数学建模第四章概率统计模型

数学建模第四章概率统计模型第1页，共121页，2023年，2月20日，星期五第四章概率统计模型

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数学建模理学院第2页，共121页，2023年，2月20日，星期五线性回归模型概率统计模型第四章经济轧钢模型重点:概率统计模型的建立和求解难点:概率统计模型的基本原理及数值计算决策模型

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数学建模理学院建模举例排队论模型

报纸零售商最优购报问题

第3页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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决策问题是人们在政治、经济、技术和日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理的始终。本节将首先简要说明决策的概念和分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型及其应用。4.1决策模型第4页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.1.1决策的概念和类型所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个最优的或满意的方案付诸实施。例4.1.1（展销会选址问题）某公司为扩大市场，要举办一个产品展销会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利情况除了与会址有关外，还与天气有关，天气分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，估计三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5，0.3其收益情况见表4.4.1，现要通过分析，确定会址，使收益最大。第5页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院1.决策者2.决策的备选方案或策略A1，A2，…，Am3.决策准则，即衡量所选方案正确性的标准。对同一个决策问题，不同的决策准则将导致不同的方案选择。4.事件或自然状态N1，N2，…，Nn5.结果，即某事件(状态)发生带来的收益或损失值决策问题通常包含以下要素：第6页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院第7页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院决策的分类：1.确定型决策——自然状态只有一种，即n=1；2.风险型决策——n>1且各种自然状态出现的概率Pj（j=1，2，…，n）可通过某种途径获得；3.不确定型决策——各种自然状态下发生的概率既不知道，也无法预先估计。第8页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.1.2风险型决策问题

由概率论知识，一个事件的概率就是该事件在一次试验中发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性就越大。基于这种思想，在风险决策中我们选择一种发生概率最大的自然状态来进行决策，而不顾及其他自然状态的决策方法，这就是最大可能准则。这个准则的实质是将风险型决策问题转化为确定型决策问题的一种决策方法。1．最大可能准则第9页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院例如4.4.1投资决策问题若采用最大可能准则可得因此方案A1最优。应该指出的是：如果各种自然状态出现的概率比较接近，此决策方法不宜采用。第10页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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如果把每个行动方案看作随机变量，在每个自然状态下的效益值看作随机变量的取值，其概率为自然状态出现的概率，则期望值准则就是将每个行动方案的数学期望计算出来，视其决策目标的情况选择最优行动方案。2．期望值准则第11页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院例如，对例4.1.1按期望值准则进行决策，则需要计算各行动方案的期望收益值，事实上显然，E(A1)最大，所以采取行动方案A1最佳，即选择甲地举办展销会效益最大。有些实际问题中，为了获得收益，还必须增加一定的投资，这时，需从投资和收益两个方面综合考虑选择最优行动方案。

第12页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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决策树法就是把各种备选方案、可能出现的状态和概率以及产生的后果用树状图画出来（形象地称为决策树或决策树图），然后根据期望值准则进行决策的一种方法。

3.决策树法第13页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院1.画一个方框□作为出发点，称为决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每一条代表一个行动方案，这样的直(折)线，称为方案分枝。分枝数表示可能的行动方案数。步骤如下:2.在各方案分枝的末端画一个圆圈○，称为状态节点或方案节点。从状态节点引出若干条直线或折线，此分枝称为概率分枝。每条线表示一种自然状态，在线旁边标出相应状态发生的概率。第14页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院3.在各概率分枝的末端画一个三角△，称为末稍节点。把各方案在各种状态下的益损值标记在末稍节点右边4.在决策树上由右向左计算各状态点出的数学期望值，并将结果标在状态节点上。遇到决策点则比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且双线“＋＋”划去淘汰掉的方案分枝，选出收益期望值最大(或损失值最小)的方案作为最优方案，将最优方案的期望值标在决策点的上方。第15页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院下面采用决策树法求解展销会选址问题

