人教版八年级数学下册教案导学案(全册)

最新人教版八年级数学下册教案导学案（全册）

16.1二次根式第一课时

一、教学目标

1.核心素养：

通过学习二次根式的概念，培养学生数感和符号意识.

2.学习目标

（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能用二次根式表示实际问题中

的数量和数量关系.

（2）知道被开方数必须是非负数的理由，会求二次根式有意义的条件.

3.学习重点

从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念.

4.学习难点

二次根式有意义的条件.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1回顾：什么叫算术平方根？

任务2阅读教程P2,思考：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？

2.预习自测

1.面积为3的正方形的边长为（）

A.V3B.±V3C.-5/3D.9

2.面积为S的正方形的边长为（）

A.V7B.±V7C.-'JsD.s2

3.当x为何值时，&有意义（）

A.x>0B.x<0C.x>0D.x<0

预习自测

1.A2.A3.C

（-）课堂设计

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1.知识回顾

（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是土石，0的平方根是0,-5没有

平方根.

（2）算术平方根：25的算术平方根是5,3的算术平方根是右，0的算术平方根

是0,-5没有算术平方根.

2.问题探究

问题探究一什么样的式子是二次根式？★

活动一回顾旧知，整体感受

用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？

（1）面积为2的正方形的边长为，面积为S的正方形边长

为;

（2）一个长方形硬纸板，长是宽的2倍,面积为130cm2,则它的宽为cm；

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间t（单位：秒）与开始落下

时与地面高度h（单位：米）满足关系h=5t2.如果用含h的式子表示t,那么

t=.

活动二总结反思，得出概念

上面结果都是一些正数的算术平方根，我们知道一个正数有两个平方根；0的平

方根是0；在实数范围里内负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被

开方数只能是正数或0.

二次根式的概念：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.

二次根式具备哪些特点？

（1）有二次根号；

（2）被开方数不能小于0.

活动三牛刀小试初步运用

例1.式子：6,J7,-亚，蚯，47中，二次根式的个数是（）

X

A.1B.2C.3D.4

【知识点：二次根式的定义】

详解：血，行，-后是二次根式，因此有3个，选C.

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点拨：二次根式是一种表示方法，既要看形式是否带有二次根号，又要看被开方

数是否为非负数.

问题探究二二次根式有意义的条件是怎样的？▲

活动一回顾旧知开启新知

（1）式子：拒，瓜,口有意义吗？

（2）对于任意实数&一定有意义吗?

（3）实数x满足什么条件，二次根式月有意义？

点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，因此，三个问题

的结果显而易见.（1）式子：后，而有意义，匚5没有意义；（2）对于任意

实数°,石不一定有意义，因为.有可能为负数；（3）二次根式Q要有意义,

只需x-220即可，即x22.

活动二牛刀小试初步运用

例2.当°取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？【知识点：二次根式

有意义的条件】

(1)/

(2)V771

]

(3)

•Ja-1

详解：（1）而中，无论a取何值，必都有意义；（2）E7中，无论a取何

值，『+1都是一个正数，所以，无论。取何值，V77T都有意义;(3)-中,

Va-l

a-1>0>即a>1.

点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，如果式子中，除

了二次根式外，还有其它形式的式子，如（3）,还得综合考虑，既要考虑二次

根式有意义，还要考虑整个式子有意义.

3.课堂小结

【知识梳理】

（1）形如石（“20）的式子叫做二次根式.

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(2)二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.

【重难点突破】

二次根式有意义的条件探究.①当给定的代数式只是二次根式形式时，只需要满

足被开方数为即可；②当给定的代数式不只含有二次根式时，则要全

面综合考虑，如：代数式不二有意义的条件就应同时满足：QWO和

0,即X—2>0.

4.随堂检测

1.下列各式不是二次根式的是()

A.如B.V«(«>0)c.FD.Vo

【知识点：二次根式的定义】

【参考答案】c

【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有有二次根号；然后

看被开方数是否为非负数.

2.下列式子中，二次根式的个数是()

(1)J；(2)4；(3)VX2+2；(4)V?；(5)V5

A.1B.2C.3D.4

【知识点：二次根式的定义】

【参考答案】B

【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有二次根号；然后看

被开方数是否为非负数.因此，(1)(3)是二次根式.

3.若式子序？在实数范围内有意义，则x的取值范围是()

A.x>5B.x>5C.x<5D.x<5

【知识点：二次根式有意义的条件】

【参考答案】A

【思路点拨】二次根式有意义的条件就是被开方数要为非负数。因此，只需

x-520即可.

