河北省2022届高考数学一轮复习知识点攻破习题：线段的定比分点与平移

线段的定比分点与平移时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知点P为线段AB上的一点，且P分eq\o(AB,\s\up6(→))的比为2，则点B分有向线段eq\o(AP,\s\up6(→))的比为()A．－2 B．－3\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案：B2．已知△ABC的三个顶点分别是A(1，eq\f(3,2))，B(4，－2)，C(1，y)，重心为G(x，－1)，则x、y的值分别是()A．x＝2，y＝5 B．x＝1，y＝－eq\f(5,2)C．x＝1，y＝－1 D．x＝2，y＝－eq\f(5,2)解析：由重心坐标公式x＝eq\f(1＋4＋1,3)＝2，－1＝eq\f(\f(3,2)－2＋y,3)⇒y＝－eq\f(5,2).答案：D3．已知点A(2,3)，B(10,5)，直线AB上一点P满足|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|，则点P的坐标是()A．(eq\f(22,3)，eq\f(13,3)) B．(18,7)C．(eq\f(22,3)，eq\f(13,3))或(18,7) D．(18,7)或(－6，－1)解析：设eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，由|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PB,\s\up6(→))|可知λ＝±2，由定比分点坐标公式可得P点坐标为(eq\f(22,3)，eq\f(13,3))或(18,7)．答案：C4．(2022·河北实验中学检测)若已知函数y＝eq\f(1,x)的图象按向量n＝(b,0)平移后得到函数y＝eq\f(1,x－2)的图象，则函数f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的反函数的图象恒过定点()A．(2,1) B．(1,2)C．(－2,1) D．(0,2)解析：函数y＝eq\f(1,x)的图象按n＝(b,0)平移后得到函数y＝eq\f(1,x－2)的图象，∴b＝2.f(x)＝ax－2恒过(2,1)点，f－1(x)恒过(1,2)点．答案：B5．将函数y＝sinωx(ω>0)的图象按向量a＝(－eq\f(π,6)，0)平移，平移后的图象如图1所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是()图1A．y＝sin(x＋eq\f(π,6))B．y＝sin(x－eq\f(π,6))C．y＝sin(2x＋eq\f(π,3))D．y＝sin(2x－eq\f(π,3))解析：由图象可看出ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2.按向量a＝(－eq\f(π,6)，0)平移，即向左平移eq\f(π,6)个单位．平移后的函数解析式为y＝sin＝sin(2x＋eq\f(π,3))．答案：C6．(2022·湖北八校联考)将函数f(x)＝x3＋3x2＋3x的图象按向量a平移后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)满足g(x)＋g(2－x)＝1，则向量a的坐标是()A．(－1，－1) B．(2，eq\f(3,2))C．(2,2) D．(－2，－eq\f(3,2))解析：设平移向量a＝(m，n)，(x，y)是函数f(x)＝x3＋3x2＋3x图象上任意点的坐标，(x′，y′)是按向量a＝(m，n)平移后函数g(x)图象上对应点的坐标，则平移公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′－m,y＝y′－n))，代入f(x)＝x3＋3x2＋3x得g(x′)＝(x′－m＋1)3－1＋n，由于g(x)＋g(2－x)＝1，(1－m＋x)3－1＋n＋(3－m－x)3－1＋n＝1，整理并解得m＝2，n＝eq\f(3,2)，选择B.答案：B二、填空题(每小题5分，共20分)7．把函数y＝3x的图象按a＝(2，－2)平移得到F′，F′的解析式为__________．答案：y＝3x－2－28．已知A(1,0)，B(0，－1)，P(x，y)，O为坐标原点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ)，则P点的轨迹方程为__________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,1＋λ),y＝\f(－λ,1＋λ)))消去参数得：y＝x－1，(x≠0)．答案：y＝x－1，(x≠0)9．(2022·北京西城模拟)已知点A(0,0)，B(eq\r(3)，0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有eq\o(CD,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，其中λ＝________.解析：如图2，|AB|＝eq\r(3)，|AC|＝1，|CB|＝2，由于AD⊥BC，且eq\o(CD,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，所以C、D、B共线，所以eq\f(|CD|,|CB|)＝eq\f(1,4)，即λ＝eq\f(1,4).图2答案：eq\f(1,4)10．(2022·福建质检)P为△ABC所在平面上的点，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则△ABP与△ABC的面积之比是________．图3解析：∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))∴P点位置如图3所示：∴eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,2)答案：12三、解答题(共50分)11．(15分)已知A(2,3)，B(－1,5)，且满足eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，求C，D，E的坐标．解：解法1：设C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)．∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(xC－2，yC－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,2)．eq\o(AD,\s\up6(→))＝(xD－2，yD－3)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(xE－2，yE－3)．由条件得(xC－2，yC－3)＝eq\f(1,3)(－3,2)，(xD－2，yD－3)＝3(－3,2)，(xE－2，yE－3)＝－eq\f(1,4)(－3,2)．从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xC－2＝－1,yC－3＝\f(2,3)))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xD－2＝－9,yD－3＝6))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xE－2＝\f(3,4),yE－3＝－\f(1,2))).∴C(1，eq\f(11,3))，D(－7,9)，E(eq\f(11,4)，eq\f(5,2))．解法2：由eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))得eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)eq\o(DB,\s\up6(→)).由eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→)))，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,5)eq\o(EB,\s\up6(→)).由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→)).由定比分点公式，可得xC＝eq\f(2＋\f(1,2)×(－1),1＋\f(1,2))＝1，yC＝eq\f(3＋\f(1,2)×5,1＋\f(1,2))＝eq\f(11,3)；xD＝eq\f(2＋(－\f(3,2))×(－1),1－\f(3,2))＝－7，yD＝eq\f(3＋(－\f(3,2))×5,1－\f(3,2))＝9；xE＝eq\f(2＋(－\f(1,5))×(－1),1－\f(1,5))＝eq\f(11,4)，yE＝eq\f(3＋(－\f(1,5))×5,1－\f(1,5))＝eq\f(5,2).∴C(1，eq\f(11,3))，D(－7,9)，E(eq\f(11,4)，eq\f(5,2))．12．(15分)已知函数y＝－2(x－2)2－1经过a平移后使得抛物线顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长为4，求平移后的函数解析式和a.解：设a＝(h，k)，则平移公式为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x＋h,y′＝y＋k))，将其代入y＝－2(x－2)2－1，得平移后的抛物线为y′－k＝－2(x′－h－2)2－1，即y－k＝－2(x－h－2)2－1，∵它的顶点在y轴上，∴－h－2＝0，h＝－2，∴y－k＝－2x2－1，令y＝0，得2x2－k＋1＝0，x＝±eq\r(\f(k－1,2)).又∵|x1－x2|＝4，∴2eq\r(\f(k－1,2))＝4，∴k＝9，∴y＝－2x2＋8，a＝(－2,9)．13．(20分)已知点M(2,3)，N(8,4)在线段MN内是否存在点P，使eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(PN,\s\up6(→))＝λ2eq\o(MN,\s\up6(→))(λ≠0)成立？若存在，求出对应的λ的值和P点坐标；若不存在，请说明理由．解：由λeq\o(PN,\s\up6(→))＝λ2eq\o(MN,\s\up6(→))即eq\o(PN,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→)).∴eq\o(PN,\s\up6(→))＝λ(eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→)))，整理得eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1－λ,λ)eq\o(PN,\s\up6(→))又eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(PN,\s\up6(→)