第16页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院例4.4.1只包括一个决策点，称为单级决策问题。在有些实际问题中将包括两个或两个以上的决策点，称为多级决策问题，可利用同样的思路进行决策。例4.1.2某工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预报，15天后天气肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气，但这不会影响工程进度，有50%的可能遇到小风暴，而使工期推迟15天；另有10%的可能遇到大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情况，考虑两种方案：第17页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院1）提前加班，确保工程在15天内完成，实施此方案需增加额外支付18000元。2）先维持原定的施工进度，等到15天后根据实际出现的天气状况再作对策：a）若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支付额外费用。b）若遇小风暴，则有下述两个供选方案：一是抽空（风暴过后）施工，支付工程延期损失费20000元，二是采用应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24000元；30%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18000元;有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用12000元。c）若遇大风暴，则仍然有两个方案可供选择：一是抽空进行施工，支付工程的延期损失费50000元;二是采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%的可能减少误工期2天，支付延期损失费及应急费用54000元；有20%可能减小误工期3天，支付延期损失费及应急费用46000元；有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费及应急费用38000元。试进行决策，选择最佳行动方案。第18页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院解

（1）据题意画出决策树第19页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院（2）计算第一级节点E,F的损失费用期望值将19800和50800标在相应的机会点上，然后在第一级决策点C,D外分别进行方案比较：首先考察C点，其应急措施支付额外费用的期望值较少，故它为最佳方案，同时划去抽空施工的方案分枝，再在C上方标明最佳方案期望损失费用19800元；再考虑D外的情况，应急措施比抽空施工支付的额外费用的期望值少，故划去应急措施分标，在D上方标上50000元。（3）计算第二级节点B的损失费用期望值将其标在B的上方，在第二级决策点A处进行比较，发现正常进度方案为最佳方案，故划去提前加班的方案分枝，并将14900标在A点上方。第20页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.1.3不确定型决策1.乐观准则

乐观准则的思想就是对客观情况总是持乐观态度，事事都合人意，即选最大效益的最大值所对应的行动方案作为决策，也称为好中求好法。第21页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院2．悲观准则

悲观准则的思想就是对客观情况总是持悲观态度，万事都不会如意，即总是把事情的结果估计的很不利，因此就在最坏的情况下找一个较好的行动方案。也就是在每个状态下的最小效益值中选最大值所对应的行动方案作为决策，也称为小中取大法。第22页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院3．等可能准则（Laplace准则）

等可能准则的思想就是既然不能断定哪种自然状态出的可能性的大小，就认为各自然状态出现的可能性相同，即。然后按风险决策的方法进行决策。第23页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院例4.1.3某厂有一种新产品，其推销策略有A1，A2，A3三种可供选择，但各方案所需资金、时间都不同，加上市场情况的差别，因而获利和亏损情况不同，而市场情况有三种：N1需求量大，N2需求量一般，N3需求量低。市场情况的概率并不知道，其效益值见表4.1.2。（1）用乐观法进行决策。（2）用悲观法进行决策。（3）用等可能法进行决策。第24页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院市场情况销售策略A1A2A3N1N2N35010-530250101010N

aA表4.1.2第25页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院解

乐观法：因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为所以最大效益的最大值为

其最大值50对应的行动方案为A1，因此用乐观法的决策结果是执行策略A1。

第26页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院解

悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的最大效益值为所以最大效益的最大值为

其最大值10对应的行动方案A3为。因此用悲观法决策的结果是应执行策略A3。

第27页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院解等可能法：取计算出各行动方案的期望值为

显然都达到最大值，这时究竟选那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，可选A1，否则选A2。第28页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率，然后进行决策。

第29页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院问题报纸零售商售报：a(零售价)

>b(购进价)

>c(退回价)售出一份赚a-b；退回一份赔b-c

每天购进多少份可使收入最大？分析购进太多卖不完退回赔钱购进太少不够销售赚钱少应根据需求确定购进量每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的存在一个合适的购进量等于每天收入的期望4.2报纸零售商最优购报问题第30页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院建模设每天购进n份，日平均收入为G(n)调查需求量的随机规律——每天需求量为r的概率p(r),r=0,1,2…准备求n使G(n)最大已知售出一份赚a-b；退回一份赔b-c第31页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院求解将r视为连续变量第32页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院结果解释取n使

a-b~售出一份赚的钱b-c~退回一份赔的钱0rfnf1f2第33页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。结论实例：如a=1，b=0.6,c=0.3，需求量r服从正态分布N（100,102），则不难计算查表得到n=102时长期平均收益最大。第34页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院例4.2.1

某商店拟出售甲商品，已知每单位甲商品成本为50元，售价为70元，如果售不出去，每单位商品将损失10元。已知甲商品销售量r服从参（即平均销售量为6单位）的泊松分布，问该商店订购量应为多少单位时，才能使平均收益最大？第35页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院解该商店每单位盈利为70-50＝20;