4.若式子正在实数范围内有意义，则x的取值范围是()

x-\

A.x>0B.x>0C.x>1D.xNO,且XHI

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【知识点：二次根式有意义的条件】

【参考答案】D

【思路点拨】整个式子要有意义，需满足两个条件：且X-1H0.

5.使拉二有意义的正整数m为.

【知识点：二次根式有意义的条件】

【参考答案】2,1

【思路点拨】因为有意义，所以2-,心0,心2,所以正整数加=2或1

16.1二次根式第二课时

一、教学目标

1.核心素养：

通过学习二次根式的性质以及二次根式的化简，培养学生逻辑能力和推理能

力.

2.学习目标

(1)理解石(020)是一个非负数和(而产=四±0),并能利用它们进行计算和化

简.

(2)理解并掌握77=4(〃20),并能利用这一结论进行计算和化简.

3.学习重点

应用(Va)2=«(a>0)和=a(a>0)进行计算和化简

4.学习难点

二次根式基本性质的灵活应用.

二、教学设计

(-)课前设计

1.预习任务

任务1阅读教程P3-P4,思考：二次根式的性质有是什么？

任务2如何对必进行化简？

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2.预习自测

2

1.(A/9)2=;(V2)=.

2.(V«)2=(a>0);=(a>0).

3.若Jx-l+Jy-2=0,则x+y的值为()

A.1B.2C.3D.0

预习自测

1.9;22.a;a3.C

(二)课堂设计

1.知识回顾

(1)如果一个正数的平方等于a,那么这个数叫做a的算术平方根，规定0的算

术平方根为0.

(2)形如石(a20)的式子叫做二次根式.

(3)二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.

2.问题探究

问题探究一如何理解二次根式石(。20)的双重非负性和(五)2=〃(心0)?★

活动1如何理解二次根式而(“20)的双重非负性？

根据二次根式的定义得知aNO,依据算术平方根的意义可知一个非负数的算

术平方根是非负数，因此后(a±0)具有双重非负性.

例1.若Q+|y-l|=0,求(x-y)2°i6的值.

【知识点：二次根式的性质】

详解：-Jx-2>0,|.y-l|>0,Jx-2+|y-l|=0.x-2=0,y-l=0.x=2,y=l.二

(x-y)20,6=(2-l)2016=l.

点拨：二次根式和绝对值都具有非负性，而两个非负数的和为零，则说明它们各

自为零.

活动2如何理解(石)2=a(“20)?

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例2.(1)边长为上的正方形的面积为.(2)半径为后的圆的面积

为.

(3)(后.(4)(J|)2=.(5)(7o)2=.

【知识点：二次根式的性质思想方法：从特殊到一般】

详解：(1)2.(2)5n.(3)0.5.(4)(5)0

5

点拨：根据算术平方根的意义可知，啦是一个平方等于2的非负数，所以

(痣-=2,也可理解为：面积为2的正方形的边长为役，因此(拉尸=2.

因此可以得到一般性的结论：(石)2=”(a20)

问题探究二如何对二次根式而进行化简？▲

例3.化简：后，向，师,油,后2

【知识点：二次根式的性质思想方法：从特殊到一般】

详解：VF=2,Toy=0.5,行=0,y/(-2)2=2,^^)2=g

点拨：根据算术平方根的意义，因为22=4,4的算术平方根是2,所以正=2；

同理可得而1=0.5,行=0,小主=2,昌)2=g.

归纳总结：J7=a(a>0);当a<0时，=-a.

3.课堂小结

【知识梳理】

(1)二次根式石(a20)具有双重非负性.

(2)二次根式的性质：(Va)2=a(a>0);=a(a>0)

【重难点突破】

(1)(石)2(420)与必的不同点：①意义不同：(石)2(心0)表示非负数a的算术

平方根的平方；必表示a的平方的算术平方根.②运算顺序不同：(&Raz。)是

先求非负数a的算术平方根，再进行平方运算；必是先求a的平方，再求a的

平方的算术平方根.

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(2)善于发现题目中的隐含条件，轻松突破二次根式的性质运用.如：化简

43.14-万)2,题目中就隐含了3.14＜口的条件

4.随堂检测

1.若卜+2|+历方=0,则(x+y)236的值为()

A.1B.-1C.2016D.0

【知识点：二次根式的性质】

【参考答案】A

【思路点拨】绝对值和算术平方根都具有非负性，由于两个非负数的和为零，则

它们本身为零,因此，x=-2,y=3,(x+y)2016=(-2+3)2016=l.

