切线长定理(共33张)

.OAL切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径几何应用:

∵L是⊙O的切线，

∴OA⊥L

第一页，共26页。A.OL经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.几何应用:

2.与半径垂直．1.经过半径的外端；OA是⊙O的半径OA⊥l于Al是⊙O的切线.切线的判定定理:第二页，共26页。

O。ABP过圆外一点可以引圆的几条切线？第三页，共26页。尺规作图：过⊙O外一点作⊙O的切线O

·PABO请跟我做第四页，共26页。在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。·OPAB切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？切线长概念··切线:不可以度量。切线长：可以度量。比一比B第五页，共26页。

OABP思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么?12第六页，共26页。请证明你所发现的结论。APOBPA=PB∠OPA=∠OPB证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点∴OA⊥PA，OB⊥PB

即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB试用文字语言叙述你所发现的结论证一证第七页，共26页。PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法OPAB

切线长定理第八页，共26页。APOB若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.OP垂直平分AB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB

∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线∴OP垂直平分ABM试一试第九页，共26页。APO。B若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.CA=CB证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点∴PA=PB∠OPA=∠OPB

∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCC第十页，共26页。探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）写出图中所有相等的线段（2）写出图中与∠OAC相等的角∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPCOA=OB=OD=OE,PA-=PB,AC=BC,AE=BE第十一页，共26页。已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。EAQPFBO易证EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴

PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周长为24cm

例题1第十二页，共26页。

变式：如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2)如果∠P=46°,求∠COD的度数C

·OPBDAE第十三页，共26页。例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，

求证：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，

DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．

例题2第十四页，共26页。。PBAO（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。想一想第十五页，共26页。例3△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD则有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9

例题3第十六页，共26页。·ABCEDFO

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2结论设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径

r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c

变式第十七页，共26页。·OABCDEFOABCDE思考：如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.第十八页，共26页。例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，BC是直径。求证：AC∥OPPACBDO例题讲解第十九页，共26页。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。APO。BECD∵PA、PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB

切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。第二十页，共26页。练习.如图，△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.OEBDCAF第二十一页，共26页。·BDEFOCA如图，△ABC的内切圆的半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积S.解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF＝l·r设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝结论2Sa＋b＋c三角形的内切圆的有关计算

思考第二十二页，共26页。·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。第二十三页，共26页。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3点评几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。第二十四页，共26页。基础题：1.既