余弦定理练习题

余弦定理练习题1．在△中，假如＝6，＝4，cos＝1，那么等于()ABCBCABB3ACA．6B．26C．36D．462．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于()D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则∠B的值为( )5π2π或6或35．在△中，、、c分别是、、的对边，则cos＋cosA等于()ABCabABCaBbA．aB．bC．cD．以上均不对6．假如把直角三角形的三边都增添相同的长度，则这个新的三角形的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增添的长度决定8．在△中，b＝3，＝3，＝30°，则a为()ABCcBB．23或23D．29．已知△的三个内角知足2＝＋，且＝1，＝4，则边上的中线的长为________．ABCBACABBCBCAD10．△中，sin∶sin∶sin＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．ABCABC11．已知、、c是△的三边，S是△的面积，若a＝4，＝5，＝53，则边c的值为________．abABCABCbS12．在△中，sin∶sin∶sin＝2∶3∶4，则cos∶cos∶cos＝________.ABCABCABC13．在△ABC中，a＝32，cosC＝3，S＝43，则b＝________.1△ABC15．已知△的三边长分别是a、、，且面积＝a2＋b2－c2，则角＝________.ABCbcS4C16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．118．已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为sinC，求角C6的度数．π19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－4)的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确立△ABC的形状．余弦定理答案11．在△ABC中，假如BC＝6，AB＝4，cosB＝3，那么AC等于(A)A．6B．26C．36D．462．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于(B)D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于(D)A．60°B．45°C．120°D．150°4．在△中，∠、∠、∠C的对边分别为、、，若(2＋c2－2)tan＝3，则∠B的值为(D)ABCABabcabBac5π2π或6或3分析：选D.由(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，联想到余弦定理，代入得a2＋c2－b2313cosBπ＝3π2πcos＝＝·＝·.明显∠≠，∴sin.∴∠＝或.2tanB2sinB2232ac35．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于(C)A．aB．BC．cD．以上均不对6．假如把直角三角形的三边都增添相同的长度，则这个新的三角形的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．由增添的长度决定分析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2.设增添的长度为m，则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，又(a＋)2＋(＋)2＝2＋2＋2(a＋)＋22＞2＋2＋2＝(＋)2，mbmabbmmccmmcm∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．8．在△中，＝3，＝3，＝30°，则a为()ABCbcBB．23或23D．2分析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－33a，∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或23.9．已知△ABC的三个内角知足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．π分析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝3.221在△ABD中，AD＝AB＋BD－2AB·BDcosB＝1＋4－2×1×2×2＝3.答案：310．△中，sin∶sin∶sin＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．ABCABC解：∵sin∶sin∶sin＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a∶∶＝(3－1)∶(3＋1)∶10.ABCbc设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)，a2＋b2－c21∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cosC＝2ab＝－2，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．131222分析：S＝2absinC，sinC＝2，∴C＝60°或120°.∴cosC＝±2，又∵c＝a＋b－2abcosC，∴c2＝21或61，∴c＝21或61.答案：21或6112．在△中，sin∶sin∶sin＝2∶3∶4，则cos∶cos∶cos＝________.ABCABCABC分析：由正弦定理∶∶＝sin∶sin∶sin＝2∶3∶4，abcABC2＋c2－22k2＋42－3211设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，cosB＝＝16，2ac＝2×2k×4k71同理可得：cosA＝8，cosC＝－4，∴cosA∶cosB∶cosC＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC中，a＝32，cos1＝43，则b＝________.3△ABC分析：∵cos1221sin＝41b223，∴b＝23.答案：23＝，∴sin＝3.又△ABC＝3，即··32·＝4C3CS2abC2322215．已知△的三边长分别是a、b、c，且面积＝a＋b－c，则角＝________.ABCS4C1a2＋b2－c2a2＋b2－c2·ab1cos，∴sin＝cos，∴tan＝1，∴＝45°.答案：45°分析：sin＝＝4＝2ab＝2abCS22abCCCCC16．三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．分析：设三边长为k－1，k，k＋1(k≥2，k∈N)，则k2＋k－12－k＋12＜0?2＜k＜4，k＋k－1＞k＋1∴k＝3，故三边长分别为32＋42－22772,3,4，∴最小角的余弦值为2×3×4＝8.答案：817．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．11解：∵A＋B＋C＝π且2cos(A＋B)＝1，∴cos(π－C)＝2，即cosC＝－2.又∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴2＝2＋2－2··cos＝2＋2－2(－1)＝2＋2＋＝(＋)2－＝(23)2－2＝10，∴＝10.ABACBCACBCCabab2ababababAB18．已知△ABC的周长为2＋1，且sinA＋sinB＝2sinC.(1)求边AB的长；(2)1C，求角C的度数．若△ABC的面积为sin6解：(1)由题意及正弦定理得AB＋BC＋AC＝2＋1，BC＋AC＝2AB，两式相减，得AB＝1.111(2)由△ABC的面积2BC·AC·sinC＝6sinC，得BC·AC＝3，222AC＋BC221由余弦定理得cosAC＋BC－AB－2AC·BC－ABC＝2·＝2·＝2，所以C＝60°.ACBCACBC19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.π(1)求AB的值；(2)求sin(2A－4)的值．ABBCsinC解：(1)在△ABC中，由正弦定理sinC＝sinA，得AB＝sinABC＝2BC＝25.222255AB＋AC－BC2(2)在△ABC中，依据余弦定理，得cosA＝2AB·AC＝5，于是sinA＝1－cosA＝5.4223进而sin2A＝2sinAcosA＝5，cos2A＝cosA－sinA＝5.πππ2所以sin(2A－4)＝sin2Acos4－cos2Asin4＝10.20．在△中，已知(＋＋)(a＋－)＝3，且2cossin＝sin，确立△的形状．ABCabcbcabABCABCsinCcsinCc解：由正弦