每单位损失为50-40＝10，即a=70，b=50，c=40,故今记，而，查泊松分布表得而F（6）的数值更接近于0.667，所以订货量应为6个单位。第36页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院轧制钢材两道工序粗轧(热轧)~形成钢材的雏形精轧(冷轧)~得到钢材规定的长度粗轧钢材长度正态分布均值可以调整方差由设备精度确定粗轧钢材长度大于规定切掉多余部分粗轧钢材长度小于规定整根报废随机因素影响精轧问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小背景4.3经济轧钢模型第37页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院分析设已知精轧后钢材的规定长度为l，粗轧后钢材长度的均方差为切掉多余部分的概率整根报废的概率记粗轧时可以调整的均值为，则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作x~N(

,2)存在最佳的

使总的浪费最小0f(概率密度)xPP´P´P第38页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院建模选择合适的目标函数切掉多余部分的浪费整根报废的浪费总浪费=+每次轧制钢材的平均浪费量每次轧制获得成品钢的平均长度其中表示的概率，第39页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院每次轧制（包括粗轧、精轧）的平均浪费量与每次轧制获得成品钢的平均长度之比最小为标准。目标函数优化模型：求

使J1最小（已知l,）第40页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院求解由于l是常数，故等价的目标函数为记其中求z使J(z)最小（已知）目标函数

第41页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院求解第42页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院计算实例：

=l/=25z*=-2.19*=（-z*）=5.438即将钢材的均值调整到5.438m时浪费最少设要轧制长为l=5.0m的成品钢材，由粗轧设备等因素组成的方差精度=0.2m，问需要将钢材长度的均值调整到多少才使浪费最少？首先做出及的图形第43页，共121页，2023年，2月20日，星期五某个农户辛勤劳动积累了一万元，他决定将这一万元用来发展生产，他了解了三个发展方向：（1）将这一万元存入投资银行，由投资银行安排资金的利用，他可以获得利息，年利率为10%；（2）办养鸡场。如果顺利，他可以赢得5000元，如果不顺利，他将损失1000元，他有80%的把握办好养鸡场；（3）养貂。如果顺利，他可以赢得10000元，如果不顺利，他将损失3000元。养貂顺利的机会为60%。他犹豫不决，希望用决策分析的方法帮助他分析各种可能的结果。

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数学建模理学院习题：

第44页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院习题：

为了生产某种产品，设计了两个基建方案一是建大厂，二是建小厂，大厂需要投资300万元，小厂需要投资160万元，两者使用期都是10年。估计在此期间，产品销路好的可能性是0.7，销路差的可能性是0.3。若销路好，建大厂每年收益100万元，建小厂每年收益40万元；若销路差，建大厂每年损失20万元，建小厂每年收益10万元，试问应建大厂还是建小厂？进一步，将投资分为前三年和后七年两期考虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为0.7，而如果前三年的销路好，则后七年销路好的概率为0.9，如果前三年的销路差则后七年的销路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂哪个方案好？若先建设小厂，如销路好，则三年以后考虑扩建，扩建投资需要140万元，扩建后可使用七年，每年的益损值与大厂相同，这个方案与建大厂方案比较，优劣如何？第45页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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在现实生活中，变量与变量之间经常存在一定的关系，一般来说，可分为两大类，一类是确定性的关系，这种关系通常用函数来表示。另一类是非确定性关系，变量之间的这种非确定性关系通常称为相关关系。

回归分析就是数理统计中研究相关关系的一种数学方法，它就是通过大量的试验或观测，发现变量之间关系的统计规律。它在工农业生产和科学研究各个领域中均有广泛应用。回归分析一般分为线性回归分析与非线性回归分析。本节着重介绍线性回归分析，它是两类回归分析中较为简单的一类，也是应用得较多的一类。

4.4线性回归模型第46页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.4.1数学模型例4.4.1（水泥凝固时放出热量问题）

某种水泥在凝固时放出的热量y（卡/克）与水泥中下列4种化学成份有关。x1：3CaO·Al2O3的成份（%）x2：3CaO·SiO2的成份（%）x3：4CaO·Al2O3·Fe3O3的成份（%）x4：2CaO·SiO2的成份（%）现记录了13组数据，列在表4.4.1中，根据表中的数据，试研究y与x1，x2，x3，x4四种成份的关系。

