分数阶微积分的基本理论及其简单应用

目录摘要 错误!未定义书签。Abstract 错.误!未定义书签。TOC\o"1-5"\h\z一、 引言 1\o"CurrentDocument"二、 R-L型分数阶微积分的基本理论 1\o"CurrentDocument"（一） 左R-L型分数阶微积分 2\o"CurrentDocument"左R-L型分数阶积分 2\o"CurrentDocument"左R-L型分数阶导数 2（二） 右R-L型分数阶微积分 41•右R-L型分数阶积分 42.右R-L型分数阶导数 4\o"CurrentDocument"三、 R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别 5（一） R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系 5\o"CurrentDocument"R-L型分数阶微积分是整数阶微积分的推广 5\o"CurrentDocument"R-L型分数阶导数也同样具有线性性质 7（二） R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的区别 7\o"CurrentDocument"对于常函数的求导两者得到不同结果 7\o"CurrentDocument"R-L型分数阶微积分是一种加权积分 8\o"CurrentDocument"四、 分数阶微积分在众多方面的具体应用 8（一） 分数阶微积分在图像降噪方面的应用 9（二） 分数阶微积分在粘弹性材料的本构关系领域中的作用 9\o"CurrentDocument"（三） 分数阶微积分在现代信号的处理中的应用 10\o"CurrentDocument"（四） 分数阶导数的幂律记忆性 10\o"CurrentDocument"五、 总结 10\o"CurrentDocument"参考文献 11致谢 错误!未定义书签。一、引言近年来,随着科学技术的飞速发展,分数阶微积分在科技领域的诸多方面所起到的重要作用也越来越明显,例如物理力学领域、自动控制领域、信号处理领域以及生物医学领域等.因此,研究了解分数阶微积分的基本原理及其简单应用就显得尤为重要.分数阶微积分是将经典的整数阶微积分运算拓展到有理分数以及无理数和复数的情形,因此研究分数阶微积分的相关问题可以帮助本科生更好地理解和学习高等数学中所涉及的整数阶微积分方面的知识理论,建构好微积分领域的认知结构,形成更加系统完善的知识体系,从而对微积分知识有更加清晰深入的理解.文章将主要从R-L型分数阶微积分的基本理论、分数阶微积分与整数阶微积分的区别与联系以及分数阶微积分在实际生活中的应用三大部分出发,对分数阶微积分的基本原理及其简单应用进行说明.二、R-L型分数阶微积分的基本理论分数阶微积分这一问题的研究已经具有较长时间,早在微积分创立的时代就已经被提出.1695年,Leibniz给Hospital写信时第一次提出了将微分阶次从整数

推广到非整数的含义的问题.在此之前,整数阶微积分在人们的生产生活中已经得到了广泛应用,但人们逐渐发现,在描述一些复杂问题和复杂现象时,整数阶微积分逐渐出现了一些限制,例如因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等问题,由这些限制引发的对问题的思考让分数阶微积分逐渐走入了人们的视野.那么何为分数阶微积分?如何定义?它又有怎样的性质?以下这一部分就将对Riemann-Liouville型(R-L型)分数阶微积分的定义及其若干性质进行详细介绍.左R-L型分数阶微积分1.左R-L型分数阶积分如何对左R-L型分数阶积分进行定义?在本科阶段的数学分析中，我们学过整数阶积分,并且知道函数u(x)的n阶积分的表达式冷吨)=击以通过Gamma函数,我们可以将上式记为aDaDnU(t)=丄廊r(n)a因此我们将函数u(x)的n(n6N)重积分推广到非整数的情形时可以得出如下定义：设函数u(x)定义在区间(a,b)上,|1>0,则次数为卩的左R-L分数阶积分定义为屮£u(t)=^ft(t ,at r(“)a其中『(Q为Gamma函数：r(z)=严ettzidt, Re(z)>0.