量子物理基础

第42次课日期周次星期学时：2内容提要：第十一章量子物理基础§11.1实物粒子的波粒二象性一.德布罗意假设.德布罗意假设的实验验证.德布罗意假设的意义.电子显微镜目的与要求：1.理解德布罗意的物质波假设及其正确性的实验证实。理解实物粒子波粒二象性。2.理解物质波动性的物理量（波长、频率）和粒子性的物理量（动量、能量）间的关系。重点与难点：德布罗意假设；物质波动性的物理量（波长、频率）和粒子性的物理量（动量、能量）间的关系。教学思路及实施方案：本次课应强调：类比法是科学研究中的一种重要方法。科学理论的发展总是在前人已有的理论基础上发展和创新的，学生既要善于继承前人已有的知识，又要有所创新。电子通过不均匀电场和磁场时要发生偏转是电子显微镜成像原理的主要部分。教学内容：物粒子的波粒二象性一.德布罗意假设1.德布罗意假设1924年德布罗意大胆地提出假设：实物粒子也具有波动性。他并且把光子的能量一频率和动量一波长的关系式借来，认为一个实物粒子的能量E和动量P跟和它相联系的波的频率v和波长人的定量关系与光子一样，为E=me2=h\Jhp=mv=—A这些公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。德布罗意波长mvmv011—mvmv011—V2.■C2hce22+2EEkk0k其中Ek=m2-m0c2是粒子的相对论动能。如果v<<c，因而粒子的动能Ek也就远小于粒子的静能E0。在这种情况下，可用非相对论公式计算德布罗意波长mv、；2mE以电子为例式决定0 \ 0k以电子为例式决定1 12.2— —.—-...■12em'vU力1 12.2— —.—-...■12em'vU力0 0一一=—mv2=eU0应强调指出的是：.实物粒子的德布罗意波长一般是很短的，在通常实验条件下显露不出来。.德布罗意是采用类比法提出他的假设的，当时并没有任何直接的证据，但是很快就在实验上得到了证实。此处应重点说明：类比法是科学研究中的一种重要方法。二.德布罗意假设的实验验证1927年，戴维逊和革末做了平行电子射线在银单晶体上的衍射实验。实验结果有力地证明了德布罗意的物质波假说是正确的。例1.比较动能均为1MeV的电子、中子、光子的德布罗意波长。解：（1）对于电子，其静能£o=V2=0,51MeV由于1MeV的电子动能已经大于电子的静能，因此需要用相对论公式计算德布罗k==-= _=8.75x10-3A★、杜上 P+2EE息波长 、kk0（2）对于中子，其静能E0=m0c2=939MeV由于1MeV的中子动能远小于中子的静能，因此可以用非相对论公式计算德布罗意九=.h =2.87x10-4A波长 \：'2m0Ek（3）对于光子，其动量P=mc，能量E=mc2，由此可以计算德布罗意波长入=h_=hc_=idx10_2APE通过此例具体说明：计算德布罗意波长时，在v«c时用非相对论公式；否则要用相对论公式。在同一个题中既要用非相对论公式，又要用相对论公式，又要用相对论公式。可以突破德布罗意波长计算的难点。例2.计算质量m=0.01kg,速率v=300m/s的子弹的德布罗意波长。九二—=2.21x10_34A解：由德布罗意公式： m0v通过此例具体说明：宏观物体的德布罗意波长非常短，因此宏观物体的波动性非常不显著。三.德布罗意假设的意义.一切微观粒子都有波粒二象性德布罗意假设说明一切微观粒子都有波粒二象性，不管这个粒子的静质量m0为零（如光子，原来以为是纯粹的波）或者不为零（如电子，原以为是纯粹的粒子）。如果我们把一个粒子的能量E和动量P看作是它的粒子性的表征，而把与该粒子相联系的德布罗意波的频率V和波长人作为波性的表征，则波粒二象性这句话可用爱因斯坦公式E=mc2=h0和德布hp=mv=—罗意公式 九表达。.波粒二象性绝不能用经典观念来把握波和粒子的这种二象性绝不能用经典观念来把握。