第47页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院表4.4.1

编号x1(%)x2(%)x3(%)x4(%)y(卡/克)172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4第48页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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为了研究方便，我们考虑一个变量受其它变量影响时，仍把这变量称为因变量，记为Y，其它变量称为自变量，记为X，这时相关关系可记作Y=f（x）+ε其中f（x）为当X=x时，因变量Y的均值，即f（x）=E（Y|X=x）称f（x）为Y对X的回归函数，ε为Y与f（x）的偏差，它是一个随机变量，并假定E（ε）=0。第49页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即Y=f（x1，x2，…，xm）+ε其中f（x1，x2，…，xm）=E（Y|X1=x1，X2=x2，…Xm=xm）为m元回归函数，统称为多元回归函数。

若回归函数f（x1，x2，…，xm）中的m=1,且是一元线性函数，则称为是一元线性回归；m>1且是多元线性函数，则称为是多元线性回归；若回归函数f（x1,x2，…，xm）是非线性函数，则称为是非线性回归。第50页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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例如，在水泥凝固时放出热量问题中，可建立线性回归模型其中E（ε）=0，D（ε）=σ2，b0，b1，，b2，b3，b4和σ2是未知参数，为了估计这些参数，将表4.4.1的值代入模型第51页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院其中，x1，x2，…，xm是自变量，b0为常数，b1，b2，…，bm为回归系数，b0，b1，b2，…，bm皆为未知，统称b0，b1，b2，…，bm为回归参数，一旦回归参数确定，则多元线性回归模型就完全确定，一般假定随机误差ε～N（0,σ2）得线性模型一般地，多元线性回归模型可表示为第52页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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为了得到回归参数的估计值，就要对变量进行观测，假设对变量的n（n>m）次独立观测数据为（yi，xi1，xi2，…，xim）,i=1～n,则这些观测数据应满足上式，即有

第53页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院则多元线性回归的数学模型式可以写成矩阵形式

若记第54页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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为了获得参数β的估计，我们采用最小二乘法，即选择β，使

达到最小。将Q（β）对β求导数并令其为零，得

1．回归系数的最小二乘估计4.4.2模型参数估计第55页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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此方程称为正规方程，其中X为n×（m+1）阶矩阵，一般假定rank（X）=m+1，由线性代数理论可知，L=XTX为满秩矩阵，它的秩rank（L）=m+1，则正规方程有唯一解，记作

即

我们可以证明上式中的为参数向量β的最小二乘法估计量。

记，则第56页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院在实际工作中，常称为经验线性回归方程。第57页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院2．最小二乘法估计量的性质

首先假定

（1）是β的线性无偏估计量（2）的协方差矩阵为（3）是β的最小方差线性无偏估计其中

第58页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.4.3多元线性回归模型的检验与预测从上面的参数估计过程可以看出，对于一批观察数据不论它们是否具有线性关系，总可以利用最小二乘法建立起多元线性回归方程但是Y与x1，x2，…，xm

是否确实存在相关关系呢？回归方程的效果如何呢？这就要进行“整个回归效果是否显著”的检验。

当时，没有关系，回归模型没有意义，于是我们要检验是否成立。

第59页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院若H0成立，则x1，x2，…，xm对y没有影响；反之，若H0不成立，则x1，x2，…，xm对y有影响，此时y与x1，x2，…，xm的线性关系显著，也称为整个回归效果显著。

但要注意，即使整个回归效果是显著的，y也可能只与某几个xi关系密切（相应的bi显著不为零），而与另几个xi关系不密切（相应的bi为零）。这就是说，多元线性回归除了首先要检验“整个回归是否显著”外，还要逐个检验每一个bi是否为零，以便分辨出哪些xi对y并无显著影响，最后，还要对各个bi作出区间估计。第60页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院1．回归方程的显著性检验（1）回归显著性检验（F检验）若H0为真（回归平方和）（残差平方和）其中（离差平方和）（复相关系数）故拒绝H0，否则就接受H0第61页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院（2）单个回归系数为零的检验（t检验）若H0i为真其中（剩余标准差或估计的标准差）为中第i个对角线元素。故拒绝H0i，否则就接受H0i第62页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院2．回归系数的置信区间对bi的区间估计由于因而bi的置信区间为

