菱形的判定专项练习30题

菱形的判定菱形的判定第#页共12页1)证明:•••点E为BC的中点,，be=ce=_1bc,2BA=AD=DC」BC,2AB=BE=ED=AD,「•四边形ABED是菱形；(2)解:过点D作DH_LBC,垂足为H,•.・CD=DE=CE,「.NDEC=60°,・•.NDBE=30°,在RtABDH中，BD=4cm,・•.DH=2cm,AF=DH,AF=2cm.•「AO=ON,BM=MO,.•.四边形AMND是平行四边形，•AC±BD,a平行四边形AMND是菱形,，MN=DN,ON=NC,BM=MO,MN=1BC,「.BC=2DN2(1)•D,E分别是BC,AB的中点，・••DEIIAC且DE=AF=JlAC.2同理DF11AB且DF=AE」AB.2又「AB=AC,「.DE=DF=AF=AE,「•四边形AEDF是菱形.(2)-/E是AB中点，「.AE=-AB=6cm,因此菱形AEDF2的周长为4x6=24cm.(1)vBE=BP,，NE=NBPE,•BCIIAF,「.NBPE=NF,「.NE=NF.•EFIIBD,「.NE=NABD,NF=NADB,「.NABD=NADB,「.AB=AD,•四边形ABCD是平行四边形，・••oABCD是菱形.1)证明：:E是AD的中点，「.AE=DE,AFIIBC,，N1=N2,

V1=Z2在^AEF和^DEC中*ZAEF=ZDEC,;AE=DE•.△AFEM△DCE(AAS),•.af=dc；(2)证明：:D是BC的中点，•.DB=CD，BC,2af=cd,af=db,afiibd,•・四边形afbd是平行四边形，NBAC=90°,D为BC中点，•・AD」CB=DB,2•・四边形afbd是菱形."JB DC•对角线BD平分NABC,「.N1=N2,四边形ABCD是平行四边形，••ABIIDC,「.N3=N1,「.N3=N2,•.DC=BC,又^四边形ABCD是平行四边形，••・四边形ABCD是菱形.(1)•三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF,•.△ABCM△ABF,且NBAC=NBAF=30°,•.NFAC=60°,•.AD=DC=AC,又。「△ABCM△EFC,•.CA=CE,又.「NECF=60°,•.AC=EC=AE,•.AD=DC=CE=AE,•・四边形ADCE是菱形；(2)证明：由(1)可知：△ACD,△AFC是等边三角形,△ACBM△AFB,

•.NEDC=NBAC」ZFAC=30°,且△ABC为直角三角2形，•.bc=1ac,2;EC=CB,•.ec=1ac,•.E为AC中点，•.DE±AC,•.AE=EC,「AGIIBC,•.NEAG=NECB,NAGE=NEBC,•.△AEGM△CEB,AG=BC,（7分）四边形ABCG是平行四边形，丁NABC=90°,.四边形ABCG是矩形t：8.在△ADE和△CDF中，••四边形ABCD是平行四边形,,NA=NC,/DE±AB,DF±BC,ZAED=NCFD=90°.又:DE=DF,△ADEM△CDF（AAS）DA=DC,,平行四边形ABCD是菱形RtAAEGMRtAAEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形.理由如下：丁CD是AB边上的高，CD±AB.又;EG±AB,EGIICD,NCFE=NGEA.又由（1）知，RtAAEGMRtAAEC,NGEA=NCEA,NCEA=NCFE,即NCEF=NCFE,,CE=CF,^^CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形.理由如下：由（1）知，RtAAEGMRtAAEC,则GE=EC；由（2）知，CE=CF,・GE=EC=FC.又「EGIICD,即GEIIFC,,四边形GECFR是菱形.S £11.VD、E、F分别是△ABC三边的中点，deJQac,efJQab,2 2,四边形ADEF为平行四边形.又「AC=AB,・DE=EF.（1）V在-ADFE中（1）V在-ADFE中,ADIIEF,NEHC=NB（两直线平行，同位角相等）..