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概率统计难题选解(一)1.在圆周上任取两点,连接起来得一弦,再任取两点,连接起来又得一弦。求这两弦相交的概率。解设圆周长为1,设圆周上一点坐标位置为0,逆时针绕圆一周后坐标位置为1。不妨设第一条弦的一个端点位置为0,另一个端点位置为,第二条弦的两个端点位置为和。,和可以看作是3个相互独立的服从上均匀分布的随机变量。当且仅当或时,两弦相交。所以,两弦相交的概率为。2.从一副扑克牌中(有返回地)一张张抽取牌,直至抽出的牌包含了全部四种花色为止。求这时正好抽了张牌的概率。解设4种花色为A、B、C、D。抽次只抽到A。抽次最多只抽到A、B。抽次抽到且只抽到A、B抽次最多只抽到A、B抽次只抽到A抽次只抽到B。抽次最多只抽到A、B、C。抽次抽到且只抽到A、B、C抽次最多只抽到A、B、C抽次抽到且只抽到A、B抽次抽到且只抽到A、C抽次抽到且只抽到B、C抽次只抽到A抽次只抽到B抽次只抽到C。前次抽到且只抽到A、B、C,第次抽到D。第次抽,首次抽到4种花式前次抽到且只抽到B、C、D,第次抽到A前次抽到且只抽到A、C、D,第次抽到B前次抽到且只抽到A、B、D,第次抽到C前次抽到且只抽到A、B、C,第次抽到D。3.个人相互传球,从甲开始。每次传球时,传球着可能把球传给其余个人中的任何一个。求:(1)传了次球,球仍没有回到甲手里的概率。(2)传了次(),没有一个人接到过两次球的概率。(3)第次传球时仍由甲传出的概率。解(1)第1次从甲传出后,又传了次,每次都没有传给甲,即传给其余人中除了甲以外的人中的任何一人,这样的概率为,次后的概率为。(2)第1次,甲传给其余人中任何一人,概率为;第2次,传给其余人中除了甲以外的人中任何一人,概率为;第3次,传给其余人中除了已经接到球的人以外的人中任何一人,概率为;……第次,传给其余人中除了已经接到球的人以外的人中任何一人,概率为。因此,所求概率为。(3)设第次传球时由甲传出,第次传球时由非甲传出。由于第次传球时由甲传出第次传球时由非甲传出传给甲|第次传球时由非甲传出,所以有递推公式,。下面用数学归纳法证明:,。首先,当时,,第1次由甲传出,显然,公式成立。设已知当时,公式成立,有,下面看时:。公式也成立。所以,对任何,公式都成立。4.掷均匀硬币直至第一次出现接连两个正面为止。求这时正好掷了次的概率。解设掷次首次出现“正正”。因为掷次首次出现“正正”。第1次掷出现“反”,以后掷次首次出现“正正”第1次掷出现“正”,第2次掷出现“反”,以后掷次首次出现“正正”所以有递推公式,。同时,显然有掷1次首次出现“正正”,掷2次首次出现“正正”。根据递推公式,可以列出方程:,解这个方程,得到两个解,。所以,的表达式可
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