所有使上式有意义的函数u所构成的函数类记为W.因此根据左R-L型分数阶积分的定义，我们不难得出以下性质：性质1左R-L型分数阶积分满足下面的线性关系：D"[Au(t)+Au(t)]=AD"u(t)+AD"u(t),A,A6R.atL11、丿22、丿」1at1、丿2at2、" 1 2性质2左R-L型分数阶积分算子有可以顺序交换的性质，即对于任意的|i,v>0,有D"Dvu(t)=D(M+v)^(t)=DvDmu(t).atat at atat性质3u(t)在(0,+8)上具有连续的p阶导数，其中p为正整数，且卩>卩,就会有Dp[o伴"(切=伽)"◎此性质为整数阶导数与左R-L型分数阶积分的复合运算性质的推论.2.左R-L型分数阶导数

左R-L型分数阶导数的定义可以根据上面所给出的左R-L型分数阶积分并结合整数阶积分的定义后得出,即：设函数u(x)是定义在区间(a,b)上的函数,其中卩>0,n>仏,o=n-卩,则次数为卩的左R-L型分数阶导数定义为D^D^u(t)=Dn[D-^u(t)]=t t丄心仃讹―§”5(§)处).r(b)dtna根据左R-L型分数阶导数的定义，我们可以得到它的以下若干性质:性质4左R-L型分数阶导数满足与整数阶导数类似的线性关系:D"［久u(t)+Au(t)］=久D^u(t)+久D^u(t),X，久WR・性质5阶数为卩的左R-L型分数阶导数与和它同样阶数的左R-L型分数阶积分互为逆算子.即设n-1<仏Sn,u(t)在［a,b］上的n阶导数连续，则有DuD-^u(t)=u(t),Vu>0.atat再结合前面介绍的左R-L型分数阶积分的定义和性质，我们可以得出以下：性质6若卩>0,n-1<^<n,u(t)在［a,b］上的n阶导数连续，那么同阶的左R-L型分数阶积分和导数进行复合运算即为：(n-1<^<n).aD-aD，u(t)=u(t)-^n=1[aDrju(t)]t=a^,(n-1<^<n).性质7设a>0，B>0,nD^-a存在，则左R-L型B阶分数阶导数和左R-L型a阶分数阶积分运算的复合公式为DBD-au(t)=D^-au(t).

atat at性质8设aA0，BA0,u(t)有n=[a]+1阶连续的导数，则左R-L型B阶分数阶积分和左R-L型a阶分数阶导数运算的复合公式为D-B(Dau(t))=Da-Bu(t)— [Da-ju(t)](t-a)B-j.atat at j=1at t=ar(p-j+1)性质9由性质3和性质7的结论可得:设nWN,m-1<^<m,且卩n>0,u(t)在区间(a,b)上具有r(r=max{m,n})阶连续的导数，则有u(k)(a)(t-a)k卩—n

r(1+k—“一-^)(i)Dn(aD^u(t))u(k)(a)(t-a)k卩—n

r(1+k—“一-^)(ii)/f(u(n)(t))=aD^u(t)-^n-1性质10设a,^>0,m-1<B<m,n-1<a<n,m,nEZ+,r=max{m,n},u(t)在区间(a,b)上具有r阶连续的导数，则有nDB(nDaU(t))=nDa+Bu(t)-况二〃*%®-(t-a)k-n-B；atat at r(k-n-B+1)Da(DBu(t))=Da+Bu(t)—^m-1aD^m+ku(a)-(t—a)k-m-B.atat at k=0r(k-m-a+1)性质11设u(t)=tXg(t),X>—1,g(t)=^^=0antna,级数的收敛半径为R，0<a<1.若B<X+1,0<a<1;或者B>X+1,Y>0,且当k=0,1,2,m-1时,aR=0,其中m—1<B<m.则有。伴。伴"(£)=讹)=°Df「DM右R-L型分数阶微积分1.