2.计算：(2石9的值为()

A.4石B.12C.6D.4百"

【知识点：二次根式的性质和化简】

【参考答案】B

【思路点拨】利用积的乘方等于积里各个因式分别乘方的积，即(")2=/.b2可

以得到.

3.下列各式计算正确的是()

A.-J(-6)2=-6B.(-近尸=49C.7(-16)2=-16D.-^(^)2

【知识点：二次根式的性质和化简】

【参考答案】A

【思路点拨】上述各式不是某种单一的计算，因此注意运算顺序是预防出错的关

键.

4.计算加犷的结果是()

A.-3B.3C.9D.-9

【知识点：二次根式的性质和化简】

【参考答案】B

【思路点拨】1-3)2中,(-3)2=9,J(-3)2=如=3.

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5.已知x<2,贝I&-4x+4化简的结果是()

A.X—2B.x+2C.—X—2D.2—x

【知识点：二次根式的性质和化简】

【参考答案】D

【思路点拨】ylx2-4x+4=-2)2,x<2，x-2<0,

"x?-©+4=J(X-2)2=2-x

16.2二次根式的乘除第一课时

一、教学目标

1.核心素养：

通过对二次根式乘法法则的学习，培养学生的运算能力.

2.学习目标

(1)由特殊到一般，导出二次根式的乘法法则：石•扬=而(“20,320),并能

运用它进行计算；

(2)利用逆向思维，得出积的算术平方根的性质：〃石=石•加(“20,心0),并

能运用它进行化简.

3.学习重点

二次根式乘法法则:4a»y/b=4ab(a>0,b>0),以及=4a•扬(a>0,b>0)的运用.

4.学习难点

灵活运用石•扬=疝(“>0力>0)进行计算.

二、教学设计

(一)课前设计

1.预习任务

任务1石•%成立的条件是什么？

任务29化简的结果是什么？

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2.预习自测

1.火x痣的结果是（）

A.2B.4C.8D.16

2.计算而•。的结果是（）

A.V4B.2C.4D.±2

3.计算3拒・26的结果是（）

A.5而B.屈C.6A/6D.5标

预习自测

1.B2.B3.C

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）二次根式的概念：形如右（“20）的式子叫做二次根式.

（2）二次根式的性质：（向2=或“20）；7?=«（«＞（））

2.问题探究

问题探究一二次根式的乘法法则是怎样的？★

活动一从特殊到一般探究法则

计算下列各式.

(1)•V9=，J4x9=

(2)V16«V25=___________,716x25=___________;

(3)而.欣=，,25x36=;

观察上面的计算结果，你发现的规律是（文字表达）；

结论：________________________________L用字母表达）.

思考：为什么6•加=而中要对的取值进行限制？

反思-ja»4b=y/a»b.成立的条件是什么？

a>0,b>0.

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小结二次根式的乘法法则：及•后=后花(。20,心0).

活动二反思法则巩固提升

二次根式的乘法法则：&♦&=Ja・b(a20,b20)中,为什么a20,b*0?

因为只有当时二次根式才有意义.

例1.计算：(1)V2xV5;(2)出x2次；(3)-73x727;(4)"x产(a>0).

【知识点：二次根式的乘法】

详解：(1)72x75=710;(2)3^x278=674=12;(3)"xa=-屈=-9；

(4)xp=yfa^=a(a>0)

点拨：二次根式的乘法运算直接按照二次根式的乘法法则进行即可.

问题探究二由二次根式的乘法法则：石•加=而与3*0,-0)可以逆向得到

-Jab=-/a,4b(a>0,b>0)?▲

活动一逆向思维得出性质

因为&=4cib{a>0,b>0),所以=y[a»y[b(a>0,b>0).利用这一结论对

下列各式进行化简：

(1)749x121=X=X=；

(2)=XX=XX&2.)=

(说明：本章中所有字母如果没有特别说明，则都表示正数)

活动二观察思考巩固新知

(1)式子：F,匚5有意义吗？

(2)式子J(-2)x(-3)有意义吗?

(3)式子J(-2)x(-3)=匚1义口吗？

点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，因此，(1)中

两个式子显然没有意义.式子；(2)中(-2)X(-3)=6,因此(2)有意义;

(3)中，等号右边的两个式子显然没有意义，因此一定不相等.

活动三类比迁移运用新知

第11页共188页

式子&=吗?成立的条件是什么？

当a20,此0时，4a»4b=^a»b.因此』a，b=&»4b成立的条件是a>0,b>0.

