数学模型及基本概念

数学模型及基本概念第1页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.1

优化设计的数学模型一.机械优化设计方法解决实际问题的步骤

1.分析实际问题，建立优化设计的数学模型；

分析：①设计的要求（目标、准则）；②设计的限制（约束）条件；③设计的参数，确定设计变量。

建立：机械优化设计方法相应的数学模型。

2.分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（优化算法）。

3.求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析,最终确定是否选用此次计算的解。第2页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.1

优化设计的数学模型举例1：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型

已知：轴的一端作用载荷P=1000N，扭矩M=100N·m；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力[σw]=120MPa，许用扭剪应力[τ]=80MPa，许用挠度[f]=0.01cm；密度[ρ]=7.8t/m，弹性模量E=2×105MPa。

分析：设计目标是轴的质量最轻Q=1/4πd2lρ→min.；要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。

设计限制条件有5个：弯曲强度：σmax≤[σw]

扭转强度：τ≤[τ]

刚度：f≤[f]

结构尺寸：l≥8,d≥0

设计参数中的未定变量：d、l第3页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.1

优化设计的数学模型具体化：目标函数Q=1/4πd2lρ→min.

约束函数σmax=Pl/(0.1d3)≤[σw] τ=M/(0.2d3)≤[τ] f=Pl3/(3EJ)≤[f] l≥8d≥0代入数据整理得数学模型：设：X=[x1,x2]T=[d,l]T

min.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-

x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0二.举例1（续）第4页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.1

优化设计的数学模型举例2：包装箱尺寸参数设计

已知：一个体积为5m3的薄板包装箱，其中一边长度不小于4m。

分析：

传统设计方法：首先固定包装箱一边长度a=4m,满足包装箱体积为5m3的设计要求，则有很多设计方案。要求：使薄板耗材最少，确定包装箱的尺寸参数：长a、宽b和高h。优化设计方法：在满足包装箱的体积abh=5，长度a≥4,宽度b>0和高度h>0的限制条件下，确定设计参数a、b、h的值，使包装箱的表面积s达到最小。选择合适的优化方法对该优化设计问题进行求解，得到的优化结果是：第5页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.1优化设计的数学模型机械优化设计数学模型的一般形式：

设X=[x1,x2,…,xn]Tmin.f(x)=f(x1,x2,…,xn)X∈Rns.t.gu(x)

≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,p<n——

设计变量——

目标函数——

约束函数（性能约束）——

约束函数（性能约束）——

约束函数（性能约束）——

约束函数（几何约束）——

约束函数（几何约束）（不等式约束）（等式约束）属于2维欧氏空间根据例子中的数学模型：设：X=[x1,x2]T=[d,l]T

min.f(x)=x12x2X∈R2s.t.g1(x)=8.33x2-

x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0三.优化设计的数学模型第6页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素一.设计变量：

设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选确定的量。

设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。

可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置运动学参数：例，位移、速度、加速度动力学参数：例，力、力矩、应力其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度非物理量：例，效率、寿命、成本设计变量：优化设计问题有n个设计变量x1,x2,…,xn，

用xi(i=1,2,…,n)表示，是设计向量X的n个分量。设计向量：用X=[x1,x2,…,xn]T表示，是定义在n维欧氏空间中的一个向量。第7页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素设计点:X(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第k个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间Rn：以x1,x2,…,xn

为坐标轴，构成n维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。例：右图三维空间中第1设计点：X(1)=[x1(1),x2(1),x3(1)]T第2设计点：X(2)=[x1(2),x2(2),x3(2)]T

其中：X(2)=X(1)+ΔX(1)

增量：ΔX(1)=[Δx1(1),Δx2(1),Δx3(1)]T

即x1(2)=x1(1)+

Δx1(1)x2(2)

=x2(1)

+Δx2(1)

x3(2)=x3(1)+Δx3(1)一.设计变量（续1）第8页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素设计变量的选取原则:

尽量减少设计变量的个数，就是说尽可能将那些不很活跃的参数，根据过去设计经验或者考虑工艺、结构布置等方面的因素，可以预先取定，作为设计参数来处理。将设计指标影响较大的设计参数作为设计变量来处理。一.设计变量（续2）设计变量的向量形式:==xi是n维向量X的第i个分量，T是转置符，即表示把列向量转置为行向量。第9页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素设计约束：设计变量值(设计点)的选择不仅要使目标函数达到最优值，同时还会受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。

不等式约束函数：gu(x)

≤0u=1,2,…,m

等式约束数：hv(x)=0v=1,2,…,p＜n问题：是否每个设计约束中都必须包含n个设计变量？m+p个约束呢？不等式约束能否表达成gu(x)≥0？p为什么必须小于n?例：有三个不等式约束

g1(x)=-

x1

≤0g2(x)=-x2

≤0g3(x)=x12+x22-1≤0

再加一个等式约束

h(x)=x1-x2=0D二.约束函数第10页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素约束（曲）面：对于某一个不等式约束gu(x)

≤0中，满足gu(x)

=0的x点的集合构成一个曲面，称为约束（曲）面。

它将设计空间分成两部分：满足约束条件gu(x)

≤0的部分和不满足约束条件gu(x)

＞0的部分。设计可行域（简称为可行域）对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域。记作

D

=gu(x)

≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,p问题：等式约束与约束曲面是什么关系？

D

二.约束函数（续1）第11页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素可行设计点（内点）：在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。极限设计点（边界点）：在约束面上的点称为极限设计点。

若讨论的设计点x(k)点使得gu(x(k))

=0，则gu(x(k))≤0称为适时约束或起作用约束。

非可行设计点（外点）：在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。二.约束函数（续2）问题：①极限设计点是否代表可行设计方案？②什么约束一定是适时约束？③可行域是否一定封闭？第12页，共54页，2023年，2月20日，星期五二维设计平面可行域中的内点、外点和边界点第13页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素等式约束的特殊性：等式约束条件是对设计变量的一种特殊组合，从理论上讲，有一个等式约束条件就存在一个从最优化设计中消去某个设计变量的机会，即降低最优化设计问题维数的一次机会。等式约束条件数p必须小于优化设计问题的维数n，若n＝p，则由n个等式约束函数方程限制了设计方案只能有唯一的解，没有最优化的余地。可行域的边界一般是等式约束，在二维设计空间中，等式约束表现为一条曲线，在三维设计空间中，等式约束一般表现为一张曲面。二.约束函数（续3）第14页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素目标函数：优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个准则来评价当前设计点（解）的最优性。这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称为目标函数，也称为评价函数、准则函数、价值函数。多目标函数：由于评价准则的非唯一性，目标函数可以是一个——单目标函数，也可以是多个——称为多目标函数。单目标函数的表达式为：f(x)=f(x1,x2,…,xn)多目标函数的表达式为：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)=

其中：f1(x)，f2(x)，…fq(x)代表q个分设计目标；

ω1，ω2，…

，ωq代表q个加权系数。三.目标函数第15页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素说明：①f(x)必须是x的函数，应随设计点的变化f(x)的值上升、下降；②f(x)应该是实函数，是可计算的。但不一定通过数学公式，还可以用其它数值计算方法计算。③f(x)可以是有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。例如，销轴的质量：Q=1/4πd2lρ，∵1/4πρ是常数，∴目标函数可简化为f(x)=d2l=x12x2问题：①f(x)是否一定应包含所有的设计变量？②f(x)若是越大越好，则应如何处理？③分目标函数f1(x)，f2(x)，…fq(x)中，有些是越小越好，有些是越大越好，则又应如何处理？三.目标函数(续）第16页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.2优化设计的三大要素通常根据设计准则建立：①在机构优化设计中，这种准则可以是运动学和动力学的性质，如运动误差，主动力和约束反力的最大值，振动特性等②在零件和部件设计中，设计准则可以用重量、体积、效率、可靠性、承载能力表示③对于产品设计，可以将成本、价格、寿命等作为所追求的目标。在一般情况下，这些设计指标与设计变量之间都有明显的的函数关系。三.目标函数(续2）第17页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.3优化设计的分类一.按模型性质分：