例如，波是由粒子在空间的位移所形成和电子是一个有一定形状的波包两种想法都遇到很大困难。.德布罗意波的统计解释微观粒子的空间分布表现为具有连续特征的波动性。正因为如此，德布罗意波与机械波、电磁波不同，它是一种没有能量转移的概率波。此处应再次重点说明：类比法是科学研究中的一种重要方法。hp=mv=—4。德布罗意关系式 九是德布罗意对科学的贡献对于光子，由于入丫=口所以从光子的能量、动量求光子的频率v和波长人只需爱因斯坦关系E=hv。对于静止质量不为零的实物粒子，由于入vWv,所以由实物粒子的能量、hp-mv--动量求德布罗意波长人和频率V时需德布罗意关系式 九和£=加。2=hu这两个独立的关系式。此处应重点说明：科学理论的发展总是在前人已有的理论基础上发展的，学生既要善于继承前人已有的知识，又要有所创新。四.电子显微镜.由于微观粒子的波动性，人们利用电子的波动性和短波长，可使显微镜的分辨率大大提高。用电子波代替光波制成的显微镜称为电子显微镜。.电子显微镜比光学显微镜的分辨率要高得多。.光学显微镜与电子显微镜的成像原理对照。光学显微镜是利用光经过不均匀媒质时的折射现象，使从一点向各方向发出的光束，通过由玻璃制成的透镜组重新会聚在一点上,达到成像和放大的目的。由电磁学的知识可知，电子通过不均匀电场和磁场时也要发生偏转,如同光线的折射一样。电子显微镜就是利用电子波通过轴对称的非均匀电场和磁场组成的静电透镜、磁透镜使电子波折射后重新聚焦成像并达到放大的目的。第43次课日期周次星期学时：2一内容提要：确定关系一.不确定关系二.用不确定关系讨论几个具体例子定谔方程.波函数.薛定谔方程目的与要求：理解一维坐标动量不确定关系。了解波函数及其统计解释；了解一维定态薛定谔方程。重点与难点：一维坐标动量的不确定关系波函数及其统计解释；薛定谔方程的建立。教学思路及实施方案：本次课应强调：由光学单缝衍射公式可推出电子的单缝衍射公式，进而得到不确定关系。这也说明电子等实物粒子和光一样具有波动性。因此不确定关系也是因为实物粒子具有波动性的必然结果。通过不确定关系在具体问题中的应用强调：数量级的估计也是科学研究中的重要方法。数量级的估计能对该体系作定性的分析，其结果在量级上是可靠的。普朗克常量是量子力学的特征参量。经典物理的的适用范围是：普朗克常量在所讨论的问题中可看作为零。既然微观粒子具有波粒二象性，其运动不能用经典的坐标、动量、轨道等概念来精确描B述。在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数甲(Jt)描述，反映微观粒子运动的基本方程称为薛定谔方程，它是有关波函数的偏微分方程。薛定谔方程和关于波函数的解释，其实是量子力学的基本假设。我们接受这些假设，是因为由此推出的结论能反映微观粒子的运动规律，能解释实验结果。通过与光的类比可以得到波函数的统计解释。可以让学生较容易理解波函数的物理意义。通过对比说明：物质波的波函数中与电磁波的电场强度矢量有不同之处。教学内容：确定关系一.不确定关系设一束德布罗意波长为人的电子束(或光子束)，经缝s衍射后到达屏幕。

由于衍射，光子或电子的速度方向发生改变，其动量在X方向的分量1不确定量为P氏Psin8=P九AxX ,用德布罗意公式入=h/P,可得AP一式中Ax是电子的x坐标的不确定量，AP是电子的动量的x分量的不确定量。考虑到衍射条纹的次极大，可得AxAP>hx这就是不确定关系。不确定关系说明：位置不确定量越小，则同方向上的动量不确定量越大。这就是说，粒子的位置限制的越准确，则动量值越不能准确地确定。这个结论和实际衍射实验结果完全相符。能量和时间这一组量之间的不确定关系：AEAt>h二.用不确定关系讨论几个具体例子我们经常用不确定关系来估算微观体系的基态能量，以求得数量级的知识，对该体系作定性的分析。其结果在量级上是可靠的。1.05义10一34=1.15*106m/s1.