其中第63页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院3．预测a）点预测求出回归方程对于给定自变量的值，用来预测称为的点预测。第64页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院b）区间预测

y0的95%预测区间近似为

其中第65页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院1．多项式回归分析模型4.4.4多元线性回归分析模型的推广

多项式回归模型的一般形式为：令则模型就变成为多元线性回归模型：第66页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院多项式回归还有许多推广的形式：

①②③④⑤

上述模型的共同特点是未知参数都是以线性形式出现，所以都可以采用恒等变换化为多元线性回归模型。第67页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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广义线性回归模型的一般形式为：

其中：是一个不含未知数参数的一元函数，且有反函数：的不含未知参数的多元函数。2．广义线性回归模型第68页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院广义线性回归模型的回归系数的确定：达到最小。此时也就是令即广义线性回归模型化为多元线性回归模型。则用最小二乘法求出的估计使得第69页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.4.5建立线性回归模型的步骤2.估计参数1.建立理论模型3.进行检验a）标准误差b）判定系数R2c)复相关系数d）回归系数显著性检验（t检验）e)总体回归方程的显著性检验（F检验）4．进行预测第70页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.4.6Matlab和Mathematica求解

1）求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型：[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)1．Matlab命令回归系数的区间估计残差用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数R2、F值、与F对应的概率p置信区间

显著性水平（缺省时为0.05）第71页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院2）画出残差及其置信区间：rcoplot（r，rint）其中b，X，Y分别为：bXY第72页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院2．Mathematica命令

在Mathematica中键入命令<<Statistics\LinearRegression.m按Shift+Enter键，即可调入线性回归软件包。输入：第73页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院水泥凝固时放出热量问题在Matlab编辑器中输入以下程序：3．实际问题的求解>>x1=[7111117113122111110]';>>x2=[26295631525571315447406668]';>>x3=[615886917221842398]';>>x4=[6052204733226442226341212]';>>y=[78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4]';>>x=[ones(13,1)x1x2x3x4];>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

;第74页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院disp('回归系数估计值')bdisp('回归系数估计值的置信区间')bintdisp('残差平方和')r'*rdisp('相关系数的平方')stats(1)disp('F统计量')stats(2)disp('与统计量F对应的概率p')stas(3)执行后输出回归系数估计值b=62.40541.55110.51020.1019-0.1441回归系数估计值的置信区间bint=-99.1786223.9893-0.16633.2685-1.15892.1792-1.63851.8423-1.77911.4910残差平方和ans=47.8636相关系数的平方ans=0.9824F统计量ans=111.4792第75页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院从计算结果可知，回归方程查表得：易见统计量进一步可得所以回归效果是高度显著的。第76页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院例4.4.2据观察，个子高的人一般腿都长，今从16名成年女子测得数据如下表4.4.2，希望从中得到身高与腿长之间的回归关系。如果某位女子测得身高为167cm，请估计其腿长为多少？

表4.4.2第77页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院解

（1）由表4.4.2给出的数据画出散点图：>>x=[143145146147149150153154155156157158159160162164];>>y=[8885889192939395969897969899100102];>>plot(x,y,'*')图4.4.1散点图由图4.4.1可以看出，数据点大致落在一条直线附近，这说明变量与之间的关系大致可以看做是直线关系。第78页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院（2）输入数据进行回归分析及检验：>>x=[143145146147149150153154155156157158159160162164]';>>X=[ones(16,1)x];>>Y=[8885889192939395969897969899100102]';>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,0.05)

;>>b,bint,stats输出结果：b=-16.07300.7194bint=-33.70711.56120.60470.8340stats=0.9282180.95310.00001.7437即；；的置信区间为[-33.7071，1.5612]，的置信区间为[0.6047，0.8340]；第79页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院可知回归方程成立。（3）残差分析，作残差图：

>>rcoplot(r,rint)从残差图可以看出，除第二个数据外，其余数据的残差离零点均较近，且残差区间均包含零点，说明回归方程能较好的符合原始数据，而第二个数据可视为异常点。第80页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院（4）预测及作图

