纵向差异、豪太林模型与横向差异“最小化原则”

纵向差异与豪太林模型的横向差异“最小化原则”张二华浙江万里学院商学院

许朝兵浙江大学经济学院李植斌浙江理工大学经贸与管理学院研究领域：产业组织理论VerticalDifferentiationandthePrincipleofMinimumHorizontal

DifferentiationinHotelling’sModelZhangErhua(ZhejiangWanliUniversity,Linbo9Zhejiang,315100)

XuChaobing(ZhejiangUniversity,Hangzhou,Zhejiang,310027)LiZhibin(ZhejiangUniversityofSciences,Hangzhou,Zhejiang,310033)Abstract:SupposedthereisacertainofverticaldifferentiationbetweentheduopolyinHotelling’smodel,wehavereachedaSPNEinlocation-pricegame.Astheexistenceoftheverticaldifferentiationhaveincreasedthemarketpowerofthefirms,andthenweakenedthefirm’smotivationofdifferentiationinthehorizontaldifferentiationproductspace,weconcludedthat,inequilibrium,theduopoly5sstrategyinthehorizontaldifferentiationspaceisconsistentwiththeprincipleofminimumdifferentiation,whichisapparentlydistinguishedfromtheconclusionofallofthepresentedarticles.Keywords:horizontaldifferentiation,verticaldifferentiation,Hotelling'smodel,SPNEJEL:L11 L13 D43纵向差异与豪太林模型的横向差异“最小化原则”摘要：本文将产品纵向差异引入豪太林模型，并在假设企业产品存在一定纵向差异条件下，得到位置一一价格博弈的唯一子博弈精炼纳什均衡。由于纵向差异的存在增强了企业的市场力量，使得企业通过实施横向差异化战略以缓和价格竞争而带来的收益有所减少，从而弱化了企业在横向差异产品空间上实施差异化战略的动机。因此，均衡条件下，我们得到同现有大部分文献相异的结论：即企业在横向差异产品空间上的策略符合最小差异原则。关键词：横向差异 纵向差异豪太林模型 子博弈精炼纳什均衡一、引言横向差异首先是由豪太林（Hotelling，1929）引入寡头竞争理论分析中，他假设消费者均匀分布于单位长度的直线上，消费者具有无弹性的单位需求，运输成本是距离的线性函数，他们依据最小化的实际支付即价格和运输费用之和来选定提供产品服务的企业。①豪太林模型实际上刻画的是一个两阶段动态博弈，在博弈的第一阶段企业决定自己在产品空间中相应的位置，然后在给定双方在产品空间中位置的条件下就产品价格展开竞争。他指出均衡条件下，企业向产品空间中心集中可以提高其均衡利润水平，从而导致均衡条件下企业在产品空间中心集中，此即横向差异的“最小差异化原则”。德阿斯普利蒙特等人(D’Aspremontetal,1979)指出了豪太林分析中的错误，因为当两个企业间在产品空间中的距离接近到一定值后，价格竞争子博弈中的纯战略纳什均衡不复存在。随后，他们给出了价格竞争子博弈中纯战略纳什均衡存在的空间位置组合条件，并在假设运输成本是距离的平方的条件下得到同豪太林相反的结论，即：横向差异的“最大差异化原则”。这激发了有产品空间差异化原则的大量文献的产生。虽然在所有这些行为良好的模型中产品“最大差异化原则”并不总是存在(如：Besteretal,1996和Economides,1986)，但是在这些模型中几乎均不存在所谓的“最小差异化原则”(如:Economides,1984,1986,1989；Lambertini,2000；Mazalov和Sakaguchi,2003；等)。依柯诺米德斯(Economides,1998)把横向差异产品空间从一维拓展到二维和三维空间，并认为企业在各个维度上差异化原则同各个维度上运输成本的权重相关，在权重相对较大的维度上表现为“最大差异化原则”，而在其他维度上表现为“最小差异化原则”。现有文献在分析寡头企业在横向差异产品空间中的策略时，均隐含设定企业产品在纵向差异产品空间中不存在任何差异。本文首先将产品纵向差异引入豪太林模型，并在假设企业产品存在一定纵向差异条件下，就豪太林模型中的寡头企业的位置一价格博弈的均衡展开分析。同德阿斯普利蒙特等人(D’Aspremontetal,1979)的结论相反，在我们的假设条件下，均衡策略仍符合豪太林(Hotelling，1929)所得到的“最小差异化原则”。这是因为：产品纵向差异的存在增强了企业的市场力量，使得企业通过产品的横向差异化战略以缓和价格竞争而带来的收益有所减少，从而弱化了企业在横向差异产品空间上实施差异化战略的动机。本文余下部分按排如下：第二部分是模型设定和寡头企业的需求函数分析；第三部分是给定质量符合一定差异条件下，关于寡头企业的位置一价格博弈的均衡分析;最后是简短小结。二、模型与假设倒于消费者分布于市场的不同位置而导致的运输费用差异是产品横向差异的典型事例，因此在后面分析中我们将不加区别的使用企业的位置策略和横向差异产品空间策略。