原子线度的数量级为10T°米，所以氢原子核外的电子位置的不准确量Ax也为10T1.05义10一34=1.15*106m/smAx 9.1义10-31x10-10若按经典理论，氢原子中电子在轨道上的速度为106m/s,即AVx与Vx同数量级。因此电子在原子中的运动用轨道来描述是不恰当的。2.若在威尔逊云室中做径迹实验，实验中可测得电子位置的不准确量。由不确定关系可得速度的不准确量AVx为Ah 1.05x10-34Av= = 氏12x mAx 9.11x10-31x10-5 m/s实际上，在上述径迹实验中，电子速度Vx可接近光速。因此AVx和Vx相比，可认为AVxT0。这就意味着我们能非常准确地确定电子的速度，所以在威尔逊云室中做径迹实验，可按经典物理的概念处理问题。通过这两例题应重点说明经典物理的适用范围。定谔方程一.波函数我们从自由粒子入手，介绍波函数的物理意义。甲2=¥乎*、就表示粒子在t时刻在(x,y,z)处单位体积内出现的概率，称为概率密度。玻恩的统计解释与实验一致并为物理学界所公认。波函数的标准条件是：单值、有限、连续函数。波函数中的归一化条件：J乎2dV=1凡满足这条件的函数都称为归一化函数。应该注意，物质波的波函数中与电磁波的电场强度矢量有一基本不同之处。即，电磁波的自身是有物理意义的物理量，它说明电磁场的强弱；而物质波的中本身却没有什么直观的才反映着粒子出现的概率密度。物理内容，只有乎2

才反映着粒子出现的概率密度。物理内容，只有二.薛定谭方程薛定谭方程是量子力学中的基本方程，象经典力学中的牛顿方程一样，它是不能由其它基本原理推导出来的。量子力学中的一个基本假定是将力学可观察量变成相应的算符并作用在波函数上。一户X一户y,hd一户X一户y=I 2kdx,hd——l 2kdy,hd--i 2kdz.hdi 2兀dt由非相对论的动量一能量关系E /P、 P2E-T+U(r)=——+UXxyy,z)= (P2+P2+P2)+U(x,y^Z)2m 2mxyz式中T和U分别是粒子的动能和势能。由此可得h。甲 (h2兀)2d2 d2d2」—-[-(——-(―+—+—)+U(x,y,z心2兀dt 2m dx2dy2dz2这就是非相对论量子力学的基本方程一薛定谔方程。若令甲(x,y,z,t)=2(x,y,z)T(t),即所谓分离变量法。由上式可得定态薛定谔方程+ dy2d2 2m+ dy2+—)V+—(E—U)v-0dz2 h2这个方程的每一个解巾(x,y,z)表示粒子运动的某一个稳定状态，与这个解相应的常数E,就是粒子在稳定状态的能量求解时，要求巾(x,y,z)是连续、单值、有限且归一化的函数。因为这些条件的限制，只有当薛定谔方程中总能量E具有某些特定值时才有解。这些特定的能量值称为本征值，而相应的波函数则称为本征解或本征函数。因此，量子力学能自然地得出量子化法则。第44次课 日期 周次 星期 学时：2内容提要：和势垒中的粒子.一维无限深势阱.隧道效应原子.氢原子光谱的实验规律.经典理论处理氢原子问题遇到的困难目的与要求：了解一维无限势阱中粒子的波函数及其能级公式；了解隧道效应。理解氢原子光谱的实验规律。重点与难点：一维无限势阱中粒子的波函数及其能级公式氢原子光谱的实验规律及玻尔的氢原子理论；描述原子中电子运动状态的四个量子数。教学思路及实施方案：自由电子在一块金属内的运动就相当于粒子在势阱中的运动。通过一维无限深势阱问题的求解，让学生明白在量子力学中求解薛定谔方程的步骤。重点说明：无限深势阱问题中的微分方程和简谐振动的振动方程形式相同。因此，尽管这两个问题在物理上是很不同的，但数学上是用同样的方法求解。经典理论和量子力学给出粒子出现在势阱内各点的概率密度不同。

