大学物理第三版上下册答案

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习题四

4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析以下运动是不是谐振动：(1)拍皮球时球的运动；

(2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很短)．

题4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必需同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的运动微分方程能用

d2?2????02dt描述时，其所作的运动就是谐振动．

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；其次，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．

(2)小球在题4-1图所示的状况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?，如题4-1图(b)所示．题中所述，?S＜＜R，故???SR→

0，所以回复力为?mg?.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿其次定律，在凹槽切线方向上有

d2?mR2??mg?

dt令?2?g，则有Rd2???2?02dt4-2劲度系数为k1和k2的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

题4-2图

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F

?F1?F2，设串联弹簧的等效倔强系数为

K串等效位移为x，则有

F??k串xF1??k1x1F2??k2x2

又有x?x1?x2

FFFx??1?2k串k1k2所以串联弹簧的等效倔强系数为

k串?k1k2k1?k2

即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k动．其振动周期为

?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统，故小球作谐振

T?2???2?m(k1?k2)m?2?k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F数为k并，则有

?F1?F2，即x?x1?x2，设并联弹簧的倔强系

k并x?k1x1?k2x2

故k并同上理，其振动周期为

?k1?k2T??2?mk1?k2

4-3如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R．先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

题4-3图

解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

d2xmgsin??T1?m2①

dtT1R?T2R?I?②

d2x?R?T2?k(x0?x)③2dt式中x0?mgsin?/k，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有Id2x(mR?)2??kxR

RdtkR22令??

mR2?I则有

d2x2??x?02dt故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

mR2?Im?I/R2T??2?(?2?)2?KkR2??3)4-4质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??32?振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?

(SI)的规律作谐

(3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

2?1A?0.1m,??8?,?T??s,?0?2?/3

?4?1?1又vm??A?0.8?m?s?2.51m?s

am??2A?63.2m?s?2

(2)

Fm?am?0.63N

12mvm?3.16?10?2J21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep，

12112即kx??(kA)

22222∴x??A??m

220?(3)????(t2?t1)?8?(5?1)?324-5一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为

时质点的状态分别是：

(1)x0A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．假使t?0??A；

?(2)过平衡位置向正向运动；

A处向负向运动；2A(4)过x??处向正向运动．

2(3)过x试求出相应的初位相，并写出振动方程．解：由于??x0?Acos?0?v0???Asin?0

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

2?t??)T32?3?2??x?Acos(t??)

2T2?2???3?x?Acos(t?)

3T35?2?5?4?x?Acos(t??)

4T4?34-6一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间；(3)在x?12cm处物体的总能量．

?2解：由题已知A?24?10m,T?4.0s

?1??x?Acos(

2??0.5?T又，t?0时，x0??A,??0?0

∴??rad?s?1

故振动方程为

x?24?10?2cos(0.5?t)m

(1)将t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2?3?2?3

方向指向坐标原点，即沿x轴负向．(2)由题知，t?0时，?0?0，

A?t?t时x0??,且v?0,故?t?

23????2?/?s∴t??323(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)222?7.1?10?4J4-7有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的

?1小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后，给予向上的初速度v0?5.0cm?s，求振

E?动周期和振动表达式．解：由题知而tm1g1.0?10?3?9.8?1k???0.2N?m?2x14.9?10?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1(设向上为正)

又???k0.22???5,即T??1.26s?3m?8?10v2A?x0?(0)2?5.0?10?22?(1.0?10)?()5?22

?2?10?2mv05.0?10?25?tan?0????1,即??0?2x0?1.0?10?545?2∴x?2?10cos(5t??)m

4

4-8图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．

题4-8图

3?0时，x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s

22???rad?s?1即??T3故xa?0.1cos(?t??)m

2A5?,v0?0,??0?由题4-8图(b)∵t?0时，x0?23?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2??

255又?1???1????

325∴???

655?)m故xb?0.1cos(?t?634-9一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子．现有一质量为m的物体从离盘底h高

解：由题4-8图(a)，∵t度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同?(2)此时的振动振幅多大?

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．

解：(1)空盘的振动周期为2?Mk，落下重物后振动周期为2?M?m，即增大