我们假设只存在两个企业生产某一种产品，企业单位产品的生产成本为零。①消费者均分布于单位长度的直线上，其对企业，生产的产品具有单位需求，其效用函数为：U(x,0)=k+O5-p-1(x-x)2 (1)其中k为消费者的保留价格，’我们假设其足够大，使得在均衡条件下，所有消费者均被市场所覆盖；七、Pj和x,分别为企业，的产品质量、价格以及企业在直线上位置，不失一般地我们假设x2>X1；9为消费者的偏好系数，在［0,1］区间上服从均匀分布,消费者的偏好同其在直线上的位置无关；我们还假设企业在产品质量上存在一定的差异，即：％-*>4t。显然，当两个寡头企业质量完全相同时，我们的模型就完全等同于运输成本是距离的平方条件下的豪太林模型。②根据式(1)，位于x处在企业1和2之间无差异消费者的偏好系数为：p-p-1(2x-x-x)(x-x)TOC\o"1-5"\h\z9*=—2 1 1 2 2 1—s-s这样我们分别得到企业1的需求函数：(2)min[1,max(0,9(2)在s-s>4t条件下，容易证明企业1需求函数D(p,p)是关于p的分段连2 1 112 1续的，具体形式如下：条件I：当p<p+1(x2—x2)—2t(x—x)-(s—s)时：D(p,p)=11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2条件11：当p+t(x2—x2)—2t(x—x)一(s一s)Vp<p+t(x2—x2)一(s一s)2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1时：[p—p+s—s+2t(x—x)—t(x2—x2)]2(3)(4)(5)D(p,p)=1(3)(4)(5)112 4t(x2—x1)(s2—*)条件III：当p+t(x2—x2)—(s—s)<p<p+t(x2—x2)—2t(x—x)时:2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1p—p+t(x2—x2)—t(x—x)D1(p1,p2) 1s2—s1―一条件W：当p+1(x2—x2)—2t(x—x)VpVp+1(x2—x2)条件W：2 2 1 2 1 1 2 2 1D( )=L2—p]+1(x2—x：)]1〃「〃2 4t(x—x)(s—s)成本为零很容易推广到任一常数成本情形。事实上，在我们的其他假设条件不变时，而运输成本是距离的线性函数时，和豪太林模型不同的是：我们的模型依然存在唯一的子博弈精炼纳什均衡，而且企业的均衡位置同样符合“最小差异化原则”。这里关于运输成本是距离的平方的假设是为了使我们的结论能够和德阿斯普利蒙特等人(D’Aspremontetal,1979)的结论形成鲜明对比。