量子力学中，粒子能量只能取离散的值，即无限深势阱中粒子的能量E是量子化。按现代宇宙学的结论，以地球的寿命为例说明：按经典理论，卢瑟福的核型结构就不可能是稳定的系统。可帮助学生理解卢瑟福模型的困难。教学内容：§11.4势阱和势垒中的粒子一.一维无限深势阱设有一势场，粒子m在其间势能为U=Q Q<x<aU=oo,x<0或x>a——+^21|;——+^21|;二odxz在势阱内，u=o,可得一维定态薛定你方程的形式为苴中k2=2mE；h2这一方程和简谐振动的振动方程形式相同，它的通解为V(x)=Asin(3t+5)要确定A,k,3,只能借助于波函数的标准条件。无限深方势阱中粒子运动的波函数为V(x)=22aasin量子力学给出粒子出现在势阱内各点的概率密度为2.一小冗x、二—sin2( )aa这一概率密度是随x改变的，粒子在有的地方出现的概率大，在有的地方出现的概率小，而且概率分布还和整数n有关系。无限深势阱中粒子的能量E：L h2n2E=~n8ma2 n—1,2,3A，由于n是整数，所以无限深势阱中粒子的能量E是量子化的。相邻两能级之差为h2AE=E—E= (2n+1)n+1 n8ma2对于微观粒子，由于m和a2均很小，因此能级间距AE很大，量子效应很显著。对于宏观物体，由于m和a2均很大，因此能级间距AE很小，完全可以将其能量分布当作连续的。.隧道效应若势能分布为势垒时，对于总能量E低于势垒U0的粒子，按照经典的观念，不可能穿透到区域n和m。但是在量子力学中，薛定谔方程给出的解力在x>0的区域仍有一定的值，虽然是逐渐衰减的。这说明在量子力学中，一个粒子能穿越按经典观点看来是绝对不透明的势垒，这是量子力学的显著特点之一。这现象被形象地称为隧道效应。这一现象已为许多实验证实。例如a粒子从放射性核中释放出来就是隧道效应的结果。.扫描隧道显微镜尽管电子显微镜已成为近代用于研究材料结构的有力工具，但由于高速电子会穿进样品深处，样品表面信息与深层次信息混在一起，不能精确反映样品表面的性质，所以并不十分适用于研究材料的表面结构。扫描隧道显微镜可以很精确地观察材料的表面结构，因而成了研究表面物理和其它实验研究的重要显微工具。扫描隧道显微镜的特点是不用光源也不用透镜。它的显微部件是一枚细而尖的金属(如钨)探针。探针可以尖到针尖处仅有一个原子，因此这种显微镜有很高的精度。它的工作原理是量子隧道效应。四.氢原子光谱的实验规律由于光谱仪器的精确性，原子光谱的实验数据就成为检验原子理论的有力武器。1885年巴尔末将组成氢原子可见光谱的各条谱线凑成一个经验公式来表示：111▽=_=R(--—)X ,2n n=1,2,3A其中人是波长，▽是单位长度内所含有的波数，R称为里德堡常数。根据实验结果得到的里德堡常数R的值为 R=1996776x1。7/m五.经典理论处理氢原子问题遇到的困难1911年卢瑟福在a粒子散射实验的基础上提出了原子的核型结构。按卢瑟福原子模型,因质子质量约为电子质量的1837倍，可近似看作核不动而电子绕核在库仑场中作匀速圆周运动。其向心力由氢原子核与核外电子的库仑吸引力所提供V262m—二 r4犯r20氢原子系统的总能量TOC\o"1-5"\h\z1ce2 e2E=E+E=—mv2— 二— kp2 4的r2 8的r0 0其中已取了「一8处为零势面。根据经典电磁理论，绕核运动的电子既是在作变速运动，必将不断地以电磁波的形式辐射能量，辐射出的电磁波频率应等于绕核转动的频率\o"CurrentDocument"1 e2[ ]122兀r4兀smr0按经典理论，卢瑟福的核型结构不可能是稳定的系统:按照能量转换与守恒定律，氢原子向外辐射能量必将导致整个原子系统总能量E的不断减少，电子绕核作圆周运动的轨道半径也将减小。由于经典理论对电子绕核作圆周运动的轨道半径没有任何限制，因此电子绕核转动频率将逐渐改变，即所发射的光谱应是连续的。这与原子线状光谱的实验事实不符。同时由于辐射的缘故，电子的能量会逐渐减少，它将沿螺线逐渐接近原子核，最后落在核上。因此按经典理论，卢瑟福的核型结构就不可能是稳定的系统。例如地球的寿命按现代宇宙学的结论大约为100亿年，在这期间可绕太阳转1010圈。