>>z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,'*',x,z,'r')得各数据点及回归方程的图形如图4.4.3。可以看出，只有第二个数据点离回归直线距离较远。图4.4.3第81页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院当身高为167cm>>x=167;>>z=b(1)+b(2)*xz=104.0588可以预测腿长为104.0588cm第82页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.4.7“最优”回归的选择所谓“最优”回归方程有两方面的含义：一方面回归方程中要将有显著作用的自变量毫无遗漏的包含进来；另一方面希望自变量的个数尽可能的少。一般选择“最优”回归有如下几种不同的方法。（2）“只出不进”法（3）“只进不出”法（4）“有进有出”法——逐步回归法（1）全部比较法第83页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院日常生活中经常遇到排队等候服务的现象，顾客到达的时间和服务员进行服务的时间是随机的。例如超级市场一般都是有顾客挑选商品，然后携带着采购的商品在收款台前排队结算。我们经常看到开始排队的人数不多只需要一两个收款台工作，但随着顾客的增多，排队等待的时间就会延长，为了使排队的人数（等待时间）基本保持在某一水平，市场就会增开收款台。否则等待的时间过长就会影响顾客的数量，从而影响市场的收益，当然增开收款台也是要增加成本的。

我们知道，排队的长度（或等待时间）不仅与顾客的人数有关，也与收款台的数目及收款的速度有关。那么，它们之间究竟呈怎样的关系呢？收款台的数目设置多少最好呢？

4.5排队论模型第84页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.5.1排队论的基本概念

排队论也称随机服务系统理论，在排队论中，判断系统运行优劣的基本数量指标通常有：（1）排队系统的队长——排队系统中的顾客数，它的期望值记为L，相应的排队系统中等待服务的顾客数，其期望值记为Lq（2）等待时间——指一顾客在排队系统中等待服务的时间，其期望值记为Wq，逗留时间是指一个顾客在排队系统中停留的时间，即从进入服务系统到服务完毕的整个时间。其期望值记为W第85页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院（3）忙期——从顾客到达空闲服务机构起到服务机构再次为空闲止这段时间长度，即服务机构连续工作的时间长度。另外还有，服务设备利用率，顾客损失率等一些指标。排队论中的排队系统有下列三部分组成：a）输入过程，即顾客来到服务台的概率分布。

b）排队规则，即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待制两种。c）服务机构，其主要特征为服务台的数目，服务时间的分布。第86页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.5.2单通道等待制排队问题对于单通道等待制排队问题主要讨论输入过程服从泊松分布，服务时间服从指数分布，单服务台的情形。1．模型假设（1）

顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客流平稳，不考虑出现高峰期和空闲期的可能性。（2）排队方式为单一队列的等待制，先到先服务。队长没有限制。（3）顾客流满足参数为的泊松分布，其中是单位时间到达顾客的平均数。第87页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院（4）各顾客的服务时间服从参数为的指数分布，其中表示单位时间内能服务完的顾客的平均数。（5）顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的。满足以上条件的模型在排队论中记为模型，其中s为服务员的数量。s=1就为单服务台的情形。第88页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院2．模型的分析与建立——时刻t时排队系统中有n个顾客的概率在时间间隔内：有一个顾客到达的概率为有一个顾客离开的概率为多于一个顾客达到或离开的概率为，可忽略。第89页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院在时间间隔内有n个顾客的状态可由下列四个互不相容的事件组成：（1）t时刻有n个顾客，在内没有顾客到来，也没有顾客离开，则概率为（2）t时刻有n个顾客，在内有一个顾客到来，同时也有一个顾客离开，则概率为第90页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院（3）t时刻有n-1个顾客，在内有一个顾客到来，没有顾客离开，则概率为（4）t时刻有n+1个顾客，在内没有顾客到来，有一个顾客离开，则概率为第91页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院因此，在时刻系统中有n个顾客得概率为满足：令第92页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院考虑特殊情形：当n=0时，即在时刻时系统内没有顾客的状态，同理，它由以下三个互不相容的事件组成：（1）t时刻没有顾客，在内没有顾客来，则概率为（2）t时刻没有顾客，在内有一个顾客到达，接受完服务后又离开，则概率为（3）t时刻有一个顾客，在内该顾客离开，没有顾客来，则概率为第93页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院令得到系统状态应服从的模型：第94页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院3．模型求解当时，队长有稳定的分布，即pn(t)与t无关，此时上述方程和初始条件可化为由此可解差分方程得第95页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院由概率性质知，将上式代入时可得令，这时就表示相同时间区间内顾客到达的平均数与能被服务的平均数之比，它是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称为服务强度。第96页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院下面我们就可以计算出系统的一些重要运行指标

