三角函数值域与最值的求法

三角函数值域与最值的求法大家知道，求三角函数值域与最值问题主要包括：①给定自变量X的取值范围，求三角函数的值域或最值；②自变量X为任意实数，求三角函数的值域或最值两种类型。那么到底如何解答求三角函数值域与最值问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例1］解答下列问题：1、已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1(x£R)。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间〔g,二〕上的最大值和最小值；84【解析】【知识点】①二倍角公式及运用；②三角函数最小正周期的定义与求法；③辅助角公式及运用；④正弦函数的图像与性质。【解题思路】(1)运用二倍角公式和辅助角公式把函数f(x)化成f(x)=Asin(Ex+①)的形式，根据三角函数最小正周期的公式求出函数f(x)的最小正周期；(2)由x€〔g,3：〕求出84兀2x+二的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数f(x)的最大值和最小值。4【详细解答】(1) f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1=sin2x-cos2x=v2sin(2x+—),兀T="y=兀；(2)T="y=兀；(2)■■x€〔R'H〕,'2x+€〔5,二〕2 8 4 4 2 44・•.f(x) =22X1=<2・•.f(x) =22X1=<2,f(x) =<2X(-1)=-应。maxmin2、已知函数y=Asin(Bx+①)(A>0,8>0,|3|W兀)的一段图像如右图所示。求函数f(x)的解析式;求这个函数的单调递增区间；:兀求函数在区间〔4，5〕上的最大值和最小值。【解析】【知识点】①三角函数的图像与性质；②三角函数最小正周期的公式及运用；③根据三角函数图像上的点确定中的基本方法；④正弦函数的图像与性质。2兀【解题思路】⑴根据三角函数的图像确定A和T的值,运用公式1=而求出8的值，兀由点(-3，2)在函数f(x)的图像上，求出中的值，从而得到函数f(x)的解析式=；(2)运8TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"兀 兀 兀用正弦函数的性质得到不等式2k兀--<2x+-<2k兀+彳，解这个不等式就可得出24 2兀兀 兀结果；(3)由x€〔7，三〕求出2x+的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函32 4数f(x)的最大值和最小值。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument" T3兀 兀兀 2兀【详细解答】(1)由图知，A=2,—=——-(--)=—,nT=兀,=b= =2,nf(x)2 8 8 2 兀兀 兀 兀=2sin(2x+①)，••点(-W，2)在函数f(x)的图像上，，2=2sin[2x(--)+①]=2sin(--+\o"CurrentDocument"兀 兀 兀 3兀①),nsin(--+①)=1,n-—+①=2k兀+—,n①=2k兀+—(kwZ),1-1|①|4 4 2 43兀 3兀 兀‘ 3兀,兀W兀，，①= ,^^f(x)=2sin(2x+ )；(2),「由2k兀- «2x+ «2k兀+—,4 4 2 4 25兀 一一兀 5兀 兀解得k兀---<x<k兀--(kwZ),「.函数f(x)的单调递增区间是[k兀--—,k兀--]8 8 8 8兀兀 3兀 17九7兀 , 3兀,蜀(kwZ)；(3)■-■xw[—,二]，「•2x+——w〔 ,——〕,n-1<sin(2x+——)<- ,32 4 12 4 4 2f(x)min=2X(-1)=-2。「.f(xf(x)min=2X(-1)=-2。max 2『思考问题1］(1)【典例1】是运用正弦函数(或正弦型函数)与余弦函数(或余弦型函数)的有界性来求三角函数的值域或最值的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦函数与余弦函数的图像和性质，尤其是正弦函数与余弦函数的值域都是［-1,1］这一特殊性质；(2)对于正弦型函数与余弦型函数只需把(Bx+①)看成整体未知数，进而将问题转化为正弦函数与余弦函数的问题来解决。