如果让电子也绕原子核转1010圈，按经典理论可计算其寿命只有10—6秒。这就和原子一直是稳定的实验事实水火不相容。第45次课日期 周次 星期 学时：2内容提要：原子.玻尔的氢原子理论.氢原子的量子力学处理.电子自旋子壳层结构一.原子壳层结构目的与要求：理解玻尔的氢原子理论;了解氢原子电子的能量量子化、角动量量子化和角动量的空间量子化的意义;了解施特恩―盖拉赫实验及电子的自旋;了解描述原子中电子运动状态的四个量子数。了解了解泡利不相容原埋和原子的电子壳层结构。重点与难点：玻尔的氢原子理论；描述原子中电子运动状态的四个量子数。教学思路及实施方案：本节先从实验上研究氢原子线状光谱的分布规律，然后再研究玻尔的氢原子理论和氢原子的量子力学处理方法。有利于学生理解人类认识物质世界是如何由浅入深的。让学生明白：如果旧理论中的常数能在新理论中用更基本的常数表示，则理论就向前进了一大步。玻尔理论做到了这一点。它不仅解释了氢原子光谱的实验规律，而且能用更基本的常数来表示Ro玻尔的角动量量子化条件可以通过德布罗意驻波来理解。教学内容：§11.5氢原子三.玻尔的氢原子理论玻尔把氢原子核外的电子看作经典粒子，因此电子绕核的运动仍服从经典力学规律。由牛顿运动定律，电子绕核作圆周运动的运动方程为V262m—二 r4犯r2o玻尔假定电子绕核作圆周运动时只能在一些稳定轨道上，这些稳定轨道满足角动量量子化条件，即L=mvr=nh n=1,2,3Ann，稳定轨道的半径为4兀8h2r=一「n2nme2 n—1,2,3A,此式表明，稳定轨道的半径只能取离散的值，它的半径是不可能连续改变的。因此原子内部粒子运动的图象和经典物理描述的图象完全不同。电子在以核为心，半径为rn的轨道上运动时的能量为：1 e2 me4 1 1E=mv2- =- ■—=—13.6—n2n4犯r （4犯）22h2n2n2”0n 0 eV这就是说，氢原子能量也只能取离散的值，即能量也是量子化的，而且能级间隔随量子数n的增大而迅速减小。当n很大时，能级间隔非常小，以致能量可看作是连续变化的。若令n=1,可得基态能级的能量。此外，玻尔还假定只有当电子从一个具有较高能量的稳定状态En跃迁到另一个较低能量Ek的稳定状态时，原子才发射单色光，频率Vkn为E—ETOC\o"1-5"\h\zV=—n k-knh由上式，可得其波数为\o"CurrentDocument"Vme4/1 1、V=-kn-= (———)knc 882h3ck2n20\o"CurrentDocument"1 1 1▽=二R(———)与式入2n比较，可得里德堡恒量me4R= =1.097373x107882h3c0 /m这个理论值与经验公式中R的实验值十分符合，而且是用电子电量e，电子质量m，普朗克常数h，光速c等更基本的常量表示出了R。玻尔理论对于氢原子和似氢离子光谱的说明得到很大的成功。玻尔关于稳定运动状态和光谱线频率的假设，在原子结构和分子结构的现代理论中，也仍然是有用的概念。玻尔理论是经典理论加上量子化条件的混合物，不是一个内洽的理论系统。例1.计算氢原子中的电子从量子数n的状态跃迁到量子数k=n-l的状态时所发射的谱线频率。并证明当n很大时，这频率即等于电子在量子数为n的轨道上绕转的频率。解:由玻尔理论：电子在半径rme4解:由玻尔理论：电子在半径rme4r1 1v- [ ——]—nn-1 8s2h3(n—1)2n0 2me4(2n-1)8s2h3n2(n-1)2o的圆形轨道上绕转的频率为vmvrnh；s2h2n22 me4V———n——n-n-- /(―0 )- 2兀r 2兀mr24兀2m.兀me2 4s2h3n2n n 0V二V所以当n很大时， n,n—1通过此例的讲解还可介绍玻尔的对应原理：当量子数很大时，量子物理方程就会过渡到经典物理方程，量子图象就与经典图象相同。所以，可以把经典物理看作是量子数很大时的极限情况。例2.氢原子由基态被激发到n-4的激发态，请问：（1）原子吸收的能量；（2）原子回到基态时，其可能发射的光子的波长，并标明所属的谱系。―1 …E——13.6 ——0.85eV解：（1） 4 42所以原子吸收的能量：E4-E1-12.75eV（2）从n-4回到基态，可能发射的光子的波长为n-4fnn-4fn-1,n=4fn—2,n—2fn—1,n—4fn—3,n—3fn—1,n—3fn—2,所以共发射6条谱线，九———————97.4nmE—E4 1九———————487nm

