湖南省2022届高三十校联考第一次考试文科数学

湖南省2022届高三

十校联考第一次考试 数学试卷（文科）满分：150分时量：150分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、函数的最小正周期和其图像的一条对称轴方程分别为（） A、 B、 C、 D、2、等差数列的前项和为，若，，则的值是（）A、B、C、D、3、已知第一象限的点到直线的距离等于2，则的最大值为（）A、B、C、D、4、如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若，，则A#B为（）A、B、C、D、5、在正三棱锥P-ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，有以下四个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE；④平面PDE⊥平面ABC；其中正确的个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个6、若奇函数f(x)(x∈R)满足f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)=（）A、0B、1C、7、已知若，那么自然数n的值为 （）A、3 B、4 C、5 D、68、正四棱柱ABCD－A′B′C′D的8个顶点都在同一球面上，若AB=1，AA′=，则A、C两点间的球面距离为（）A、B、C、D、9、如图，所在的平面和四边形所在的平面垂直，且，，，，，则点在平面内的轨迹是（）A、圆的一部分B、椭圆的一部分C、双曲线的一部分D、抛物线的一部分10、设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点．O为坐标原点，若F是△ABC的重心△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则＋＋的值为（）A、9B、6C、4D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．11、已知函数12、△ABC的三内角所对边的长分别为设向量,，若，则角的大小为13、甲、乙两名划艇运动员在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的速度（）分别如下：甲：273830373531乙：293938283628如果你是主教练，试根据上述数据，确定参加比赛的最佳人选是_________；理由是___________________________14、已知曲线上一点P到两定点A（0，-2）、B（0，2）的距离之差为2，则为a1a2a3Ph1h2h315、如图所示，平面内面积为a1a2a3Ph1h2h3此三角形内任一点P到第i条边的距离记为hi（i=1，2，3），若，则，类比以上性质，在空间中的相应结论为三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．16（本小题满分12分）已知向量,，，设函数（Ⅰ）求函数的最大值及相应的自变量x的取值集合；（II）当且时，求的值17（本小题满分12分）袋中有红球和黄球若干个，从中任摸一球，摸得红球的概率为，摸得黄球的概率为．若从中任摸一球，放回再摸，第次摸得红球，则记＝1，摸得黄球，则记＝一1．令…+．（Ⅰ）当==时，求的概率；（Ⅱ）当＝，＝时，求且（＝1，2，3）的概率．（结果均用分数表示）18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，.C1B1A1BADC（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面BC1B1A1BADC（Ⅱ）当AD的长等于多少时？二面角B1—DC—C1的大小为60°19（本小题满分13分）定义在定义域D内的函数y=f(x)，若对任意，都有，则称函数为“Storm”函数已知函数在区间上单调递增，在区间[－2，2]上单调递减，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，若对x，函数为“Storm”函数，求实数m的最小值．20（本小题满分13分）已知数列的前项和为，.，（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）对，设，求使不等式成立的正整数m的取值范围21（本小题满分13分）已知点，动点满足条件，记点的轨迹为.（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）若直线过点且与轨迹交于、两点.①问：在轴上是否存在定点M，使得直线绕点无论怎样转动，都有为定值若存在，求出定点M的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由；②过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围数学（文科）参考答案及评分细则一、1-10DABDBCBCAD二、11、；12、；13、甲，，甲、乙两人平均成绩相同，但甲的成绩更稳定；14、9；15、体积为V三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi（i=1，2，3，4），若则三、16、解：（Ⅰ），，………………1分………………3分………………4分函数取得最大值为.………………5分相应的自变量x的取值集合为{x|（Z）}………………6分（II）由得，即因为,所以，从而………………8分于是-………………12分17、解：（Ⅰ）若，∴前6次摸球中，有4次摸到红球，有2次摸到黄球故的概率为.…………3分∴的概率为………………6分（Ⅱ）当时，即前8次中有5次摸到红球，有3次摸到黄球，又已知（=1，2，3），故可分为三种情况.①若第一、二次摸到红球，第三次摸到黄球，后五次有3次摸到红球；②若第一、三次摸到红球，第二次摸到黄球，后五次有3次摸到红球；③若第一、二、三次摸到红球，后五次有两次摸到红球……………10分∴所求概率为（或）.……12分18、解法一：（Ⅰ）∵，∴，又由直三棱柱性质知，∴平面ACC1A1.EC1B1A1EC1B1A1BADC由D为中点可知，，∴即……②由①②可知平面B1C1D，又平面B1CD，故平面平面B1C1D.………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ACC1A1，如图，在面ACC1A1内过C1作，交CD或延长线或于E，连EB1，由三垂线定理可知为二面角B1—DC—C1的平面角，∴……（8分）由B1C1=2知，，设AD=x，则∵的面积为1，∴，解得，即…………（12分）xC1B1A1BADxC1B1A1BADCzy则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）.即由，得；由，得；又，∴平面B1C1D.∴平面平面B1C1D.………………（6分）（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），，设平面B1CD的法向量为.则由，令z=-1，得，又平面C1DC的法向量为，则由，即，故…………………12分19、解（Ⅰ）上单调递增，在[－2，2]上单调递减，，……2分，…………4分又……………………6分（Ⅱ）已知条件等价于在……8分上为减函数，且……10分上为减函数，又………………13分20、解：（I）由，则.两式相减得.即.……… （2分）又时，.∴数列是首项为4，公比为2的等比数列. （4分）（Ⅱ）由（I）知.∴ ………（6分） ①当为偶数时，，∴原不等式可化为，即.故不存在合条件的. ………(8分)②当为奇数时，.原不等式可化为即.当或3时，不等式成立. ………（10分）当时，.∴时，原不等式无解. 综合得：当时，不等式成立. ………………（13分）21、（Ⅰ）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…………3分（Ⅱ）①当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，∴，解得………5分假设存在M（，0），则………………7分令，则∴，解得∴当时，.当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，综上，存在定点M（-1，0），使得为定值0………………9