右R-L型分数阶积分与左R-L型分数阶积分类似，我们知道，函数u(t)在区间(t,b)上求n(n6N)重积分有必心=(爲代如心皿•因此将此式子中的n推广到非整数的情形，可得到右R-L型分数阶积分的定义,如下：设函数u(x)定义在区间(a,b)上,|1>0,则阶数为卩的右R-L型分数阶积分定义为右R-L型分数阶积分的很多性质都与左R-L型分数阶积分相类似，这里我们只给出右R-L型分数阶积分的部分性质：性质12右R-L型分数阶积分算子是可以互换的，即对任意的p,v>0,有D" Dvu(t) =D3 )u(t) =Dv Dm u(t).tb tb'丿tb '丿tb tb'丿2.右R-L型分数阶导数和左R-L型分数阶导数定义的得出类似,我们将通常意义下的整数阶导数与右R-L型分数阶积分算子作复合运算，即可得到右R-L型分数阶导数的定义如下:设函数u(x)定义在区间(a,b)上，|1>0,n是大于卩的最小整数(n1<^<n),则次数为卩的右R-L型分数阶导数定义为D^u(t)=(D)nDMnu(t)=_O!^匹(严(ft)nM1 "(f)df).tb tb r(n^)dtnt同样，我们可以类比左R-L型分数阶导数的性质得出右R-L型分数阶导数的性质：性质13卩阶右R-L型分数阶微分算子是卩阶右R-L型分数阶积分算子的逆算子•即设n1<“<n,u(t)在a,b上的n阶导数连续，则有u(t)=u(t),V^>0.性质14令卩>0,n 1<“<n,u(t)在&b上的n阶导数连续，则右R-L型分数阶积分和右R-L型分数阶导数运算的复合公式为DuD^u(t)=u(t) DMu(t) (阮W,(n1<^<n).tbtb Jitb t=br(M；1)性质15设a>0，B>0,/严存在，则右R-L型B阶分数阶导数和右R-L型a阶分数阶积分算子的复合公式为/代仔u(t)=/俨性质16⑴设a>阻0,u(t)有皿=⑹+1阶连续的导数，则右R-L型a阶分数阶积分和右R-L型B阶分数阶导数算子的复合公式为Da( DPu(t)) =D (aP )u(t) Y严[DBju(t)] 3 )町(a>P>tbtb tb j=1tb t=br(aj+1)0).(ii)设B>a>0,u(t)有皿=⑹+1阶连续的导数，则右R-L型a型分数阶积分和右R-L型B阶分数阶导数算子的复合公式为Da(D^u(t))=DBau(t) [DBju(t)] (bt)町(p>a>0)tbtb tb J=1tb t=br(aj+1)性质17设meN,^>0>n^u(t),D^+mu(t)存在，则有tb tbDm(tD^u(t))=(1)m^D^+mu(t).D^(Dmu(t))=(1)rnD^+mu(t) Ym1(1)m+ju(j^(b)(b t)j^m.tb tb j=0 r(1+j^m )性质18设a,B>O,m1<p<m,n1<a<n,m,nEZ+,r=max{m,n},且a+B<n,u(t)在区间(a,b)上具有r阶连续的导数，则有Da(DPu(t))=Da+Pu(t) .[N护""儿=0-(bt)ja.tbtb tb k=ir(1ja)以上是关于R-L型分数阶微积分基本概念的综述，它可以帮助我们更好地理解R-L型分数阶微积分的性质和意义,也为下面我们研究分数阶微积分同传统的整数阶微积分之间的联系与区别创造了前提条件.三、R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别通过上一部分的介绍，我们知道，分数阶微积分可以看作是整数阶微积分的推广，因此它们之间也一定存在着千丝万缕的关系.了解分数阶微积分与传统的整数阶微积分的联系与区别将会有利于我们更好地把握分数阶微积分的特点及作用•下面将分别按照左R-L型分数阶微积分和右R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系与区别进行阐述.(一)R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的联系R-L型分数阶微积分是整数阶微积分的推广对卩阶左R-L型分数阶导数(卩>0),n是大于等于卩的最小整数,若函数u(t)的n+1阶导数在区间(0,+8)上连续时,有极限等式：lim 0D^u(t)=Dmu(t)=dn1u(t),^^(n1)+0t dtn1