（1）系统中平均顾客数（队长）L：（2）排队等待服务的顾客平均数Lq:（3）系统中顾客平均排队等待的时间Wq:（4）顾客在系统中平均逗留时间W:第97页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.5.3关于增加服务员问题首先讨论两个服务员且他们的服务效率相同的情形:服务强度为:平均队长:若顾客只排成一队，最前面的顾客到空闲的服务员处接受服务,即模型。整个服务过程的平均服务率为平均逗留时间:第98页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院最后给出模型:平均队长:服务强度为:其中p0为所有服务员空闲的概率平均逗留时间:第99页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院例4.5.1（病人候诊问题）某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时平均可诊5个病人，病人的到来服从泊松分布，医生的诊病时间服从指数分布。试分析该科室的工作状况。即求该科室内排队候诊病人的期望，病人看一次病平均所需的时间，医生空闲的概率等等第100页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院解由题意从而排队系统的稳态概率为该科室平均有病人数为：该科室内排队候诊病人的平均数为：第101页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院看一次病平均所需时间为：排队等待看病的平均时间为：诊所的医生空闲的概率，即诊所中没有病人的概率为：第102页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院设科室应设置m个座位，m应满足：所以该科室至少应设20个座位。P（医务室病人数）如果满足99%以上的病人有座，此科室至少应设多少个座位？第103页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院如果该单位每天24小时上班，病人看病1小时因耽误工作单位要损失30元，这样工作单位平均每天损失多少元？每天平均有病人数人病人看病所花去的总时间为小时因看病平均每天损失元第104页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊6个病人，单位每天可减少损失多少？可减少多少个座位？为保证99%以上的病人有座，应设座位数比原来减少了9个。这样单位每天的损失费为元单位每天平均可减少损失元第105页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.6建模举例

4.6.1机票预售问题在激烈的市场竞争中，航空公司为争取理多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。公司承诺，预先订购机标的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。当然也可以订标时只订座，登机时才付款，这两种办法对于下面的计论是等价的。第106页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能登机飞走的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，公司不管以什么方式予以补救，也会导致受损和一定的经济损失，如客员减少，挤掉以后班机的乘客，公司无偿供应食宿，付给一定的赔偿金等。这样，综合考虑公司的经济利益，必然存在一个恰当的订票数量和限额。

第107页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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假设飞机容量为300，乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费是机票价格的10%，飞行费用与飞机容量、机票价格成正比（由统计资料知，比例系数为0.6，乘客不按时前来登机的概率为0.03），请你1）建立一个数学模型，给出衡量公司经济利益和社会声誉的指标，对上述预定票业务确定最佳的预定票数量。2）考虑不同客源的不同需要，如商人喜欢上述这种无约束的预定票业务，他们宁愿接受较高的票价，而按时上下班的雇员或游客，会愿意以若不能按时前来登机则机票失效为代价，换取较低额的票价。公司为降低风险，可以把后者作为基本客源。根据这种实际情况，制定更好的预订票策略。

第108页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.6.2模型的假设及符号说明1.模型的假设

①假设预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。②假设已预订票的乘客不能前来登机的乘客数是一个随机变量。③假设飞机的飞行费用与乘客的多少无关。第109页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院2.符号说明n：飞机的座位数，即飞机的容量；g：机票的价格；f：飞行的费用；b：乘客准时到达机场而未乘上飞机的赔偿费；m：售出的机票数；k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数，即迟到的乘客数，它是一个随机变量；pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按时前来登机的概率；p：每位乘客迟到的概率；Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤掉j人的概率，即社会声誉指标；S：公司的利润；ES：公司的平均利润。

第110页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院4.6.3问题的分析及数学模型1问题的分析赔偿费：b=0.1g，飞行费用：f=0.6ng，每位乘客迟到的概率：p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个乘客不能按时前来登机，即迟到的乘客数k服从二项分布B（m，p），此时，第111页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院当m-k≤n时，说明m-k个乘客全部登机，此时利润

S=（m-k）g–f当m-k>n

时，说明有n个乘客登机，有m-k-n个乘客没有登上飞机，即被挤掉了，此时利润

S=ng–f-(m–k-n)b

根据以上的分析，利润S可表示为：第112页，共121页，2023年，2月20日，星期五

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数学建模理学院迟到的乘客数k=0,1,2,…,m-n-1时，说明有m-k-n个乘客被挤掉了；

迟到的乘客数k=m-n