例2.计算下来各式：【知识点：二次根式的乘法】

(1)754;(2)716x18;(3)yl9a2b2(a>0,b>0)

详解：(1)y/54=J9x6=y/9x遥=3>/6;

(2)716x18=716x79^2=716x79x72=4X3XV2=125/2;

(3)J9a2/y=79xx7^=3xax/>=3ab(a>0,b>0)

点拨：对于被开方数是一个数的情形，可以将被开方数转化为几个正因数的乘积

形式，再直接利用右T=G6(。20120)进行化简计算.

3.课堂小结

【知识梳理】

(1)二次根式的乘法法则：“•新=向心。,20)；

(2)积的算数平方根的性质：箍=&•限

【重难点突破】

(1)在运用二次根式乘法法则时，注意被开方数的取值范围，即a—0,b—0,

否则，石、扬就无意义；同时二次根式的乘法法则还可以推广到多个二次根式的

运算，即4a»\[b»4c=(a>0,£>>0,c>0),(参考解答过程：

石•扬・瓜=而.人=麻).当二次根式前有系数时，可类比整式乘法，将系数

之积作为积的系数.

(2)二次根式乘法法则的逆用〃石=及.加0820)一定注意条件的限制，如

果没有这一限制条件，此结论就不一定成立.如J(-2)x(-3)有意义,计算时不能

写成CxH，而应该写成J(-2)x(-3)=五后=6.

4.随堂检测

1.下列计算正确的是()

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A.V3xV5=15B.五x五=2C.V2xV2=4D.4a»>[b=4ab

【知识点：二次根式的乘法】

【参考答案】B

【思路点拨】直接运用二次根式的乘法法则：而・加=疝（“20,八0）判断即可,

选项D中，没有对a为进行探究限制，所以D选项不一定正确.

2.下列各等式成立是（）

A.45/5x275=875B.573x275=7V15C.473x372=1275D.73x75=715

【知识点：二次根式的乘法】

【参考答案】D

【思路点拨】运用“扬xo后=ac4bd（b>0,J>0）判断即可.

3.计算gxg的结果是（）

A.2B.4C.8D.16

【知识点：二次根式的乘法】

【参考答案】A

【思路点拨】运用二次根式的乘法法则可得：木x&目=0=2

4・计算：一5导・旧・3庖

【知识点：二次根式的乘法】

【参考答案】-20府

【思路点拨】根据二次根式的乘法法则可得：

-5号Ji*§南=-5倍•楞•3用=（-5xlx3）倡x*54=-15栓吟x54

=-15J—=-15x-V10=-20Vi0

V93

16.2二次根式的乘除第二课时

一、教学目标

1.核心素养：

第13页共188页

通过对最简二次根式和二次根式除法法则的学习，培养学生逻辑推理和运算能

力.

2.学习目标

（1）理解器书.2℃0）和聆=安心0/>0）,

并能利用它们进行计算;

（2）理解最简二次根式的定义，知道二次根式运算的结果必须是最简二次根式.

3.学习重点

理解书书aN0，b>。）和聆=亲。20力>0）,并能利用它们进行计算和化简.

4.学习难点

利用*甘（心。力>0）和辰%>0,b>0）进行计算和化简.

二、教学设计

（-）课前设计

1.预习任务

任务1二次根式的除法法则是怎样的？

任务2什么叫最简二次根式？

2.预习自测

1.式子后=已成立的条件是（）

A.a>5B.a>5C.0<a<5D.04a<5

2.下列根式中不是最简二次根式的是（）

A.MB.而C.V6D.V3

3.计算2回+后的值为（）

A.278B.4V2C.24V2D.-73

3

预习自测

l.B2.B3.B

（-）课堂设计

第14页共188页

1.知识回顾

（1）二次根式的乘法法则：G•斯=而（。20,620）；

（2）积的算数平方根的性质：而=布・扬（。20力之0）.

2.问题探究

问题探究一二次根式的除法法则是怎样的？▲

活动一从特殊到一般探究法则

计算下列各式：

观察上面的计算结果，你的发现的规律是（文字表达）;

总结二次根式的除法法则：（用字母表达）.

活动二反思法则巩固提升

为什么落监（。20,b>0）中要对a,b的取值进行限制?与二次根式的乘法法

则进行比较，“力的取值有什么变化？

（因为既要考虑二次根式本身有意义，还得考虑整个式子是否有意义，因此

«>0,/7>0,与二次根式的乘法法则比较，岫的取值变化是这里的/”（）,所以

b>0)

活动三逆向思维类比迁移如何对二次根式的化简？

类比积的算术平方根的性质我们可以得到商的算术平方根的性质论:

祗=（a>0,b>0）.