limD^u(t)=Dnu(t)=dnu(t).An0t dtn上两式说明，若卩=n1为正整数,则可得到一个传统意义下的n1阶整数阶导数：Dn1u(t)=卫上[D1u(t)]=u(n1)(上).at dtnat若卩=n为正整数,则可得到一个传统意义下的n阶整数阶导数：D^U(t)=-^―[D0U(t)]=恥吩)=u(n)(t).at dtnat dtn这表明当a>t,^=n>1(nEN)时，左R-L型分数阶微分算子与传统的n阶导数是一致的•所以，当卩为正整数时,aD^u(t)就是整数阶微分里的卩阶微分，也称为卩阶导数. "力同样的，在左R-L型分数阶积分的定义式子1ftU(t)=r(^)j(t ^)^1U(^)a中，当卩=n为正整数时，^)^1U(^)d^=丄帥r(n)Jau(t)=Dnu(t)=^)^1U(^)d^=丄帥r(n)Jat t即是普通意义下的n(nEN)重积分.综上,我们不难看出，在左R-L型分数阶微积分中，取阶数卩为整数n,当n>0时即可得函数u(x)的整数阶导数，当n<0时即可得函数u(x)的整数阶积分，左R-L型分数阶微积分因此可以看作是传统整数阶微积分的推广，整数阶微积分是左R-L型分数阶微积分的特殊情况.与左R-L型分数阶积分类似，当右R-L型分数阶积分定义式中卩=n为正整数时,我们可以得到必u(必u(t)=t)n1u(^)df.出期=厲皿=盘卜§切心)妹为普通意义下的n(nEN)重积分.同样的，在右R-L型分数阶导数的定义式D^u(t)=(D)n[D0u(t)]=_0!^迥([b(^t)n^1 u(^)d^)•tb tb P(np)dtnJt中，当卩=n1为正整数时，则可以得到一个传统意义下的n1阶整数阶导数D^u(t)=(D)n[D^nu(t)]=(1>)n([b(^t)n^1u(^)d^)•tb tb P(n^)dtnJt综上,我们不难看出，在右R-L型分数阶微积分中，取阶数卩为整数n,当n>0时即可得函数u(x)的整数阶导数乘(1)n,当n<0时即可得函数u(x)的变下限整数阶积分，右R-L型分数阶微积分同样可以看作是传统整数阶微积分的推广，整数阶微积分是右R-L型分数阶微积分的特殊情况.

R-L型分数阶导数也同样具有线性性质在整数阶导数中,我们有就严卫)+A2U2(t)](n)=[AiUi(t)](n)+[A2U2(t)](n)=人气亿)®)+坷鶴⑵⑺)即整数阶导数有线性性质.由前文提到的性质1、性质4,我们可以知道,R-L型分数阶导数与整数阶导数同样都具有线性性质.我们可以通过下面一个简单的例子,更加清晰地观察到两者线性性质之间的相同之处.例1设叫(t)=t3,u2(t)=t4,分别求2Ul(t)+5u2(t)的2阶导数和2阶导数.解：对2u1(t)+5u2(t)求2阶导可得：[2t3+5t4](2)=[6t2+20^3]，=12t+60t2=2(t3)(2)+5(t4)(2),可以发现,线性性质在整数阶导数中得到满足•下面对其求1阶导:1D21D2[2t3+5t4]=丄d0t r(1)丄{M：(t-『(丄)d八0{2[J>—§)-1§3豹丄{M：(t-『(丄)d八0{2[J>—§)-1§3豹+5[啓―d八 0 0§)-宓3豹+[/；(t-§)-15§4处]}=七"0 丿璋)§)-1§吨]}=20砂3+50»"4•可以发现,线性性质在分数阶导数中同样适用.(二)R-L型分数阶微积分与整数阶微积分的区别1.对于常函数的求导两者得到不同结果(*)我们来看当t>a且卩>0函数卩(x)为常函数|i(x)=C时，其分数阶导数由R-L型分数阶微分的定义易求得：(*)DMu(t)=D"C=CD-",(n—1<^<n,n6W).at atr(1—“)例如,当C=2,a=0,卩=2时,1 —102==-^.0tr(2)忌可以看到，与整数阶导数不同，我们对常函数C=2求1阶导数所得的结果并不为20.另外，根据(*)式可以知道，当p(x)=C=0时,詔£°=°，由此我们可以得出,在整数阶导数意义下对常函数求导是为零的,然而在R-L型非整数阶导数的情况下对常函数求导不为零.在这个意义上能够看出，引

