多元函数微分学习题课

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1．已知f(x?y,x?y)?x2?y2??(x?y)，且f(x,0)?x，求出f(x,y)的表达式。2．（1）探讨极限lim1xy?0；解法2：令y?kx，时，以下算法是否正确？解法1：原式?limx?01x?0x?y1y?0y?0?yx原式?limxx?0sin?cos?k?0；解法3：令x?rcos?，y?rsin?，原式?limr?0。

r?0cos??sin?1?k（2）证明极限limxy不存在。

x?0x?yy?0x?0x?0?ln(1?xy)?3．证明f(x,y)??x?y?在其定义域上四处连续。

(|x|?|y|)?4.试确定?的范围，使lim?0。22(x,y)?(0,0)x?y?|xy|?2sin(x2?y2)x2?y2?025.设f(x,y)??x?y，探讨?0x2?y2?0?（1）f(x,y)在(0,0)处是否连续？（2）f(x,y)在(0,0)处是否可微？6.设F(x,y)具有连续偏导数,

已知方程F(,)?0，求dz。

2xyzz?u?2u7.设u?f(x,y,z)有二阶连续偏导数,且z?xsint，t?ln(x?y)，求，。

?x?x?y8.设z?f(u)，方程u??(u)?且??(u)?1，求p(y)?xy其中f(u),?(u)可微，p(t),??(u)连续，p(t)dt确定u是x,y的函数，

?z?z。?p(x)?x?y29.设x?u?v，y?2uv，z?ulnv，求

22?z?z,。?x?y10.设u?f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y?y(x)及z?z(x)分别由下两式确定：

e?xy?2，e??xyxx?z0dusintdt，求。tdx11.若可微函数z?f(x,y)满足方程

z?yz?x，证明：f(x,y)在极坐标系里只是?的函数。?xy1

12.在变换u?x,v?x2?y2下，求下面方程的解y?z?z?x?0。?x?y13.求常数a,b,c的值，使函数f(x,y,z)?axy2?byz?cx3z2在点(1,2,?1)处沿z轴正方向的方向导数

有最大值64。

14.设函数f(x,y,z)?x2?yz，

?x?t?2(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线?y?2t?1在该点切线方向的方向导数；

?z?t3?(2)求函数在点M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角?。15.直线L：??x?y?b?0，在平面?上，而?与曲面z?x2?y2相切于(1,?2,5)，求a,b之值。

?x?ay?z?3?016.已知椭球面x2?y2?z2?xy?yz?a2，(a?0)，

（1）求椭球面上z坐标为最大和最小的点；（2）求椭球面在xoy面上的投影区域的边界曲线。17.求两球面x2?y2?z2?25与x2?y2?(z?8)2?1的公切面方程，使该公切面在x轴和y轴的上半

轴上的截距相等。

18.试求椭圆5x2?4xy?2y2?1的长轴和短轴之长。

19.当n个正数x1,x2,?xn之和为常数时，求它们的乘积开n次方的最大值，并由此证明

nx1x2?xn?1(x1?x2??xn)。n20．已知两平面曲线f(x,y)?0，g(x,y)?0，(?,?)和(?,?)分别为两曲线上的点，试证：假使这两

点是这两曲线上相距最近或最远的点，则

???fx?(?,?)g?(?,?)。??x???fy?(?,?)g?y(?,?)

21．设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的区域为

D?{(x,y)|x2?y2?xy?75}，小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy。

（1）设M(x0,y0)为区域D的一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向

导数的最大值为g(x0,y0)，试写出g(x0,y0)的表达式。

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻觅一上山坡度最大的点作为攀岩的起点。也就是说，要在D的的边界限x?y?xy?75上找出访（1）中的g(x,y)达到最大值的点。试确定攀岩起点的位置。

222

x2y2??1,(x?0,y?0)圆周上求一点C，22．已知平面上两定点A(1,3),B(4,2)，试在椭圆94使△ABC面积S△最大。

23．求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者。

24．求平面上以a,b,c,d为边的面积最大的四边形，试列出其目标函数和约束条件。

25．设z?z(x,y)是由方程6xy?2yz?z2?x2?10y2?18确定的隐函数。已知