E—E4 2九———————121.7nmE—E2 1九———————1910.7nmE—E4 3九———————102.6nmE—E3 1九———————653.6nmE—E3 2（赖曼系）（巴尔末系）（赖曼系）（帕邢系）（赖曼系）（巴尔末系）三条属于赖曼系，两条属于巴尔末系，一条属于帕邢系。四.氢原子的量子力学处理由于氢原子的薛定谔方程的数学求解比较繁杂，这里只扼要说明其求解的步骤并介绍所得到的一些重要结果。e2U—— 氢原子的核外电子在核库仑场中运动。其势能态波函数满足如下的球坐标系中的定态薛定谔方程:4垢0r,因而描述电子状态的定氢原子的核外电子在核库仑场中运动。其势能态波函数满足如下的球坐标系中的定态薛定谔方程:1S/加、1d加、1 d2^ 2m e2 (r2-L)+ -(sin9—L)+ — 十一(E+ 用r2dr dr r2sinSSS SS r2sin2S。巾2 h2 4后r0式中巾=2（r,。，@）。可用分离变量法求解上式，设

如r,如r,。，4))=R(r)@(0)①(@)其中R只是r的函数，。只是。的函数，而①则只是少的函数。经过一系列的换算、整理,可依次得出分别只含R（r）,@（。）和①（@）的三个常微分方程□①次 +租2①加2I1d/.Qd&. r7/7八m2——次(sm3--)+[1(1+1)-——/—]0=0sin3d9d9 sin231dz dR、 2m「口 62h2Z（/+1）1D nr?dr dr h2 4后 r2mr20对氢原子的定态薛定你方程的求解，就简化为对上面三个常微分方程的求解。求解时,若要求波函数必须满足标准条件和归一化条件，就可自然地得到〃和/只能取不同的整数值。波函数勺就用这三个量子数〃」'勺来表征，也就是说，核外电子的状态是用这三个量子数来表征的。下面，我们分别说明这几个量子数的意义。n叫主量子数，它表示电子能量的主要部分；其取值为n=1,2,3，…表示能量的量子化特性。对于氢原子，上述能量是与玻尔能量一致的：TOC\o"1-5"\h\zm me4 1 1E= •——=—13.6——n （4兀s）22h2n2 n20 eVl叫角动量量子数，简称角量子数，它描述电子相对于核运动的角动量（即玻尔所说的“轨道”角动量），L的大小为：l=0,1,2,3A因电子带负电，其轨道运动必产生“轨道”磁矩：e- he- N=---L=\l（l+1）,--=、.l（l+1）N2m 2m BheN=——=0.927义10-27A.m2其中B2m 叫玻尔磁矩。mt称为磁量子数。电子“轨道”磁矩N在外磁场作用下有一定取向，若取外磁场方向为Z轴正方向，薛定谔方程的解指出电子“轨道”角动量L在Z轴方向的投影只取以下分离的值L=mhm=0,±1,±2,±3ANl,l“轨道”磁矩在Z方向的投影只能取以下分离值目=m目m=0,±1,±2,±3ANlB,l显然，对于确定的角量子数l，磁量子数mi可取2l+1个值，这表明“轨道”角动量（轨道磁矩）在空间的取向只有2l+1种可能。这个理论结果叫做角动量的空间（取向）量子化。由上所述，既然氢原子核外电子状态用量子数n'l'mi来表示，氢原子核外电子定态波函数即V （r,9,。）=R（r）® （9）0（。）为 n,l,mi n,l l/m ,其绝对值平方V2给出电子处于由（n，l，ml,）决定的定态时在空间（r,。，e）各点出现的概率密度。r,。，很不同，MI2就不一样。为