结论：商的算术平方根的性质监=亲—

第15页共188页

例1计算：

⑴皆⑵岛后

【知识点：二次根式的除法】

详解：(1)=屉=』2。*2=2亚;(2)京+=gxl8=,3x9=3百

【点拨】按照二次根式的除法法则卷=「(心0力＞0)运算即可.

例2化简：

【知识点：二次根式的除法】

详解:⑴信磊晤⑵信嘲唱f⑶鸟辱瑞普

【点拨】如果被开方数是带分数，则先将带分数化为假分数，再利用商的算术平

方根的性质进行计算，如果被开方数是小数，则可先将小数化为分数，再直接利

用商的算术平方根的性质J=*(底。力＞0)计算即可.

问题探究二什么样的式子是最简二次根式？▲

观察与思考下列各式中的被开方数有何共同特点？

42,后,殛(〃＞0),皇

a4

第16页共188页

特点：（1）被开方数不含_________________________________________________

（2）被开方数不含_________________________________________________

结论：我们把满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式.

温馨提示：在二次根式的运算中，一般要把二次根式化为最简二次根式.

例3化简⑴旧也耒；⑵得唇信

【知识点：二次根式的除法】

【点拨】被开方数是带分数的要先化成假分数后，再进行乘除，计算的结果含有

分母时，要乘以分母的有理化因式，使其被开方数不含分母和开得尽方的因数或

因式，达到最后结果是最简二次根式的目的.

3.课堂小结

【知识梳理】

（1）二次根式的除法法则：*=/伍208>0）

（2）最简二次根式的条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方

的因数或因式.

【重难点突破】

（1）在运用二次根式除法法则时，注意被开方数的取值范围，即“—Q,b—0,

要特别注意匕>0,因为当6=0时，分式没有意义；当被开方数是带分数时，应

先化成假分数，如旧必须先化成怖，避免出现旧=这样的错误.

（2）只有当a0,b0时，¥=「才能成立.

（3）二次根式的运算结果都必须是最简二次根式，把二次根式化成最简二次根

式需满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因

数或因式.

（4）当二次根式的被开方数是不能再约分的分数（包括小数）或分式时，化简

第17页共188页

方法一，利用商的算术平方根的性质化简：①“化”，将根号下的数化成分数形

式，如果是带分数，则将其化为假分数的形式；②“写”，利用商的算术平方根

的性质将《写成*（/08>（））的形式；③“乘”，分子、分母都同时乘以一个

适当的数，化去分母中的根号；④“约”，即约去分子、分母中的公因式，如:

_V5_后X拒_V15

•方法二，先直接去分母再化简：①将根号下的数化

w一耳—V3xV3-r

成分数形式，如果是带分数，则将其化为假分数的形式；②将分子、分母都同时

乘以一个适当的数或式，使分母变成一个数的平方数；③将分母进行开方，直接

作为化简后的分母，再对分子利用积的算术平方根的性质进行化简.如：

C25,5x3厉厉后

w=~

4.随堂检测

1.设一个长方形的面积为4石，一边长为2石，则另一边长为（）

A.2百B.2后C.2D.V3

【知识点：二次根式的除法】

【答案】B

【思路点拨】长方形的面积除以其中一边长就等于另一边长.

2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.V12B.V?C.&+/D.A

【知识点：最简二次根式】

【答案】C

【思路点拨】

3.等式三成立的条件是（）

\x-2Jx-2

A.xw2B.x>0C.x>2D.xZO,且xw2

【知识点：二次根式的除法】

【答案】C

第18页共188页

尤>0

【思路点拨】由题意可得一八，所以x>2.

4.化简:口——.

【知识点：二次根式除法】

【答案】空

9x2

【思路点拨】后中,被开方数的分子、分母同时乘以3x就可实现分母有理化.

16.3.1二次根式的加减第一课时

一、教学目标

1.核心素养：

通过学习二次根式的加减运算概念，培养学生的运算能力.

2.学习目标

（1）能够将二次根式化成最简二次根式，并能将被开方数相同的二次根式进行

合并.

（2）能正确进行简单的二次根式的加减运算.

3.学习重点

二次根式加减法的运算.

