第七节-空间向量(一)-平行与垂直

第七节空间向量的应用(一)平行与垂直高考概览：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理．[知识梳理]1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示[辨识巧记]1．确定平面的法向量的两种方法(1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定．(2)待定系数法：取平面的两条相交向量a，b，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0))解方程组求得．2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)若直线a的方向向量与平面α的法向量垂直，则a∥α.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不对[解析]不能确定唯一的实数λ，使n1＝λn2，所以n1与n2不平行，故α与β不平行；n1·n2＝－6＋3－20＝－23，故α与β不垂直．所以α与β相交但不垂直．故选C.[答案]C3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))[解析]设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y＝z.故选C.[答案]C4．(2019·陕西黄陵模拟)若两点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值时，x的值等于()A．19B．－eq\f(8,7)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,14)[解析]∵A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋3－2x2＋3x－32)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，∴当|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值时，x＝eq\f(8,7).故选C.[答案]C5．(2019·潍坊摸底)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正确的是________．[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则③正确．∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故④错误．[答案]①②③考点一证明平行关系【例1】如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2eq\r(2)，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.[证明]证法一：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意知，A(0，eq\r(2)，2)，B(0，－eq\r(2)，0)，D(0，eq\r(2)，0)．设点C的坐标为(x0，y0,0)．因为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝3eq\o(QC,\s\up6(→))，所以Qeq\f(3,4)x0，eq\f(\r(2),4)＋eq\f(3,4)y0，eq\f(1,2).因为M为AD的中点，故M(0，eq\r(2)，1)．又P为BM的中点，故P0,0，eq\f(1,2)，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)x0，eq\f(\r(2),4)＋eq\f(3,4)y0,0.又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，故eq\o(PQ,\s\up6(→))·a＝0.又PQ⊄平面BCD，所以PQ∥平面BCD.证法二：在线段CD上取点F，使得DF＝3FC，连接OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A，B，D的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)．∵eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up6(→))，设点F坐标为(x，y,0)，则(x－x0，y－y0,0)＝eq\f(1,4)(－x0，eq\r(2)－y0,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)x0，,y＝\f(\r(2),4)＋\f(3,4)y0，))∴eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)x0，eq\f(\r(2),4)＋eq\f(3,4)y0,0又由证法一知eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)x0，eq\f(\r(2),4)＋eq\f(3,4)y0,0，∴eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD，OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD.(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．[对点训练]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.[证明]建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．得E1，eq\f(1,2)，0，Feq\f(1,2)，0,0，G1,0，eq\f(1,2)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，0，eq\o(EG,\s\up6(→))＝0，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2).设n1＝(x1，y1，z1)为平面EFG的法向量，n2＝(x2，y2，z2)为平面B1CD1的法向量．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1－\f(1,2)y1＝0，,－\f(1,2)y1＋\f(1,2)z1＝0.))令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.则n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1)．由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.考点二证明垂直关系【例2】如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.[思路引导](1)eq\x(建立坐标系)→eq\x(设出相关点的坐标)→eq\x(证\o(PA,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))＝0)(2)eq\x(取PA的中点M)→eq\x(证明\o(DM,\s\up6(→))⊥\o(PB,\s\up6(→))，\o(DM,\s\up6(→))⊥\o(PA,\s\up6(→)))→eq\x(DM⊥平面PAB)[证明](1)取BC的中点O，连接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，BC为交线，PO⊂平面PBC，△PBC为等边三角形，即PO⊥BC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝eq\r(3).∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，eq\r(3))．∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－1,0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，－2，－eq\r(3))．∵eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴PA⊥BD.(2)取PA的中点M，连接DM，则Meq\f(1,2)，－1，eq\f(\r(3),2).∵eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，0，eq\f(\r(3),2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－eq\r(3))，∴eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)×1＋0×0＋eq\f(\r(3),2)×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(DM,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，即DM⊥PB.∵eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)×1＋0×(－2)＋eq\f(\r(3),2)×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(DM,\s\up6(→))⊥eq\o(PA,\s\up6(→))，即DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．[对点训练]如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).证明：A1C⊥平面BB1D1D.[证明]由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝AA1＝eq\r(2)，所以OA＝OB＝OA1＝1，所以A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．由eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，易得B1(－1,1,1)．因为eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，－2,0)，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，所以eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＝0，所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.又BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，所以A1C⊥平面BB1D1D.考点三探究性问题【例3】如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直．已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq\f(BP,PE)的值；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H，则BH＝1，AH＝eq\r(3)，CH＝3，∴AC＝2eq\r(3)，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB，∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.(2)存在．由(1)知，AF，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2eq\r(3)，0)，E(－1，eq\r(3)，2)．假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PE,\s\up6(→))，则λ>0，Peq\f(2－λ,1＋λ)，eq\f(\r(3)λ,1＋λ)，eq\f(2λ,1＋λ).设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)．由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2－λ,1＋λ)，eq\f(\r(3)λ,1＋λ)，eq\f(2λ,1＋λ)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2eq\r(3)，0)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AP,\s\up6(→))＝\f(2－λ,1＋λ)x＋\f(\r(3)λ,1＋λ)y＋\f(2λ,1＋λ)z＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝2\r(3)y＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,z＝\f(λ－2,2λ)x，))令x＝1，则z＝eq\f(λ－2,2λ)，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(λ－2,2λ)))为平面PAC的一个法向量．同理，可求得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)，1))为平面BCEF的一个法向量．