2022-2023学年天津市咸水沽重点中学高二（上）期末数学试卷及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年天津市咸水沽重点中学高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线x+(2m−1)yA.−32或1 B.−1 C.32或2.已知公差不为0的等差数列{an}，满足a1，a3，a4成等比数列，{an}的前A.32 B.13 C.3 3.抛物线y2=8x的焦点到双曲线yA.3 B.2 C.32 D.4.四棱锥P−ABCD中，设BA=a，BC=A.13a+13b+235.已知，P，Q分别为圆x2+y2−8x−8y+28A.7 B.8 C.11 D.146.在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，A.2

B.22

C.62

7.双曲线x2a2−y2b2=1(aA.x26−y23=1 8.已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的下焦点A.35 B.53 C.549.正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染1；再染3个偶数2，4，6；再染6后面最邻近的5个连续奇数7，9，11，13，15；再染15后面最邻近的7个连续偶数16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的9个连续奇数29，31，…，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2021个数是(

)A.3991 B.3993 C.3994 D.3997二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.已知向量a=(2m+1,3,m−1)11.随着双减政策的落地，小明决定利用写完作业后的时间，进行了一次“阅读经典”的活动，阅读书籍共1200页．他第一天只读了10页，之后采取了积极措施，从第二天起每一天阅读的量都比前一天多10页．这次“阅读经典”活动小明一共进行的天数为______．12.已知直线l：mx+y−2−2m=0与圆x2+y13.已知抛物线C：x2=4y，过点A(0,1)作倾斜角为π3的直线l，若l与抛物线交于B，C两点，弦14.点P是直线x+y−4=0上的动点，过点P作圆(x+1)2+(y−1)2=15.给出下列四个命题：

①已知直线x+3y−2=0，则该直线的倾斜角为π6

②抛物线20x2=y的准线方程为x=5

③在等差数列{an}中，a1011a1012<−1，若{an}的前n项和三、解答题（本大题共5小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题14.0分)

(Ⅰ)已知圆M经过A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)三点，求圆M的标准方程；

(Ⅱ)17.(本小题15.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AC=2，∠BAC=90°，BC=13且PA=3，E是PD中点．

(Ⅰ)求证：PB//平面18.(本小题15.0分)

已知数列{an}是等差数列，其前n项和公式为Sn，数列{bn}是等比数列．a1=1，b1=2，a4+b4=23，b4=S4．

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式；

19.(本小题15.0分)

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，过点N(1,32)，左顶点为A，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E，

(Ⅰ)20.(本小题16.0分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2.Sn+1+2Sn−1=3Sn(n∈N*且n≥2)．