〔练习1〕解答下列问题：兀1、求函数y=sinx〔sinx-sin(x+§)〕的最大值和最小值；2一sinx2、求函数y=- 的最大值和最小值；2一cosx3、已知函数f(x)=cos2x-2sinxcosx-sin2x。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值和最小值。【典例2】按要求解答下列各题：1、求函数f(x)=cos2x-6cosx的值域；【解析】【知识点】①二倍角公式及运用；②换元法的定义与基本方法；③一元二次函数的定义，图像与性质。【解题思路】运用二倍角公式把函数f(x)化成f(x)=2cos2x-6cosx-1的形式，设t=cosx,tw〔-1,1〕，得到函数f(t)=212-6t-1,根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。【详细解答】f(x)=2cos2x-6cosx-1,设t=cosx,tw〔-1,1〕，「.f(t)=212-6t-1,,.函数f(t)在〔-1,1〕上单调递减，「.f(x) =f(-1)=2x(-1)2-6x(-1)-1=7,f(x)=max minf(1)=2x1-6x1-1=-5。2、是否存在实数2、是否存在实数a,使得函数y=sin2x+acosx+18a--在闭区间〔0,方〕上的最大值是1?若存在，求出对应的a值，若不存在，说明理由；【解析】【知识点】①换元法的定义与基本方法；②一元二次函数的定义，图像与性质。53 兀、【解题思路】设存在实数a,使得函数y=sin2x+acosx+-a--在闭区间〔0, 〕上的最大82 2值是1,值是1,令t=cosx,te〔-1,1〕,得到函数f(t)="2+at+-a-，根据一元二次函数的图82像与性质分别对5<0，像与性质分别对5<0，0<t<1，a1W5三种情况进行考虑，从而综合得出结果。【详细解答】••y=1-51cos2x+acosx+8a-2=-cos2x+acosx+-8a-—，设t=cosx,由xe[0,5151在区间〔0,1〕单调递减，y5 15 1maxa 50W7<1,即0Wa<25151在区间〔0,1〕单调递减，y5 15 1maxa 50W7<1,即0Wa<2时，--(-a2 8133.=y =-0+0+a-—max 8 2113 32=ya-2=1,=8a-

20na=13-满足;4,na=5>0与假设不符；②当--)-(—a--)=-a+1,若-a+1>0,即0Wa<1时，2 8 245na=—满足；若-a+1<0,即1<a<2时，y=-1+a+—a5 max 8a .. 5 1③当1W[,即2Wa时，•.函数y=-12+at+-a-2 8 2在区间〔0,1〕单调递增，.•・y4综上所述，存在实数a=5或5 113 3 20 、 .=-1+a+-a--=-a--=1,na=—<2与假设不符，max8 28 2 1320 . 5 3 、兀a=，使得函数y=sin2x+acosx+-a-—在闭区间[0,—)13 82 2上的最大值是1。X\o"CurrentDocument"cos2 cosX3、求函数f(x)= sinx+- sin2x的最大值和最小值;.x sinxsin—2【解析】【知识点】①二倍角公式及运用；②换元法的定义与基本方法；③一元二次函数的定义，图像与性质。【解题思路】运用二倍角公式把函数f(x)化成f(x)=2cos2x+cosx+1的形式，设t=cosx,te〔-1,1〕，得到函数f(t)=212+t+1，根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。,一 X【详细解答】:f(x)=2cos2—+2cos2x=2cos2x+cosx+1,设t=cosx,te〔-1,1〕,行〕, nte〔0, 1〕，「.y=-t2+at+—a-- ,①当~<0,即a<0 时，'-'函数y=-t2+at+-a-~2 8 2 2 8 2「.f(t)=212「.f(t)=212+t+1,,「-1W-丁W1,「.f(x)4 max=f(1)=2x1+1x1+1=4,f(x)min11f(-)=2x(—)2+1444、求函数f(x)=(sinx+a)(cosx+a)(0<aW\；2)的值域。【解析】【知识点】①辅助角公式及运用；②换元法的定义与基本方法；③一元二次函数的定义，图像与性质。= -- 12一1【解题思路】设t=sinx+cosx,tw〔-%；2,\：2〕，nsinx.cosx=———从而得到函数f(t)=12+at+a2-，根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。【详细解答］f(x)=sinx,cosx+a(sinx+cosx)+a2，设t=sinx+cosx，tw〔-v'2,v2］，f(t)=—t2+at+a2f(t)=—t2+at+a2—-22a+a2--=a2+\'2