「EH=EC（已知），•.NEHC=NC（等边对等角），.ZB=ZC（等量代换）；（2）VDEIBC（已知），NAED=NC,NADE=NB.ZB=ZC,ZAED=NADE,AD=AE,。ADFE是菱形.1）证明：VNACB=90°,・AC±EC.又VEG^AB,AE是NBAC的平分线，・GE=CE.在RtAAEG与RtAAEC中，[GERE1AE=AE，VM、E、分别为AD、BD、的中点,••MEIIAB,ME=1AB,2同理:FHIIAB,FH=-1AB,,四边形MENF是平行四边形，VM.F是AD,AC中点，•.mf^Ldc,vAB=CD,MF=ME,,四边形MENF为菱形VAE平分NBAD,・NBAE=NDAE,...（1分）在^BAE和^DAE中，'研二ADv'ZBAE=/DAE,lAE=AE•.△BAE上△DAE（SAS）…（2分）•.BE=DE,…（3分）「ADIIBC,「.乙DAE=NAEB,…（4分）」.乙BAE=NAEB,•.AB=BE,…（5分）•.AB=BE=DE=AD,…（6分）14.丁AB=AC,M、O14.丁AB=AC,M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，，am=1ab=1ac=an,MOIIAC,NOIIAB,且Mo/aC=AN,NO=^AB=AM（三角形中位线定理），・•.AM=MO=AN=NO,••・四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15.证法一：.「AD_LBC,ZADB=90。，•••ZBAC=90°,・•.NB+NBAD=90°，NBAD+ZCAD=90°，「.NB=NCAD，丁CE平分NACB，EF±BC,NBAC=90°（EA±CA），,AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），CE=CE,」•由勾股定理得：AC=CF,••△ACG和^FCG中"AC二CFZACG=ZFCG，、CG二CG△ACGM△FCG，NCAD=NCFG，;NB=NCAD，NB=NCFG，・GFIIAB，;AD±BC,EF±BC，・ADIEF，即AGIIEF,AEIGF，・四边形AEFG是平行四边形，;AE=EF，,平行四边形AEFG是菱形.证法二：;AD±BC，NCAB=90°,EF±BC,CE平分NACB，・ADIIEF，N4=N5，AE=EF，;N1=180°-90°-N4，N2=180°-90°-N5,.;N1=N2，「ADIIEF,N2=N3，N1=N3,AG=AE，;AE=EF,AG=EF，AGIIEF，・四边形AGFE是平行四边形，;AE=EF,,平行四边形AGFE是菱形..丁CDIIAB，NFMC=NFAN，•.NNAE=NMCF（等角的余角相等），在^CFM和^AEN中，'NF二NECF=AE，、Zra=ZEAN△CFM^△AEN（ASA），CM=AN，,四边形ANCM为平行四边形，在^ADM和^CFM中，rZD=ZFZDMA=ZCNF，二CF△ADM^△CFM（AAS），AM=CF，,四边形ANCM是菱形.四边形BMDN是菱形.「AMIIBC,NAMB=NMBN,「BMIIFNNMBN=NBNF，NAMB=NBNF,又.「NA=NF=90°,AB=BF,△ABM^△BFN,BM=BN，同理，△EMD^△CND,DM=DN，.・ED=BF=AB,NE=NA=90°，NAMB=NEMD,△ABM^△EDM，BM=DM，・•.MB=MD=DN=BN,••・四边形BMDN是菱形.如图，由于DEIIAC,DFIIAB,所以四边形AEDF为平行四边形.「DEIIAC,AN3=N2,又/1=N2,AN1=N3,AAE=DE,A平行四边形AEDF为菱形..〈EF是BD的垂直平分线,EB=ED,ZEBD=NEDB.VBD是△ABC的角平分线，ANEBD=NFBD.ANFBD=NEDB,AEDIBF.同理，DFIIBE,A四边形BFDE是平行四边形.又:EB=ED,A四边形BFDE是菱形.方法一：:AEIIFC.ANEAC=NFCA.（2分）又:NAOE=NCOF,AO=CO,A△AOE^△COF.