确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关或忽略时间因素）动态优化问题（随时间变化，系统响应变化）不确定型优化问题（随机优化问题）二.按设计变量性质分

连续变量、离散变量、随机变量三.按约束情况分1.按有无约束分：无约束优化问题约束优化问题

2.按约束性质分：区域约束（几何约束、边界约束）性能约束（功能约束、性态约束）第18页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.3

优化设计的分类（续）四.按目标函数和约束函数的特性分：

线性规划问题非线性规划问题几何规划问题二次规划问题五.按目标函数的个数分：

单目标优化问题双目标优化问题多目标优化问题第19页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础一.等值（线）面：

对于可计算的函数f(x)，给定一个设计点X(k)(x1(k),x2(k),…,xn

(k))，f(x)总有一个定值c与之对应；而当f(x)取定值c时，则有无限多个设计点X(i)(x1(i),x2(i),…,xn(i))（i=1,2,…

）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。

当c取c1,c2,…等值时，就获得一族曲面族，称为等值面族。

当f(x)是二维时，获得一族等值线族；当f(x)是三维时，获得一族等值面族；当f(x)大于三维时，获得一族超等值面族。第20页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础等值线的“心”

（以二维为例）

一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。

多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。一.等值（线）面：第21页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础无约束最优解和约束最优解

对于无约束最优化问题，最优解就是目标函数的极值点，实际上就是目标函数等值线的中心。对于约束最优化问题，最优点往往是目标函数等值超曲面与约束超曲面的一个切点，而且可能在两个以上约束超曲面的交集上一.等值（线）面：局部最优解和全局最优解第22页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础等值线的形状：同心圆族、椭圆族，近似椭圆族；等值线的疏密：沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变化慢。等值线的疏密定性反应函数值变化率。

严重非线性函数——病态函数的等值线族是严重偏心和扭曲、分布疏密严重不一的曲线族。一.等值（线）面：第23页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础等值线的分布规律与目标函数变化规律之间的关系：对于求目标函数极小化问题来说，愈靠近极值点的等值线（面）所代表的目标函数值愈小。在极值点附近的等值线呈现椭圆形状，其中心就是极值点。等值线举例（二维优化设计问题）：一.等值（线）面：令目标函数值等于一系列常数值：则在设计平面上得到以点(2，0)为圆心，以为半径的一族同心圆,曲线族中某一条曲线上的各点都具有相同的目标函数值。第24页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础二维优化问题的几何描述：例：对二维优化问题一.等值（线）面：进行几何描述约束线、可行域、目标函数等值线、约束极值点第25页，共54页，2023年，2月20日，星期五设，是设计空间中的任意两个向量，则有：(1)．xi=yi(i=1,2,…,n)时，称x与y相等;(2)．x与y的和、差定义：(3)．向量与实数的乘积定义为：

(4)．当时，称x为零向量。

§2.4

优化设计的数学基础二.向量与矩阵：向量：第26页，共54页，2023年，2月20日，星期五(1)．向量的模：(2)．向量x与y之间的距离：

(3)．向量x与y的内积：(4)．非零向量x与y的之间的夹角：

(5)．在实空间中，称为欧氏空间，记作。

§2.4

优化设计的数学基础二.向量与矩阵：欧式空间：第27页，共54页，2023年，2月20日，星期五(1).设为中的m个向量(m≤n)，若有不全为零的m个数，i=1,2,…，m，使成立，称向量组是线性相关的。(2).若中一组向量线性相关，中任一向量x都可表示为则称为的一组基。

§2.4

优化设计的数学基础二.向量与矩阵：向量的线性相关与基：设，，则有：设，，为实数，则有：

矩阵：第28页，共54页，2023年，2月20日，星期五当m=n时，A称为n阶方阵，aii,i=1~n,称为方阵的主对角元素。

|Ａ|称为方阵Ａ的行列式，且有：在n阶方阵A中，当主对角元素均为１，其余各元素都为零，则称为单位方阵E。§2.4

优化设计的数学基础二.向量与矩阵：方阵：对于n阶方阵A,B，如果AB=E，则称B为A的逆矩阵，记为，而且可推得：当n阶方阵各元素aii=aji

，i,j=1~n,称A为对称方阵。第29页，共54页，2023年，2月20日，星期五二次型：含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数上式也可表达为：对于任意的非零向量，恒有，则称f(X)为正二次型，A为正定矩阵。§2.4