2,<0<aW<2，.二-。2<-a<0,nf(x)=f(<2)=—x(%：2)2+max 21a+2，11f(x)的值域是［,a2--,a2+f(x) =f(-a)=min<2a+—］。21 /、 11 1-x(一a)2-a2+a2--=-a2—-,「.函数^2 ^2^2 ^2『思考问题2](1)【典例2】是把三角函数问题转化为一元二次函数来求值域与最值的问题，解答这类问题首先需要掌握数学问题中的常用方法一换元法，其次是要掌握二次函数的相关知识；(2)运用换元法的关键是将问题中的某一部分换成新元并确定新元的取值范围，【典例2】中的(1)、(2)、(3)都是把问题的cosx换成新元t,由余弦函数的性质容易知道te[-1,1]；【典例2】中的(4)问题涉及到sinx+cosx与sinxcosx两个部分，对这种问题，一般设t=sinx+cosx,因为t=sinx+cosx=v2sin(x+7)，所以te[-\；2,%：2]。4〔练习2〕解答下列问题:1、求函数f(x)=1+4cosx-4sin2x的最大值和最小值；2、求函数f(x)=sin2x+cosx-sinx的值域；6cos4x-5cos2x+13、求函数f(x)= 的值域。cos2x【典例3】解答下列问题：兀 11、设ae(0,彳)，求函数f(a)=4tana+ +2的值域；2 tana【解析】【知识点】①正切函数的图像与性质；②基本不等式及运用。【解题思路】运用正切函数的图像与性质可知4tana+ 满足基本不等式的条件，根据tana

基本不等式就可得出结果。,一 兀 1 1【详细解答】二a£(0,二)，4tana>0, >0,n4tana+ 2 tana tana>4, f(a)=4tana+-^+2>4+2=6,n函数f(a)=4tana+-^—+2的值域是[6,tana tana+8)。2、已知tana=3tanP,0<PWa<:，求y=a-P的最大值。【解析】【知识点】①正切函数的图像与性质；②差角公式及运用；③基本不等式及运用。2tanP ，由+tanP【解题思路】运用差角公式和条件得到tan(a-P ，由+tanP1+tan2P1tanP磊+tanP满足基本不等式的条件,根据基本不等式得出tan(a-P)的取值范围,从而求出a-P的最大值。【详细解答】「tan(a-【详细解答】「tan(a-P)=tana-tanP 2tanP1+tanatanP1+3tan2P2- ,0<PWa<tanP+3tanPn0n0<2tan(a-P)=-1 Wtanj+3tanP」7r+3tanP>2.'3tanP.」7r>2c3,tanP tanP兀y=a-P的最大值为工。6工思考问题3」(1)【典例3］是与均值不等式相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握均值不等式，尤其是要注意均值不等式应该满足的三个条件：①一正是指涉及的两项必须是一数，②二定是指两项的和或积是一值，③三相等是指两项相等具有 性；(2)运用均值不等式求三角函数的值域与最值时，首先要注意问题符不符合均值不等式的三个条件，其次还要把相关的三角函数的知识联系起来综合解答问题。〔练习3〕解答下列问题：兀 11、设a£(0,彳)，求函数f(a)=9tana+ +1的值域；2 tana兀2、已知tana=3tanP,0<PWa<-，求y=a+P的最大值。【典例4］解答下列问题:1、求函数f(x)=sin2x+■———的值域；4sin2x【解析】【知识点】①正弦函数的图像与性质；②换元法的定义与基本方法；③函数单调性的定义与性质。TOC\o"1-5"\h\z, 9【解题思路】设t=sin2x，te(0,1〕，从而得到f(t)=t+—，由函数f(t)在(0,1〕上单调递减，t根据函数单调性的性质就可得出函数f(x)的值域。， . 9 .【详细解答】设t=sin2x，te〔0,1〕，nf(t)=t+—，二函数f(t)在(0,1］上单调递减，二.f(x)=t minf(1)=1+9=10，n函数f(x)的值域为［10，+8)。兀2、求函数f(x)=sin2x+2cos2x在区间〔0，3〕上的最大值和最小值。8【解析】【知识点】①二倍角公式及运用；②辅助角公式及运用；③正弦函数的定义，图像与性质。【解题思路】运用二倍角公式和辅助角公式把函数f(x)化成f(x)=Asin(B