圆锥曲线的解题方法

圆锥曲线的解题方法导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点;定直线称为圆锥曲线的准线;固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率;焦点到准线的距离称为焦准距;焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。做好圆锥曲线的题，主要从以下四个方面入手：一.牢记核心知识好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在轴，轴上的双曲线的渐近线方程傻傻分不清，在做题时自然做不对。所以核心知识必须记清楚，记准确。建议在这章学习时多画图，把基础性质知识点尽可能的标注在图上，这样记忆更加方便，深刻，也可以通过作图来检验自己是否记住。二.计算能力与速度这一章计算能力强的同学学习起来相对轻松一些，但是计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。三.思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为，直线方程为：二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。一、求圆锥曲线方程(1)轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。例题：动点P(x,y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线x=-5的距离少2。求动点P的轨迹方程。解析：依题意可知，{C},由题设知{C},{C}{C}。(2)定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=-3,则点P到定点A与到定直线x=-3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=-3为准线的抛物线。(3)待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。例1：已知点(-2,3)与抛物线{C}的焦点的距离是5,则1JP二。解析：抛物线(｝的焦点为｛C｝,由两点间距离公式解得P=4。例2：设椭圆｛C｝的右焦点与抛物线(｝的焦点相同，离心率为｛C｝，则椭圆的方程为。解析：抛物线(｝的焦点坐标为(2,0)，所以椭圆焦半径为2，故离心率(｝得m=4,而｛C｝，所以椭圆方程为｛C｝。二、圆锥曲线最值问题(1)化为求二次函数的最值根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。例题：曲边梯形由曲线｛C｝及直线x=1,x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。解析：设切点｛C｝，求出切线方程｛C｝，再求出这条切线与直线x=1,x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积二｛C｝，从而得出结论。(2)利用圆锥曲线性质求最值先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。例题：已知双曲线｛C｝的右焦点为F，有一点A(9,2)。试在双曲线上求一点M，使｛C｝的值最小。解析：设点M到对应准线的距离为d,由双曲线的第二定义有d=｛C｝,｛C｝》点A到点M对应准线的距离｛C｝(点A在对应准线上的投影为点A’)。所以当且仅当点M为人人’与双曲线右支的交点时，｛C｝的值最小。(3)化为一元二次方程，用根的判别式求最值将最值问题转化为含有一个量的一元二次方程，利用根的判别式求量范围求解。例题：直线y=x+9,椭圆C焦点为F1(-3,0),F2(3,0),求与直线有公共点M的椭圆中最短长轴。解析：直线与椭圆有公共点，根据题意可联立方程组｛C｝｛C｝，由条件得｛C｝，所以椭圆的最短长轴为｛C｝。(4)利用不等式求最值列出最值满足的关系式，利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件：①每一项都要取正值;②不等式的一边为常数;③等号能够成立。例题：定长为3的线段AB的两个端点在抛物线｛C｝上移动，M为AB的中点，则M到y轴的最短距离。解析：设点A｛C｝，点B｛C｝，｛C｝，长｝，当且仅当｛C｝时取得最小值。所以｛C｝，点M到y轴距离最小值为｛C｝。三、直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。例题1：过点(2,4)作直线与抛物线｛C｝只有一个公共点，这样的直线有 条。解析：由于点(2,4)在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，和抛物线交于一点的直线，故有2条。例题2：直线y=kx+1与椭圆｛C｝恒有公共点，则m的取值范围是 。解析：直线与椭圆恒有公共点，所以联立方程｛C｝恒成立，即(｝恒成立，所以长｝且(｝。四、求参数的取值范围与圆锥曲线有关的参数范围问题常用两种解法：(1)不等式(组)求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围。(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围。例题：已知点人(2，0)和抛物线｛C｝上两点B、C,使得ABLBC，求点C纵坐标的取值范围。解析：由于B、C是抛物线上两个相关的点，所以可通过B点纵坐标的范围建立关于C点纵坐标的不等式求解。设点B｛C｝,点C｛C｝,｛C｝，｛C｝，｛C｝，｛C｝，｛C｝，｛C｝，｛C｝。解得｛C｝或｛C｝。五、动点轨迹方程(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系｛C｝;如：已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求P点的轨迹方程。根据题意直接列式：｛C｝。(2)待定系数法：已知所有曲线的类型，根据条件设出所求曲线的方程，再由已知条件确定其待定系数。如：线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，求此抛物线的方程。(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。(4)代入转移法：动点｛C｝依赖于另一动点｛C｝的变化为变化，并且2｝又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示｛C｝，再将｛C｝代入已知曲线求得轨迹方程。(5)参数法：当动点｛C｝坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示，得到参数方程，再消去参数得轨迹方程。六、定点定值问题在几何问题中，有些几何量和参数无关，从而构成定值问题，解决这类问题长用取参数和特殊值来确定定值的多少，或将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。这类问题通常有两种出来方法：(1)从特殊入手，求含变量定点定值，再证明这个定点定值与变量无关。(2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点定值。例题：过抛物线｛C｝的焦点尸作直线1交抛物线于