的解集：若无解,说明理由.(3)设A是数域K上s?n列满秩矩阵,试问：对于数域K上

s?m矩阵,矩阵方程AX?B是否一定有解？当有解时,它有多少个解？求出它的解集,要求说明理由.

5.(北大2023).回复以下问题：

(1)A是s?n矩阵.非齐次线性方程组AX??有解且rank(A)?r,则AX??的解向量中线性无关的最多有多少个？并找出一组个数最多的线性无关解向量.(2)AX??对于所有的s维非零向量?都有解,求rank(A).

1??1??6.(北大2023).设A,B是n阶矩阵,且满足A??B?E??B?E?.证明:对任意的n维

110??110??列向量?,方程组A(A?A)X?AT2TT?必有非零解.

n7.(中科院2023).设?1,?2,?,?k?R是齐次线性方程组AX?0的基础解系,

s,t?R,?1?s?1?t?2,?,?k?1?s?k?1?t?k,?k?s?k?t?1.

试问：s,t应当满足什么关系,使得

?1,?2,?,?k是方程组AX?0的基础解系,反之,当

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?1,?2,?,?k是方程组AX?0的基础解系时,这个关系必需成立.

8.(中科院2023).考虑齐次线性方程组AX?0,其中A?(aij)(n?1)?n.设Mj(j?1,2,?,n)是在系数矩阵A中消去第j列所得到的n?1阶子式.求证:(1)M1,?M2,?,(?1)n?1Mn是方程组的一个解;

(2)假使A的秩为n?1,那么方程组的解全是M1,?M2,?,(?1)n?1Mn的倍数.

?????x1?x3?0,又知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解9.(中科院2023).设四元齐次线性方程组(Ⅰ)为?x?x?04?2为k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T.(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系;(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解,若没有,则说明理由.10.(中科院2023).??xn?1?xn?4yn,已知x0?1,y0?0,求x100,y100.

y?2x?ynn?n?1?2x1?7x2?3x3?x4?5?x?3x?5x?2x?3?123411.(中科大1997,2023).求线性方程组?的通解.

?x1?5x2?9x3?8x4?1??5x1?18x2?4x3?5x4?1212.(中科大1998).取哪些值时,下面的方程组有非零解:

1?1??11???????11???x1??0???????1??x2??0????.?????????????????n?1?????xn??0??1

1.3矩阵代数

1.(北大2000).设实数域上的s?n矩阵A的元素只有0和1,并且A的每一行的元素的和是常数

r,A的每两个行向量的内积为常数m,其中m?r.(1)求|AA'|;(2)证明s?n;(3)证明AA'的特

征值全为正实数.

2.(北大2023).(1)设A,B分别是数域K上s?n,n?s矩阵,证明：

rank(A?ABA)?rank(A)?rank(En?BA).

(2)设A,B分别是实数域上n阶矩阵,证明：矩阵A与矩阵B的相像关系不随数域扩大而改变.3.(北大2023).矩阵A,B可交换,证明rank(A?B)?rank(A)?rank(B)?rank(AB).

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4.(北大2023).(1)设A,B分别是数域K上s?n,n?m矩阵,则对于所有m?l矩阵C,是否有

rank(ABC)?rank(BC)？给出你的理由.(2)A是n阶矩阵,A的每一元素的代数余子式都等

于此元素,求rank(A).

5.(北大2023).设A是非零矩阵,证明A可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积.6.(中科院2023).设A是n阶实数矩阵,A?0,而且A的每个元素和它的代数余子式相等.证明A是可逆矩阵.

?/n??1?7.(中科院2023).若?为一实数,试计算lim?.?n????/n1???a1???a???50100?100A8.(中科院2023).设a为实数,A??求的第一行元素之和.?R,??1???a???9.(中科院2023).设A,B是n阶实方阵,而I是n阶单位阵,证明:若I?AB可逆,则I?BA也可逆.

n?10a???10.(中科院2023).已给如下三阶矩阵：A??01b?,(1)求det(A);(2)求Tr(A);(3)证明:

?cd1???rank(A)?2;(4)为使rank(A)?2,求出a,b,c和d应满足的条件.

11.(中科院2023).(1)设A,B是n阶方阵,A可逆,B幂零,AB?BA.证明:A?B可逆;(2)试举例说明上述问题中A,B可交换的条件不能去掉.

12.(中科大1997).(1)设n阶矩阵A????Ik?A21A12??,其中Ik是k阶单位矩阵,A22是n?k阶矩阵.证明:A22??k?rank(A)?n,其中rank(A)是A的秩.并证明rank(A)?k的充要条件是A22?A21A12.(2)设A是n阶可逆矩阵,?和?是n维列向量,证明:n?1?rank(A???)?n,并且

Trank(A???T)?n?1的充要条件是:?TA?1??1,这里?T表示?的转置.

?2?1?????12??13.(中科大1997).设5阶3对角矩阵A??.(1)计算A的行列式det(A);????1????12???5?5

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(2)求A的逆矩阵A;(3)求A的Jordan标准形;(4)求对称矩阵A的正、负惯性指数;(5)将阶数5改为n,求n阶方阵A的行列式和逆矩阵.14.(中科大1998).计算矩阵：

?1???cos7(1)???sin??7??7??cos??7?sin??1997?1??0;(2)?0??0?111??111?011??001???19.

15.(中科大1999).n?2,n阶方阵A?(aij)其中aij???0,i?j,?1求det(A)及A.

?1,i?j.16.(中科大1999,2023).求证:与任意n阶方阵可交换的方阵一定是纯量阵.

二、行列式

2.1定义、性质和计算方法

1.(北大2023).A是复矩阵,B是幂零矩阵,且AB?BA.证明|A?2023B|?|A|.2.(中科院2023).计算n阶3对角行列式

Dn?2cos?112cos??.

??112cos????????????n?n3.(中科院2023).已知?,?,?为实数,求A??的行列式的值.?R????????????4.(中科院2023).给定一单调递减序列b1?b2???bp?0,定义????p!p?1????p?1?k?p?1?1min(