优化设计的数学基础二.向量与矩阵：二次型与正定矩阵：函数的偏导数：偏导数是指在某坐标轴方向函数值的变化率，连续可微的n维函数，在点的一阶偏导数表示为：，，…，第30页，共54页，2023年，2月20日，星期五方向导数：二维问题中，f(x1,x2)在X(0)点沿方向s的方向导数为：其中：是X(0)点的梯度。S为s方向的单位向量，。

为S的方向角,方向导数为方向余弦。为梯度在方向s上的投影。三.梯度§2.4

优化设计的数学基础第31页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础梯度的性质：

①梯度是X(0)点处最大的方向导数；②梯度的方向是过点的等值线的法线方向；③梯度是X(0)

点处的局部性质；④梯度指向函数变化率最大的方向；⑤正梯度方向是函数值最速上升的方向，负梯度方向是函数值最速下降的方向。

对于n维问题的梯度三.梯度第32页，共54页，2023年，2月20日，星期五例2-1

求二元函数在

处的梯度和梯度的模解：由梯度的定义可得：将代入上式得到：x2P21x12

的模为：梯度的单位向量为：第33页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础n维函数f(x)在x(k)

点的台劳展开式:二阶近似式：其中：增量

ΔX(k)=[Δx1(k),Δx2(k),…,Δxn(k)]T梯度

Hesse矩阵四.Hesse矩阵与正定第34页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础Hesse矩阵的特性：是实对称矩阵。矩阵正定的充要条件：主子式det(ait)＞0当主子式det(ait)≥0时，矩阵半正定

det(ait)＜0时，矩阵负定

det(ait)≤0时，矩阵半负定Hesse矩阵的正定性：H(x*)正定，是x*为全局极小值点的充分条件；H(x*)半正定,是x*为局部极小值点的充分条件；H(x*)负定，是x*为全局极大值点的充分条件；H(x*)半负定,是x*为局部极大值点的充分条件。正定的二次函数：曲面为椭圆抛物面；等值线族为椭圆曲线族，椭圆中心为极小值点。四.Hesse矩阵与正定第35页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础凸集：设D为欧氏空间Rn中X的集合，即D∈Rn,X∈D，若D域内任意两个点x(1)，x(2)的连线上的各点都属于D域，则的集合D称为Rn

内的一个凸集。否则，为非凸集。凸函数：

f(x)是定义在n维欧氏空间中，凸集上的函数，同时x(1)∈D，x(2)∈D，ξ∈[0,1]，当下式成立时，则称f(x)为定义在凸集D上的凸函数。f[ξx(1)+(1-ξ)x(2)]≤ξf(x(1))+(1-ξ)f(x(2))

当上式中的≤为＜时，f(x)是严格凸函数。五.函数的凸性第36页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.4

优化设计的数学基础判别函数为凸函数的凸性条件：

按梯度判断凸性：设f(x)是定义在凸集D上具有连续一阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：对于任意的x(1),x(2)∈D都有成立。

按二阶偏导数判断凸性：设f(x)是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：f(x)的Hesse矩阵处处半正定。若Hesse矩阵处处正定，则f(x)为严格凸函数。凸函数的基本性质：

若f(x)是定义在凸集D上的严格凸函数，则f(x)在D上的一个极小点，也就是全局最小点。凸函数的线性组合仍然为凸函数。α

f1

(x)＋β

f2

(x)

设x(1),x(2)为凸函数f(x)上的两个最小点，则其连线上的任意点也都是最小点。五.函数的凸性第37页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件一.优化设计最优解无约束优化设计问题最优解：约束优化设计问题最优解：

不受约束条件限制，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点x*=[x1*,x2*,…,xn*]和最优值f(x*)构成无约束问题最优解。