4.学习难点

把二次根式化成最简二次根式后，对被开方数相同的进行合并.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1回顾：什么叫最简二次根式？

任务2阅读教程P12T3,思考：如何对二次根式进行加减？

2.预习自测

1.V8-V2的结果是（）

A.V6B.72C.6D.2

第19页共188页

2.计算：般+g+旧的结果是（）

A.忘B.立C.逑D.逑

8168

3.若最简二次根式3，一师友和阿丁能够合并，则这两个二次根式的积

为.

预习自测

1.B2.D3.6

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）最简二次根式的条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方

的因数或因式.

（2）如何进行整式的加减运算？

2.问题探究

问题探究一满足什么条件的二次根式可以进行合并？★

活动一回顾整式的合并同类项

计算下列各式：

（1）a+2a;（2）3x—2x;

小结：合并同类项时，系数相加作为和的系数，字母和字母的指数不变

活动二类比迁移学习新知

计算下列各式：

(1)V3+2V3;(2)3百-2后

解：（1）原式=6+26=（1+2）石=3石；（2）原式=（3-2）6=石

结论：最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减,

根号和根号内的数不变.

活动三反思总结巩固新知

问题：△+后能合并吗？为什么？及+五呢？

结论：石+石不能合并；V2+V8=V2+2V2=3A/2

二次根式能够进行合并的条件：（1）首先将二次根式化成最简二次根式；（2）

第20页共188页

观察被开方数是否相同.

问题探究二如何进行二次根式的加减运算？▲

现有两个面积分别为厢和J芯的正方形.（1）求大正方形与小正方形面积

之和；（2）求大正方形的面积比小正方形的面积多多少？

分析：（1）求两个正方形的面积之和实际上就是求厢、J石的和，我们可以这

样来计算：V80+745=475+375...（化为最简二次根式）

=（_+_）V5...（乘法分配率）

=7后

（2）求大正方形的面积比小正方形的面积多多少，实际上就是求厢与历

的，仿照（1）我们可以得到：V80-V45

=……（化为最简二次根式）

=（-）后....（乘法分配率）

观察与思考：

（1）观察上述计算过程，思考二次根式是如何进行加减的？

通过观察我们发现：在进行二次根式加减时，首先把不是最简二次根式的二

次根式化简成,然后利用将被开方数相同的

二次根式进行合并.

（2）二次根式加减运算的实质是什么？

二次根式加减的实质就是合并同类二次根式，同类二次根式的两个条件：①

二次根式为;②相同.

答案：（1）最简二次根式；乘法分配率；（2）最简二次根式；被开方数.

3.课堂小结

【知识梳理】

（3）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同.

（4）二次根式加减的实质：合并被开方数最简二次根式.

【重难点突破】

第21页共188页

（2）二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：

①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并，如行+百力石；

②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，

被开方数和根指数不变，如：3五+2后=5五而不是3正+2后=5VZ.

（2）二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并.

4.随堂检测

1.下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）

A.J4与7?7B.+江与JX?-y2C.与+〃D.J2al与］2ba

【知识点：同类二次根式】

【参考答案】D

【思路点拨】化成最简二次根式之后，被开方数相同

2.下列各组二次根式中，化简后被开方数相同的是（）

A.Jx2y3与J与y2B.Jw+y2与J（x+y）2C.与麻^D,也了手与

【知识点：同类二次根式】

【参考答案】C

【思路点拨】抓住同类二次根式的两个条件：（1）最简；（2）被开方数相同.

3.下列下列计算正确的有（）

①五+百=石；②26+3正=5石；③2历+3而=5而；@V8-J^=|V2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【知识点：二次根式的加减】

【参考答案】B

【思路点拨】二次根式加减的实质是合并同类二次根式，因此化简、判断和合并

是解决此类题目基本思路.

4.计算：「一位的结果是（）

A.--V3B.--372C.石D.--V3

333

【知识点：二次根式的加减】

第22页共188页

【参考答案】D

【解析】、1-痴=3一2石=-*石

V333

5.估算而-行的值在（）.

A.7和8之间B.6和7之间C.3和4之间D.2和3之间

【知识点：二次根式的加减】

【参考答案】D

【解析】V28-V7=2V7-V7=77,内，所以在2和3之间.

16.3.1二次根式的加减第二课时

一、教学目标

1.核心素养：

通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、

推理能力和应用意识.

2.学习目标

（1）类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混

合运算顺序的步骤和方法.

（2）能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

3.学习重点

混合运算的方法和步骤，以及运算律的合理使用.