条件V：当p>p+t(X2-x2)时,：D(p,p)=0。TOC\o"1-5"\h\z1 2 2 1 1 1 2因此，企业1的利润函数兀(p,p)=D(p,p)p和企业2的利润函数1 1 2 112 1兀(p,p)=[1-D(p,p)]p也均是关于p、p的分段连续函数。我们的模型结2 1 2 112 2 1 2构和豪太林模型相同，企业首先选择其在直线上的位置，然后在给定位置条件下，同对方展开价格竞争博弈，因此我们得到一个位置一一价格博弈模型。在接下来的部分，我们用逆向归纳法求解其子博弈精炼纳什均衡。三、模型均衡分析我们先在给定位置条件下求得价格竞争的均衡价格，再根据价格竞争的均衡利润解得均衡位置策略。容易看出，任何满足条件I和条件V的价格策略p「p2均不可得构成价格竞争子博弈的纯战略纳什均衡，因为在I条件下，企业2的利润为零，其总可以把p降到p+s-s+2t(x-x)-1(x2-x2)以下，从而获得严格2 1 2 1 2 1 2 1为正的利润；同理，在V条件下，企业1的利润为零，企业1总可以把p1降到低于p2+t(x2-x2)的水平，从而获得严格正的利润。下面的引理1和2同样表明，任何满足条件^和w的价格策略p「p2也均不可得构成价格竞争子博弈的纯战略纳什均衡。引理1：若s-s>4t，则任何满足条件II的p、p均不可能构成价格竞争子21 1 2博弈的纯战略纳什均衡。证明：不妨假设存在p；、p2满足条件II，且构成价格竞争子博弈的纳什均(6)衡，由于所有满足条件II的p「p2为一开集①由式(3),根据企业1和(6)p'-p'=s-s+2t(x-x)-t(x2-x2)-2p'2 12 1 2 1 2 1 2(7)A土履2+(7)2其中A=s-s+2t(x-x)-1(x2-x2)>0,B=16t(x-x)(s-s)，所以p'TOC\o"1-5"\h\z2 1 2 1 2 1 2 12 1 2的唯一正根为：p'="+*“2+'，当s-s>4t>4t(x-x)时，有：2 8 2 1 2 1p'>t(x-x)，代人式(7)得：p'-p'<s-s-t(x2-x2)，同条件II矛盾，2 2 1 2 12 1 2 1证毕。引理2：若s-s>4t，则任何满足条件W的p、p均不可能构成价格竞争21 1 2子博弈的纯战略纳什均衡。①3为开集排除了最大化问题解为偶角解的情形，故最大化问题的一阶条件必等于零。

TOC\o"1-5"\h\z证明：类似引理1的证明，我们假设存在p；、p2满足条件W且为一纯战略纳什均衡，由于所有满足条件W的p；、p2为一开集，由式(5)，根据企业1和2的利润最大化一阶条件并整理得：1 2p'-p'=2p'-1(X2-X2) (8)2 1 1 2 1t(X2-X2)土#2(X2-X2)2+Bp1= —一 (9)所以p，的唯一正根为：p'=t(X2-X12)72(X2-X12)2+B>t(X-X)，代人1 1 8 2 1式(8)得：p'-p'>2t(x-x)-1(x2-x2)，同得条件W矛盾，这样我们就完成2 1 2 1 2 1了引理2的证明。下面我们来分析满足条件III的p1、p2构成价格竞争对博弈纯战略纳什均衡的可能性。假设p1、p2满足条件111，根据式(4)，企业利润最大化一阶条件分别满足：TOC\o"1-5"\h\z2p=p+t(X2-X2)-t(X-X) (10)2p=s-s-t(X2-X2)+t(X-X)+p (11)2 2 1 2 1 2 1 1显然二阶条件得到满足，联立(10)、(11)得：p*=[s-s+t(X2-X2)-t(X-X)]13 2 1 2 1 2 11p*=[2(s一s)一t(X2—X2)+t(X一X)]23 2 1 2 1 2 1容易验证，当s-s>4t>4t(X-x)时，p*、p*满足条件III，因此p*、p*构21 21 1 2 1 2成条件I下唯一一对互为最优的价格策略。不仅如此，下面的引理3则表明其还是全局条件下的一对互为最优的价格策略，即其是一个纳什均衡。引理3：若s-s>4t，则p*、p*是价格竞争子博弈的一个纯战略纳什均衡。21 1 2一.， .一--一’… … --- &(p*p) —2 1-dp211证明•给宋9二〃*,则所有满足条件1和II的〃均有：2("1，"2)<0・所

kLLVJ：^口MLpp，7、'」〃I丹1㈣ ||J-7\HH|_|JpN: —1 22 1-dp211有满足条件W和V的p2均有:新2(乙，乙)>0。由于兀(p,p)有满足条件W和V的p2均有:2以条件I和II下，企业2所获利润的最大上确界为兀(p*,p)〈兀(p*,p*)，其中2 1_d 2 1 2兀(p*,p)〈兀(p*,p*)，2 1 2 2 1 2p=p*+s-s兀(p*,p)〈兀(p*,p*)，2 1 2 2 1 2其中p=p*+2t(X-X)-t(X2-X2)。所以，给定p=p*，2 1 2 1 2 1 1 1

