2二次曲线上的四点共圆问题的完整结论

xx2+y2+c'x+d'y+e'=0 ②二次曲线上的四点共圆问题的完整结论百年前，著名教材《坐标几何》 著中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是x2y2这四点的离心角之和为周角的整数倍椭圆——十二=1（〃>0,b>0）上任一点A的坐标可a2b2以表示为（〃cos9,bsin9）（9£,角°就叫做点A的离心角，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典（平面解析几何）》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.［1,2］2016年高考四川卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，200年5高考湖北卷理科第21题（也即文科第22题）及200年2高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题（见文献［3,4笔］者）曾.由200年5的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件（其证明也很简洁但有技巧）：若两条直线l：y—y=k（X—X）（i=1,2）与二次曲线i 0i 0r:ax2+by2+ex+dy+e=0（a中b）有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k+k=0.12文献［2］还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.文献［5］用较长的篇幅得出了下面的两个结论（即原文末的命题7、8）：结论1抛物线y2=2px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论2圆锥曲线mx2+ny2=1（mn丰0,m丰n）的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.请注意，文献［5中］所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理 若两条二次曲线ax2+by2+ex+dy+e=0（a丰b），a'x2+b'y2+c'.x+dy+e'=0有四个交点，则这四个交点共圆.证明过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式（九,N不同时为0）：九（ax2+by2+ex+dy+e）+从（a'x2+b'y2+e'x+dy+e'）=0 ①式①左边的展开式中不含xy的项，选从=1时，再令式①左边的展开式中含x2,y2项a—b的系数相等，得^=-——此时曲线①即b—a的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆这就证得了四个交点共圆定理若两条直线l:ax+by+c=0(i=1,2)与二次曲线iiiir:ax2+by2+cx+dy+e=0(a中b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是ab+ab=0.TOC\o"1-5"\h\z12 21证明由l,l组成的曲线即12(ax+by+c)(ax+by+c)=01 1 12 2 2所以经过它与r的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(九,从不同时为0)：九(ax2+by2+cx+dy+e)+从(ax+by+c)(ax+by+c)=0 ③1 1 12 2 2必要性.若四个交点共圆，则存在九,从使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy项的系数^(ab+ab)=0而从。0(否则③表示曲线r，不表示圆，所以ab+ab=0.12 21 12 21充分性当ab+ab=0时，式③左边的展开式中不含xy的项，选从=1时，再令式③12 21aa一bb左边的展开式中含x2,y2项的系数相等，即九a+aa=九b+bb，得九二+2—一i2 i2 b一a此时曲线③即x2+y2+c'x+dy+e=0 ④的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆这就证得了四个交点共圆推论 若两条直线与二次曲线r:ax2+by2+cx+dy+e=0(a丰b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.证明设两条直线为l：ax+by+c=0(i=1,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要iiii条件是ab+ab=0.TOC\o"1-5"\h\z12 21(1)当l/〃即ab=ab时，得四个交点共圆的充要条件即ab=ab=0也即1 2 12 21 12 21a=a=0或b=b=0.12 12(2)当l与l不平行即ab丰ab时，由ab+ab=0得ab中0,ab中0，所以四个1 2 12 21 12 21 12 21

(〃、a交点共圆的充要条件即-尸+I=0也即直线l,l(〃、a交点共圆的充要条件即-尸+I相反数.由此可得欲证成立.高考题1(2016年高考四川卷文科第20题)已知椭圆E：x2+y2=1(a>b>0)的一a2b2 (个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P01\ —73,-在椭圆E01\ —73,-在椭圆E上.271(2)设不过原点O且斜率为5的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线0M与椭圆E交于C,D，证明：|M4卜|MB|=|MC|-|MD|.x2解(1)(过程略)椭圆E的方程是1+y2=1.(2)设A(*)，B(x2,y2)，线段AB的中点为M(x0,y0).x2可得于x2可得于+y2=1,