入分数阶微积分实际上是对整数阶微积分的推广和补充.2.R-L型分数阶微积分是一种加权积分以左R-L型分数阶积分为例,在左R-L型积分的定义式1ftaDf叭°=丽丿(tC"1U®*a中，令a=0,^=1,可得u(t)=^—u(t)=^—[t(tr(i)Jof)ou(§)处=[u(0处.显然这是一个普通的变上限积分•而当卩取分数时，例如，当卩=3时，有：22U(t)=-1—[t(t d§,0七 璋)丿0而当卩=丄时，有：2D2u(t)=^-[讹f)2"(Cd§.0t r(1)Jo可以看出，左R-L型实数阶积分实际上是一种加权积分，当卩=1时,其权值为1;当卩>1时，卩1>0,则积分变量驛巨离积分上限t越远,(t§)"越大，权值越大;当卩<1时,卩1<0,则积分变量§距离积分上限t越远,(tE)"1越小,权值越小.与左R-L型分数阶积分类似，在左R-L型分数阶导数的定义式中，取a=0,则当卩=1时，稍加变形就可以得到:20巧心=r(M包C3心处可以看出，同样地，左R-L型分数阶导数也可以视作一种加权积分，积分变量驛巨离积分上限t越远，权值越小.右RL型分数阶微积分与其同理.由此我们可以得知，分数阶导数实质上也是一种积分，它能够记录下之前的所有变化，我们称之为分数阶微积分的“记忆”功能.正是分数阶积分的积分结构使得积分变量§取不同值时所对应的权重不同，因此具有了记忆功能.由于分数阶导数具有上述的“积分”作用，因此在非整数阶导数的极限形式表达式里，“积分”作用使得其表现为求和项数为无穷，但这与阶数没有关系，对比整数阶导数只有极限形式表达式，它的求和项数是有限的，且求和项数与阶数相同.四、分数阶微积分在众多方面的具体应用随着科学技术的不断进步，分数阶微积分在众多领域所起到的重要作用也越来越明显.目前国内对于分数阶微积分的研究集中于在自然科学与社会科学的各个领域的应用，主要有物理力学领域、反常扩散相关问题研究领域、自动控制领域、信号处理领域、生物医学领域等方面.下面通过几个例子来说明分数阶微积分目前在科技领域的具体应用.(一)分数阶微积分在图像降噪方面的应用在数字图像的采集、转换和传输过程中,一些孤立的像素点由于成像设备本身或外部环境的因素,会产生一些随机位置,形成噪声.不管它是改进成像设备本身还是减少环境干扰,噪声都很难避免.这些噪声不仅影响视觉效果而且还可能掩盖图像中的重要特征信息,给图像的后续处理带来困难.因此,图像去噪是一个重要的问题,是数字图像处理研究的主要内容.分数阶微积分理论是分形理论的数学基础之一,它在数字图像处理领域的应用为许多学者所接受.基于分数阶微积分,去噪成了其中的一个重要分支.近年来,使用分数阶微积分进行图像处理的方法在这一领域逐渐引起了人们的关注.近年来有学者提出了一种对每个像素都进行不同阶次分数阶积分运算的方法，称为图像去噪算法•具体为:首先设图像f(j)其中每个像素都有八个方向，设M(i,j为这八个方向上的梯度幅值的平均值，对其进行归一化处理后就得到与像素对应的积分阶数，例如取M(i,j)的最大值为Y,最小值为X,就能通过归一化获得动态分数阶：v二(1)x —.(,)因此,我们可以认识到,当梯度均值较大时,存在一个小的负序,它的分数阶积分对噪声有较大的衰减作用;对于中、小梯度幅度与相应大小的积分阶数,其分数阶积分对图像纹理有一定的增强和保持作用.可以知道，邻域半径越大的像素与中心点的像素相关性越小.距离中心点较远的像素将抑制中心点的变化，而靠近中心点的像素将增加中心点的趋势.因此，这种改进方法明显优于其他方法.二)分数阶微积分在粘弹性材料的本构关系领域中的作用以粘弹性材料为例，因为粘弹性材料是一种在外力作用下，粘性和弹性这两种变形机制同时存在的材料，因此要得到粘弹性材料的力与形变之间的关系模型就变得比较复杂•经典的粘弹性模型虽然做到了方便理解，但是由于整数阶微分算子性质的限制，其在蠕动和松弛初期的情况下不能很好地做到同实验数据精准匹配.