(Ⅰ答案和解析1.【答案】C

【解析】解：∵直线x+(2m−1)y+1=0与直线−3x+my+3=0垂直，

2.【答案】B

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，则d≠0，

∵a1，a3，a4成等比数列，

∴a32=a1a4，即(a1+2d)2=a1(a1+3d)，

化简得d(3.【答案】A

【解析】解：抛物线y2=8x的焦点坐标是(2,0)，双曲线y26−x22=14.【答案】A

【解析】解：BE=BP+PE=BP5.【答案】A

【解析】解：设圆C1：x2+y2−8x−8y+28=0，可得圆心C1(4,4)，半径r1=2，

圆C2：x2+y2+8x−4y+19=0可得圆心C2(−4,2)，半径r2=1，圆C2关于x轴对称圆的圆心C2′(−4,−2)，半径r2′6.【答案】B

【解析】解：PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，

ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB//CD，AB=AD=1，CD=2，

则BD=2,BC=12+(2−1)2=2，所以BC2+BD27.【答案】D

【解析】解：由抛物线的定义可得|AF|=2+p2=5，可得p=6，故抛物线的方程为y2=12x，

将点A的坐标代入抛物线方程可得m2=24，∵m>0，解得m=26，

抛物线y2=12x的焦点为F(3,0)，故双曲线的左焦点为F(−8.【答案】B

【解析】解：如图所示，取椭圆的上焦点为F′，连接F′M，

设圆x2+(y+c3)2=b29的圆心为E(0,−c3)，半径r=b3，

由题意，可得|OF|=3|OE|，所以|EF|=2|OE|=23c，

所以|FF′|=2|OF|=6|OE|，9.【答案】D

【解析】解：设第n次染色的最后一个数字为an，根据染色的最后一个数字，1，6，15，28，……，可得an=n(2n−1)，

因为前n次染色数字的个数之和为1+3+5+…+(2n−1)=n2，由n2≤2021≤(n+1)2，可得n=44．10.【答案】−2【解析】解：依题意，设a=λb(λ为实数)，

则2m+1=2λ3=mλm−111.【答案】15

【解析】解：由题意可得“阅读经典”活动小明每天读书页数为等差数列，

设该等差数列为{an}，由题意可得首项a1=10，公差d=10，

则通项公式an=a1+(n−1)d=10+10(n−1)=10n，

所以数列的前n项和Sn=n(a1+an12.【答案】x+【解析】解：∵mx+y−2−2m=0，

∴m(x−2)+y−2=0，

故直线l恒过点C(2,2)；

圆x2+y2−2x−8=0的圆心为D(1,0)，

kCD=2−02−1=2，13.【答案】7

【解析】解：过点A(0,1)作倾斜角为π3的直线l，

则直线l的方程为y=3x+1，即x=y−13，

联立直线l与抛物线的方程x=y−13x2=4y，化简整理可得，y2−14y+1=014.【答案】2

【解析】解：由题意作图如下，

′

当CP垂直于直线x+y−4=0时，∠APB最大，

|CP|=|−1+1−4|12+1215.【答案】③

【解析】解：对于①，直线x+3y−2=0的斜率为k，倾斜角为α，

则k=1−3=tanα，解得倾斜角为α=5π6，故①错误；

对于②，抛物线20x2=y，即x2=120y的准线方程为y=−180，故②错误；

对于③，∵等差数列{an}中，a1011a1012<−1，∴a1012a1011<0，

∴a1011a1012+1=a1011+a1012a1012<0，

∵{16.【答案】解：(Ⅰ)由已知设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

由已知得F=02+D+E+F=020+4D+2E+F=0，解得D=−8，E=6，F=0【解析】(Ⅰ)设出圆的一般式方程，待定系数法求解；

(Ⅱ)设切线方程为点斜式，再利用圆心到直线的距离为半径列方程求出k，注意验证斜率不存在时的直线是否满足题意．

本题考查待定系数法求圆的标准方程以及圆的切线的求法，属于中档题．

17.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，连接OE，

因为平行四边形ABCD，所以点O为BD的中点，

又E是PD中点，所以OE//PB，

因为OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB//平面AEC．

(Ⅱ)解：由AC=2，∠BAC=90°，BC=13，知AB=BC2−AC2=3，

以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(0,3,0)，C(2,0,0)，D(2,−3,0)，P(0,0,3)，E(1,−32,32)，

所以AC=(2,0,0)，AE=(【解析】(Ⅰ)连接BD，交AC于点O，连接OE，由中位线的性质可知OE//PB，再利用线面平行的判定定理，得证；

(Ⅱ)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面ACE的法向量m，设直线PC与平面ACE所成角为θ，由sinθ=|cos<m，PC>18.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

因为a1=1，b1=2，a4+b4=23，b4=S4，

所以得1+3d+2q3=232q3=4+6d，解得d=2q=2，

所以an=1+2(n−1)=2n−【解析】(Ⅰ)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由已知列方程组求得d，q后可得通项公式；

(Ⅱ)由裂项相消法求得和An可证得不等式成立；

19.【答案】解：(Ⅰ)由已知e=ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，解得a=2b=3c=1，

所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；

(Ⅱ)设D(xD,yD)，

由(Ⅰ)得A(−2,0)，易知S△ADO=12|OA||【解析】(Ⅰ)由已知列出关于a，b，