41(x+x)(x一x)=-(yi+y2)(yi-y(x+x)(x一x)=-(yi+y2)(yi-y2)所以k+k=0ABCD1二k2ABkCDd—x+x—t 22 -4"1+y2) -4y0，由推论1得A,B,C,D四点共圆.再由相交弦定理，立得|MA\•|MS|=|MC|•|MD竞赛题1(2014年全国高中数学联赛湖北赛区预赛第13题)设A、B为双曲线y2x2--=^上的两点，点N(1,2)为线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点.(1)确定人的取值范围；(2)试判断A、B、C、D四点是否共圆？并说明理由.y2简解(1)用点差法可求得直线AB的方程是y=X+1,由直线AB与双曲线x2-彳二九交于不同的两点，可得九＞—1且太中0.y2得直线CD的方程是y=-X+3，由直线CD与双曲线X2交于不同的两点，可得九＞-9且入w0.所以九的取值范围是(-1,0)D(0,+8).(2)在(1)的解答中已k+k=0，所以由推论1立得A,B,C,D四点共圆.ABCD笔者还发现还有一道竞赛题和四道高考题及均是二次曲线上的四点共圆问题,所以用以上定理的证法均可给出它们的简解.这五道题及其答案分别是：高考题 年高考全国大纲卷理科第题即文科第 题已知抛物线Cy2=2px(p＞0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QFI-fPQI.(1)求c的方程；(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一圆上，求l的方程.(答案：(1)y2=4x；(2)X-y-1=0或x+y-1=0.)高考题 年高考全国大纲卷理科第题即文科的题如图所示，已知。为坐标原点，F为椭圆C:X2+y2=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-\；2的直线l与C交于A,B两点，点P满足OA+OB+OP=0.图证明：点P在C上;(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A,P,B,Q四点在同一圆上.

高考题2005年高考湖北卷文科第22题(即理科第21题))设A,B是椭圆高考题3x2+y2=九上的两点，点式(1,3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与该椭圆交于C,D两点.(1)确定人的取值范围，并求直线AB的方程；(2)试判断是否存在这样的九，使得A,B,C,D四点在同一圆上？并说明理由.(答案：(1)九的取值范围是(12,+8)，直线AB的方程是x+y-4=0；(2)当九〉12时时，均有A,B,C,D四点在同一圆上.)y2高考题2002年高考江苏卷第20题)设A,B是双曲线x一彳=1上的两点，点NN(1,2)是线段AB的中点.(1)求直线AB的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于。,D两点，那么A,B,C,D四点是否共圆？为什么？(答案：(1)y=x+1；(2)是.)竞赛题2(2009年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题第一试第三题)如图2所示，抛物线y2=2x及点尸(1,1)，过点P的不重合的直线1、l与此抛物线分别交于点A,B,C,D.12证明：A,B,C,D四点共圆的充要条件是直线1与1的倾斜角互补.12图图推论 设二次曲线r:ax2+by2+ex+dy+e=0(a丰b)上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明设圆内接四边形是四边形ABCD，其两组对边AB与CD、AD与BC及对角线AC与BD所中的直线分别是l:ax+by+c=0(i=1,2)TOC\o"1-5"\h\z1i1i 1i 1il:ax+by+c=0(i=1,2)2i2i 2i 2il:ax+by+c=0(i=1,2)3i3i 3i 3i由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：ab+ab=0,ab+ab=0,ab+ab=01112 1211 2122 2221 3132 3231再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3设点A是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C上的定点但不是顶点，E、F是C上的两个动点，直线AE、AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为曲线C过点A的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案： /一3V 一X2 y2 一高考题6(2009年高考辽宁卷理科第20(2)题)已知A1,-是椭圆C:―+^-=1上I2) 4 3的定点，E、F是C上的两个动点，直线AE、AF的斜率互为相反数，证明EF直线的斜1率为定值，并求出这个定值.(答案：-.)高考题7(2004年高考北京卷理科第17(2)题)如图3,过抛物线y2=2px(p〉0)上一定点P(x,y)(y〉0)作两条直线分别交抛物线于A(x,y),B(x,y).当PA与PB的斜率存00 0 1 1 2 2y+y在且倾斜角互补时，求^的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.(答案:y0y+yrip-u 2-=-2；k=-——.)y ABy00图3高考题8(2004年高考北京卷文科第17(2)题)如图3,抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2),A(x,y),B(x,y)均在抛物线上.当PA与PB的斜率存在且倾斜角11 22互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率.(答案：J1+J2=—4；kAB=T.)推论 设二次曲线r:ax2+by2+cx+dy+e=0(a丰b)上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3两)组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.(3)两组对