在这种情况下，分数阶微积分的出现为计算有关粘弹性材料的力与形变量存在的关系的问题提供了很大帮助.首先，弹性变形指的是，物体在外力的作用下变形，外力撤销后变形完全消失的情况•在牛顿经典力学中，理想弹性模型的线弹性变形的力与形变量之间的关系满足虎克定律，即F(t)二k T(t)其中F(t是力，t(是形变量,k是材料的劲度系数.其次，牛顿流体是指任一点上的剪应力都同剪切变形速率呈线性函数关系的流体，其力与形变量之间的关系满足牛顿粘性定律，即F(t)二/!—,其中F(t)是指剪应力，卩是指流体动力粘性系数(即粘度)，迪是指剪切变形速率.dt粘弹性材料由于介于弹性材料和牛顿流体之间,因此它的力与形变量之间的关系就满足F(t)=即厂(t)(0<Q<1).可以观察到,在粘弹性材料的力与形变量的关系公式中，当a取0时,得到的就是理想弹性材料所满足的虎克定律;当a取1时，得到的是牛顿流体所满足的牛顿粘性定律.分数阶微积分在现代信号的处理中的应用现代信号的分析与处理要依靠分数阶微积分领域的基础.由于现代信号具有分数阶导数的特性,所以传统的整数阶导数无法很好地描述和处理信号.主要原理是通过控制阶数u(0<u<1)来达到既使信号保持在低频范围,又能增强信号强度的效果.分数阶微积分在现代信号的处理与应用中,有一个重要的应用方面被称为“分数阶内插”,表示为Piecewise能量函数即：仔U=—1—卜u]XV=—1—y(y1)(-1)k(x—k)v,r@i) r(v1)k0k价(e)=(—z马.j3目前,分数阶内插在图像增强、图像压缩等方面已经得到了广泛应用.分数阶导数的幂律记忆性在热力学中,布朗粒子在白噪声的环境下受到的阻尼力只与粒子当前的速度有关,不涉及历史速度的问题;但在非均匀介质中,布朗粒子受到的阻尼力还与历史速度有关,即距离当前时刻越近,其所占权重越大,距离当前时刻越远,其所占权重越小.这种记忆性表现为下面的阻尼核函数Y(t):Y(t)=—1一t-a,0<a<1.r(l_a)我们注意到，当取B=1-a时，得到：Y(t)=丄尬-1,0 <仔<1,W)上式即为分数阶积分的核函数.五、总结从数学分类来看,分数阶微积分是数学分析的一个分支,或者整体微积分的一个部分内容,当微分或积分的阶数为整数时,分数阶微积分就转化为了经典的微积分.因此,分数阶微积分作为整数阶微积分的推广,一方面为我们更加深入地了解整数阶微积分提供了有利条件;另一方面,它是我们解决复杂问题时的有力工具.因此,研究分数阶微积分具有十分重要的意义.综上,本文主要有以下三点结论:首先分为左R-L型分数阶积分、左R-L型分数阶导数、右R-L型分数阶积分和右R-L型分数阶导数分别介绍了R-L型分数阶微积分的基本概念以及性质.以此了解分数阶微积分的基本原理,为帮助理解和应用分数阶微积分提供了必要条件.主要分析了分数阶微积分和整数阶微积分之间的联系和区别.联系主要有以下两点：①当分数阶微积分的阶数取整时，即可得到整数阶微积分，从而说明了整数阶微积分是分数阶微积分的特例,分数阶微积分是整数阶微积分的推广和补充•②整数阶导数和分数阶导数都具有线性性质•区别有两点：①对于常函数，整数阶导数求导得到的结果为零，但非整数阶导数求导结果不为零，只有当常函数为零时，非整数阶导数求导结果才为零•②分数阶微积分是一种加权函数，具有“记忆”功能，具有非局部的性质，其微分和积分是对之前过程的叠加，而整数阶微积分则只有局部性质，也并无“记忆”功能.分数阶微积分目前已经应用十分广泛，本文主要介绍了它其中的四种简单应用，即图像降噪、粘弹性材料的本构关系、现代信号的处理以及布朗粒子在非均匀介质中的受力情况，涉及生物医学、电子科技、物理力学等多个方面•除此之外，分数阶微积分还在环境力学、自动控制、信号处理等多个研究领域中得到广泛使用.根据以上的分析我们不难发现，分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，其与整数阶微积分有联系也有区别，因此可以作为许多复杂问题的解决方案•毋庸置疑，分数阶微积分在当