（5分）AEO=FO.又EF±AC,AAC是EF的垂直平分线.（8分）AAF=AE,CF=CE,又「EA=EC,AAF=AE=CE=CF.A四边形AFCE为菱形.（10分）方法二：同方法一，证得△AOEM△COF.（5分）AAE=CF.A四边形AFCE是平行四边形.（8分）又「EF是AC的垂直平分线，AEA=EC,A四边形AFCE是菱形.（10分）方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形.（8分）又EF±AC,（9分）A四边形AFCE为菱形(1)四边形BEDF是菱形.在^DOF和^BOE中，NFDO=NEBO,OD=OB,NDOF=NBOE=90°,所以^DOFM△BOE,所以OE=OF.又因为EF±BD,OD=OB,所以四边形BEDF为菱形. (5分)(2)如图，在菱形EBFD中,BD=20,EF=15,贝UDO=10,EO=7.5.由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5.S菱形EBFDjF・BD=BE・ad,即/20X15二号xAD所以得AD=12.根据勾股定理可得AE=3.5,WAB=AE+EB=16.由2(AB+AD)=2(16+12)=56,故矩形ABCD的周长为56v四边形ABCD是平行四边形，AAFIBE,又「EFIIAB,A四边形ABEF为平行四边形，vAE平分/BAF,ANBAE=NFAE,vNFAE=NBEA,ANBAE=NBEA,ABA=BE,A平行四边形ABEF为菱形(1)证明：在矩形ABCD中，vABICD,ANBAC=NDCA,XnCAE=Nace,nACF=NCAF,ANEAC=NFCA．AAEICF．a四边形AECF为平行四边形，Xncae=nace,AAE=EC．a-AECF为菱形.(2)设BE=x，则EC=AE=8-x,在Rt△ABE中，ab2+be2=ae2,即42+x2=(8-x)2.解之得x=3,所以EC=5,即S菱形AECF=ECxAB=5x4=20.四边形AFCE是菱形，理由是：v四边形ABCD是平行四边形，・••ADIIBC,-A0_EO,—,一,COFO;AO=OC,・•.OE=OF,••・四边形AFCE是平行四边形，;EF±AC,「•平行四边形AFCE是菱形(1)AC与EF互相平分，连接CE,AF,;平行四边形ABCD,・••ABIICD,AB=CD,又「BE=DF,・•.AB+BE=CD+DF,AE=CF,AEIICF,AE=CF,「•四边形AECF是平行四边形，「•AC与EF互相平分；(2)条件：EF±AC,;EF±AC,又「四边形AECF是平行四边形，「•平行四边形AECF是菱形.vAB=DCAC=BDBC=CB,「.△AB8△DCB,•.NDBC=NACB,•.BE=CE,又「ZBEC的平分线是EF,••EO是中线(三线合一)，BO=CO,•・四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分)，又:BE=CE,•・四边形BFCE是菱形.(1)证明:vCFIIBE,「./EBD=NFCD,D是BC边的中点，则BD=CD,NBDE=NCDF,・•.△BDE^△CDF.(2)如图所示，由(1)可得CF=BE，XCFIIBE,所以四边形BECF是平行四边形；(3)AABC是等腰三角形，即AB=AC,理由:当AB=AC时，则有ADLBC,又(2)中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形.(1)vDE为BC的垂直平分线，:・NEDB=90°,BD=DC,又vNACB=90°,DEIAC,E为AB的中点，,在RtAABC中，CE=AE=BE,NAEF=NAFE,且NBED=NAEF,NDEC=NDFA,AFICE,1:AF=CE,四边形ACEF为平行四边形；(2)要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，vDEIIAC,,NBED=NBAC,NDEC=NECA,又:NBED=NDEC,NEAC