满足约束条件，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点x*=[x1*,x2*,…,xn*]和最优值f(x*)构成约束问题最优解。第38页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件二.无约束问题的极值条件必要条件：充分条件：

在点的一阶偏导数为零（即梯度向量为零向量）

如果它的二阶偏导数矩阵（即Hesse矩阵）是负定的，则为极大点；如果它的二阶偏导数矩阵是正定的，则为极小点。例2-2

求三维函数的极值点解：根据三维函数存在极值的必要条件，令梯度为零第39页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件二.无约束问题的极值条件联解得到：海赛矩阵行列式各阶主子式计算点处的Hesse矩阵Hesse矩阵是正定的，是极小点，对应的目标函数值第40页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件三.有约束问题最优点的几种情况2.有适时约束目标函数是凸函数,可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点，而且是全局最优点。1.无适时约束目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。相当于无约束问题的最优点。x(k)为最优点x*的条件：必要条件：充分条件：Hesse矩阵H(x(k))

是正定矩阵··X*f(x)·x*第41页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件有适时约束目标函数是非凸函数（图a），或可行域是非凸集（图b）：

则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点，是局部极值点，其中只有一个点是全局最优点。三.有约束问题最优点的几种情况pQQp第42页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5

优化设计的最优解及获得最优解的条件四.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件1.有一个适时约束时：

与x(k)点目标函数的负梯度方向成锐角，即沿S方向目标函数值下降；与x(k)点约束函数的梯度方向成钝角，即保证S方向上各点在可行域内。此时，获得最优解x(k)

为最优点x*，f(x(k))为最优值f(x*)。

从数学上定义，当从x(k)点出发不存在一个S方向能同时满足：①;②，即，则获得最优解：x(k)为最优点x*，f(x(k))为最优值f(x*)。从几何上看，当从x(k)点出发不存在一个S方向能同时满足：第43页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件

相反，当从x(k)点出发，存在一个S方向能同时满足：和时，则x(k)不是最优点。

从几何上看，当从x(k)点出发存在一个S方向能同时满足：与x(k)点目标函数的负梯度方向成锐角，即沿S方向目标函数值下降；与x(k)点约束函数的梯度方向成钝角，即保证S方向上各点在可行域内。此时，x(k)不是最优点x*。四.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件1.有一个适时约束时：第44页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件2.有二个适时约束时：

x(k)成为约束最优点x*的必要条件为:。

几何上位于和所张的扇形子空间内。即不存在一个S方向能同时满足：四.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件第45页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件相反，不符合以上条件：

几何上不位于和所张的扇形子空间内。则x(k)

点不是最优点。不能表达成和的线性组合。即存在一个S方向能同时满足：四.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件2.有二个适时约束时：第46页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件3.K-T条件（扩展至m个适时约束）：

设某个设计点x(k)，其适时约束集为，

几何上，x(k)成为约束最优点（极小点）x*时，目标函数的负梯度向量位于m适时约束梯度向量所张成的子空间内。且为线性独立，则x(k)成为约束最优点的必要条件是目标函数的负梯度向量可表示为适时约束梯度向量的线性组合，即。其中，。四.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件第47页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件K-T条件的作用：判别边界设计点x(k)

为最优点的依据，见参考书（第三版）52页例3-6、53页例3-7（要求会判断）；作为约束优化的收敛条件。问题：

K-T条件是否为充分必要条件？若是，说明理由；若不是，则说明什么情况下，可成为充要条件？有等式约束时，K-T条件是否还能适用？四.K-T(Kuhn-Tucker库恩-塔克)

条件

——有适时约束时获得最优解的条件第48页，共54页，2023年，2月20日，星期五§2.6优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件一.数值迭代法：基本思想：从设计点x(k)出发，根据函数在该点的某些（局部）性质，确定本次搜索的方向S(k)和步长因子α(k)

，从而达到一个新点x(k+1),…逐步调优，最终达到或逼近目标函数的最优点。

迭代公式：

x(k+1)=x(k)+α(k)S(k)

迭代条件：保证得到的新点