4.学习难点

熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1回顾：什么叫最简二次根式？

任务2阅读教程P12T3,思考：如何对二次根式进行加、减、乘、除混合运算？

2.预习自测

1.计算（百+行”行的值为（）

A.5B.715+V10C.V30D.Vio

第23页共188页

2.计算（百+四（石-扬的值为（）

A.V5B.5C.1D.2-73-272

3.计算（及+1尸的值是（）

A.2五B.2C.3D.3+272

预习自测

1.B2.C3.D

（-）课堂设计

1.知识回顾

（1）最简二次根式的条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方

的因数或因式.

（2）如何进行整式的加减运算？

2.问题探究如何进行二次根式的加、减、乘、除混合运算？

例1已知矩形的长为5正+26,宽为求它的面积.

【知识点：二次根式的混合运算】

【详解】（5V2+2V3）x>/6=10>/3+65/2

【点拨】长方形的面积=长乂宽

例2计算：（上+3）x（后-5）

【知识点】

【详解】原式=④*后+及*（_5）+3*g+3*（_5）①

=（V2）2-5V2+3V2-15②

=2-2后-15③

=-13-2亚④

点拨：解题的关键在于会做二次根式的乘法和合并同类项。

观察与思考

由上述计算过程可以看出：第①步运用了多项式,实质是乘

法律；第③步对被开方数的二次根式进行了合并。

第24页共188页

结论：我们发现在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立。对于化成

最简二次根式之后，被开方数不相同的二次根式则不能进行加减运算。

3.课堂小结

【知识梳理】

（1）二次根式的混合运算的注意事项：运算顺序，结果必须是最简二次根式.

（2）分母有理化：乘以分母的有理化因式.

【重难点突破】

在进行二次根式的混合运算时，运算顺序与有理数的混合运算相一致，可以把运

算中的每一个根式看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和看作“多

项式”.

4.随堂检测

1.下列二次根式中可以进行合并的是（）

A.y[ab与-Jah2B.-Jm2+n2与-Jm2-n~

C.y/mn与J—+—D.与72a3/74

Vmn

【知识点：同类二次根式】

【参考答案】D

【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同.

2.计算：（亚+1）（亚-1）的结果是（）.

A.3+V2B.3-V2C.1D.3

【知识点：二次根式的混合运算】

【参考答案】C

【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题

利用平方差公式直接计算即可.

3.若矩形相邻两边长分别是而cm和危cm,则它们的周长是.

【知识点：二次根式混合运算】

【参考答案】14后cvn

【思路点拨】矩形的周长=（长+宽）X2

第25页共188页

4.计算：gx（后+3代-弧）的结果是（）

A.3拒B.2V3C.6D.12

【知识点：二次根式的混合运算】

【参考答案】D

【思路点拨】V12x（V75+3^1-748）=712x（573+73-473）=273x2-73=12

5.计算：（a-15、口+工风）土石

V34

【知识点：二次根式的混合运算】

【参考答案】-1

【解析】原式=（3百-5石+扬+△=+6=-1

17.1勾股定理第一课时（袁梅）

一、教学目标

1.核心素养：

通过学习勾股定理，初步发展基本的几何直观和逻辑推理能力.

2.学习目标

（1）观察以直角三角形的三边为边长的正方形面积的关系，发现勾股定理的结

论.

（2）能证明勾股定理.

（3）应用勾股定理解决简单的问题.

（4）了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就.

3.学习重点

探索并证明勾股定理.

4.学习难点

勾股定理的探索和证明.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

任务1：阅读教材P22—P24,思考：勾股定理的内容是什么？你还有哪些方

法可以证明勾股定理?

第26页共188页

任务2：怎样利用勾股定理求线段的长？你能将此公式进行哪几种变形？

2.预习自测

1.求下图中的字母代表的正方形的面积：A=，B=.

第1题图

2.如图，求未知边c=b=

预习自测

1.225,225

2.25,12

(二)课堂设计

1.知识回顾

(1)正方形的面积怎样计算？

(2)经过证明被确认为叫做定理.

2.问题探究

问题探究一、观察图形的面积关系，发现勾股定理的结论

・活动一观察与思考：

(1)等腰直角三角形三边关系

如图1,三个正方形的面积有什么关系？由此联想到等腰直角三角形的三边有何

数量关系？

第27页共188页

（2）两条直角边分别为3、4个单位的直角三角形三边关系

如图2,正方形A的面积为一个单位，正方形B的面积为个单位，正方

形C的面积可以用“割”的方法，将正方形分割成4个直角边分别为、.

的全等直角三角形与1个边长为的正方形面积之和；也可用“补”的方法,

用1个边长为的正方形面积减去4个直角边分别为、一的全等直角

三角形的面积），即正方形C的面积为单位.