当m·n＝0，即λ＝eq\f(2,3)时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时eq\f(BP,PE)＝eq\f(2,3).向量法解决与垂直、平行有关的探究性问题的思维流程(1)根据题设条件中的垂直、平行关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．[对点训练](2018·桂林模拟)如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．[解](1)证明：设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O2＝AAeq\o\al(2,1)＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，∴AO2＋A1O2＝AAeq\o\al(2,1)，∴A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(eq\r(3)，0,0)，C(0,1,0)，D(－eq\r(3)，0,0)，A1(0,0，eq\r(3))，C1(0,2，eq\r(3))．由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，0,0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,1，eq\r(3))，eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0×(－2eq\r(3))＋1×0＋eq\r(3)×0＝0，∴eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(AA1,\s\up6(→))，即BD⊥AA1.(2)假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，设eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(CC1,\s\up6(→))，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0,1，eq\r(3))．从而有P(0,1＋λ，eq\r(3)λ)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1＋λ，eq\r(3)λ)．设平面DA1C1的法向量为n3＝(x3，y3，z3)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n3⊥\o(A1C1,\s\up6(→))，,n3⊥\o(DA1,\s\up6(→))，))又eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，eq\r(3))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y3＝0，,\r(3)x3＋\r(3)z3＝0，))取n3＝(1,0，－1)，因为BP∥平面DA1C1，则n3⊥eq\o(BP,\s\up6(→))，即n3·eq\o(BP,\s\up6(→))＝－eq\r(3)－eq\r(3)λ＝0，得λ＝－1，即点P在C1C的延长线上，且C1C＝CP.课后跟踪训练(五十一)基础巩固练一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直[解析]由题意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))没有公共点．∴AB∥CD.[答案]B2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内[解析]由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))可知eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))共面，所以AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.故选D.[答案]D3．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是()A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)[解析]经计算，P(2,3,3)满足eq\o(MP,\s\up6(→))·n＝0.[答案]A4.(2018·郑州月考)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝eq\f(1,2)EBD．E与B重合[解析]以D为原点，DA，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令AB＝1，则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，F0，eq\f(1,2)，0，D1(0,0,1)．设E(1,1，a)(0≤a≤1)，则eq\o(D1F,\s\up6(→))＝0，eq\f(1,2)，－1，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,1，a)．∵D1F⊥DE，∴eq\o(D1F,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝0.∴eq\f(1,2)－a＝0，得a＝eq\f(1,2).故E为BB1中点．选A.[答案]A5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．斜交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C1C内[解析]建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，则Ma，eq\f(2a,3)，eq\f(a,3)，Neq\f(2a,3)，eq\f(2a,3)，a，eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(a,3)，0，eq\f(2a,3).又C1D1⊥平面BB1C1C，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→))，又MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.[答案]B二、填空题6．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k的值为__________．[解析]∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.[答案]47．(2018·武汉调研)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．[解析]设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.[答案]α∥β8．(2019·西安调研)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.[解析]由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋5－2z＝0，,x－1＋5y＋6＝0，,3x－1＋y－3z＝0，))解得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7)，z＝4，∴x＋y＝eq\f(40,7)－eq\f(15,7)＝eq\f(25,7).[答案]eq\f(25,7)三、解答题9.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.[证明]∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直．以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．证法一：∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1,2，－1)，设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＋2y－z＝0，))令z＝1，则n＝(1,0,1)为平面EFG的一个法向量，∵eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·n＝0.∴n⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.证法二：eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝(0，－1,0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1,1，－1)．设eq\o(PB,\s\up6(→))＝seq\o(FE,\s\up6(→))＋teq\o(FG,\s\up6(→))，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝2，,t－s＝0，,－t＝－2，))解得s＝t＝2.∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FG,\s\up6(→))，又∵eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))不共线，∴eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.10.如图正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝eq\r(3)，且FO⊥平面ABCD.(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF.[证明]取BC中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0,0，eq\r(3))，B(1,2,0)．eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，－2，eq\r(3))．(1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2y＝0，,x＋\r(3)z＝0，))取z＝1，得n＝(－eq\r(3)，eq\r(3)，1)．又四边形BDEF为平行四边形，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，－2，eq\r(3))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，eq\r(3))＝(－3，－4，eq\r(3))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·n＝3eq\r(3)－4eq\r(3)＋eq\r(3)＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))⊥n，又AE⊄平面BCF，∴AE∥平面BCF.(2)eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－3,0，eq\r(3))，∴eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，∴eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，∴CF⊥平面AEF.能力提升练11．已知A(1，－1,3)，B(0,2,0)，C(－1,0,1)，若点D在z轴上，且eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2[解析]∵点D在z轴上，∴可设D点坐标为(0,0，m)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,1，m－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－2,1)，由eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，得eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝m－4＝0，∴m＝4，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3).[答案]C12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO、AM的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面垂直 D．异面不垂直[解析]建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，eq\o(NO,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(NO,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直．[答案]C13．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)及向量a＝(x，y,1)，若向量a分别与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，则向量a＝__________.[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，因为向量a分别与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·