所有满足条件I、II、W和V的p均严格劣于P*；同理可以证明，①所给定p=p*2 2 2 2所有满足条件I、II、W和V的P1均严格劣于p*，证毕。由于p*、P*是条件III下唯一一对互为最优的价格策略，这样根据引理1、引理2和引理3直接可得定理一。1一 一定理一：右s—s>4t,贝Up*-[s-s+t(X2-x2)-1(x-x)],2 1 1321 21 2 11p*=-[2(s-s)-1(x2-X2)+1(x-X)]构成价格竞争子博弈唯一纯战略纳什均23 2 1 2 1 2 1衡。由于p*、p*是满足条件I,根据式(4),均衡条件下企业1、2的均衡利润分别为：兀(p兀(p*,p*)=1 1 2[s—s+t(x2—x2)—t(x—x)]27__1 9(s2-s}__3(12)(13)[2(s—s)—t(x2—x2)+1(x—x(13)兀(p*,p*)= 2 1 2 1 2 1 212 9(s—s)由由式(12),企业1关于其自身位置x]最大化均衡利润的一价条件为:(t-2tx)[s-s+1(x2-x2)-1(x-x)]=0,由于在s—s>4t条件下，s—s+1(x2—x2)—t(x—x)>0，故x=1，且2 1 2 1 2 1 2 1 1 2利润最大化二阶条件得到满足；同理，由式(13)可得x2=2，综合上述结果和定理一可得下述定理：定理二：当给定s2—s1>4t时，位置一一价格博弈存在唯一子博弈精炼纳什均衡：x*=x*=L，p*=上(s-s)，p*=—(s-s)。1 2 2 1 3 2 1 2321定理二告诉我们，当给定两家企业在纵向差异产品空间即质量上存在足够的差异时，均衡条件下，两家企业均分布于市场中心，出现所谓的横向差异产品空间策略即空间位置策略的“最小差异化原则”。企业差异化战略的动机是源于差异化可以通过建立“市场壁龛”获得一定的市场力量，从而缓和企业间的价格竞争以增加其均衡利润水平，然而差异化战略同时会导致企业对市场中心的偏离，引起市场需求的减少进而影响企业利润，不妨我们将前者称为价格效应，后者称为需求效应。企业具体差异化战略归因于价格效应带来的利润增加和需求效应带来的利润减少间的权衡。由于现有文献关于寡头企业位置一一价格博弈模型中，几乎①由于证明方式完全类似，我们在此留给读者自己去验证。均隐含假定企业在产品质量不存在差异，这样企业在空间位置上的差异化战略的价格效应所带来的利润增加远大于需求效应所导致的利润减少，故而均衡条件下，不可能出现所谓的“最小差异化原则”。相反，在我们的模型中，由于企业产品在质量上存在一定的差异导致企业对不同偏好的消费者具有相对垄断力量，产品差异化战略的价格效应小于需求效应，从而出现企业在横向产品空间策略的“最小差异化原则”。四、结语我们在豪太林模型分析中引入纵向差异因素，假设寡头企业的产品存在一定的在纵向差异条件下，构建了位置一一价格博弈模型，并得到唯一的子博弈精炼纳什均衡。由于纵向差异因素的存在增加寡头企业对不同偏好消费者的市场力量，从而削弱了其在横向差异产品空间上实施差异化战略以增加市场力量的动机。因此，同德阿斯普利蒙特等人(D’Aspremontetal,1979)的结论相反，在我们的假设条件下，均衡策略仍符合豪太林(Hotelling，1929)所得到的“最小差异化原则”。至于当寡头企业产品的纵向差异小于我们给定的条件时，位置一一价格博弈的均衡还有待于进一步分析，以最终将寡头竞争的横向差异与纵向差异产品空间策略分析融入同一分析框架。参考文献：斯蒂芬•马丁，高级产业经济学，上海财经大学出版社，2003。泰勒尔，产业组织理论，中国人民大学出版社，1998。Bester.H，A.DePalama,W.Leininger,J.ThomasandE.-L.VOnTadden,1996,“ANoncooperativeAnalysisofHotelling’slocationGame”,GamesandEconomicsBehavior,Vol.12,165-186.D’Aspreme