通过计算可以发现两直角边分别为3、4个单位的直角三角形的三边关系为

（3）两条直角边分别为任意整数个单位的直角三角形三边关系

请你在下列方格图中，画一个直角边为整数的直角三角形，探究你所画的直角三

角形是否也有上述性质？

命题：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.

符号表示：在RtZkABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,则a2+从=

第28页共188页

问题探究二验证勾股定理I重点、难点知识*上

・活动一大胆猜想，从。2+反=c2的“式结构”来看，可以联想到正方形

面积的“形结构”.

如图3,构造出边长分别为a、从c的正方形面积来证明.

・活动二集思广益，证明勾股定理

如图4,用“补”的方法，可得c2=()2-4X,化简整理得

a2+b2=c2.

如图5,用“割”的方法，可得/=(尸+4X,化简整理得

a2+b2=c2.

图3图4图5

・活动三感受我国数学家赵爽的证明

教材P23—P24,P30,阅读我国古代数学家赵爽对勾股定理的研究，并完成课本

拼图法证明勾股定理.

勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,则a?+b2=c2.

•活动四反思过程，公式变形

公式变形：&=c2-a2-*b=>/c2—a2；

才=c2-b2-a八展F

问题探究三勾股定理的简单应用|重点★

•活动一初步运用，运用定理求线段长

例1在RtaABC中，ZC=90'\NA、NB、NC的对边分别是a、b、c.

【知识点：勾股定理；数学思想：数形结合】

(1)若a=3,b=5,求c；

第29页共188页

(2)若a=8,U17,求b；

(3)若a：b=1：2,c=5,求a、b

详解：(1)Va2+b2=c2,/.c=Va2+b2=V32+

(2)略

(3)由a：b=1：2,可设a=%，b=2%则x2+(2x)2=52,解得於行....公遮,

b=2遥.

点拨：已知直角三角形的两边长，利用勾股定理求第三边长时，关键是弄清已知

什么边，求什么边，灵活运用公式求解.

・活动二变式应用

例2在RtAABC中，AB=4,AC=6,求BC的长.

【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：数形结合】

详解：此题与上题相比，未指明哪个角为直角，即不清楚谁为斜边，所以应分两

类进行计算.①当AC为斜边

时，则BC2+AB2=AC2,g[JBC=VAC2-AB2=V62-42=2^5；②当BC为斜边

时，则AC?+AB2=BC2,gpBC=VAC2+AB2=<62+42=2^13,综上，BC的值

为2百或2,砥.

点拨：利用勾股定理解题时若未明确直角边、斜边，则应分类讨论进行计算.

3.课堂总结

【知识梳理】

(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,则a?+b2=/.

(2)公式变形：I)=c-afb=y/c2-a2；a=d-b?-a=Vc2-b2

【重难点突破】

(1)勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系.已知a、b、c(c为斜边)中

的任意两边，能求出第三边，①已知a、b,则c=Va2+b2；②已知a、c,则b

=Vc2-a2；③已知b、c,则a=一言.

(2)运用勾股定理时应注意：①确定该三角形是直角三角形；②分清直角边和

斜边，若未明确直角边、斜边，则应分类讨论.

第30页共188页

(3)勾股定理的发现、归纳、猜想和验证，体现了从特殊到一般的数学思想和

数学结合思想.

(4)面积法验证勾股定理的关键是，要找到一些特殊图形(如直角三角形、正

方形、梯形)的面积之和等于整体图形的面积，从而达到验证的目的.

4.随堂检测

1.下列说法正确的是()

A.若《从c是4ABC的三边长，则a2+/=c2.

B.若a、从c是RtAABC的三边长，则a2+b2=c2.

C.若a、b、c是RtAABC的三边长,ZA=90",则a2+b2=c2.

D.若a、b、c是RtAABC的三边长，ZC=90°,则a2+b2=c2.

【知识点：勾股定理；数学思想：数形结合】

【参考答案】D.

【解析】运用勾股定理时应注意：确定该三角形是直角三角形；并分清直角边和

斜边，根据定理两直角边的平方和等于斜边的平方.故选D.

2.在RtAABC中，NC=90",NA、NB、NC的对边分别是a、b、c.

(1)若a=6,b=8,则0=；

(2)若a=9,G15,则人.

【知识点：勾股定理，二次根式的运算；数学思想：数形结合】

【参考答案】10；12

【解析】根据勾股定理，C=Va2+b2=V62+82=10；

b=Vc2—a2=V152—9s=12

3.在RtAABC中，NB=90",AB=5,AC=10,则B