交通大学概率论与数理统计第二学期期末考试试卷4答案

2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page1of8交通大学2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试一试卷（A卷）一．（此题满分8分）某中学学生期末考试中数学不及格的为11%，语文不及格的为7%，两门课程都不及格的为2%．⑴已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑴已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）．解：设A“某学生数学考试不及格”，B“某学生语文考试不及格”．由题设，PA0.11，PB0.07，PAB0.02．⑴所求概率为PBAPAB0.022．PA0.1111⑵所求概率为PABPABPBPAB0.070.025．PBPB0.077二．（此题满分8分）两台车床加工相同的部件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的部件放在一同，已知第一台车床加工的部件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的部件中随机地拿出一件，发现是不合格品，求这个部件是第二台车床加工的概率．解：设A“任取一个部件是不合格品”，B“任取一个部件是第一台车床加工的”．所求概率为PBA．由Bayes公式得PBPABPBAPBPABPBPAB第1页共8页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page2of810.055．1320.050.031133三．（此题满分8分）设随机变量X的密度函数为xfxCcos0x．02其余⑴求常数C（3分）；⑵现对X独立重复地察看4次，用Y表示察看值大于的次数，求EY2（5分）．3解：⑴由密度函数的性质，fxdx1，得1fxdxCcosxdx2Csinx2C，0220所以，C1．2⑵因为PX3fxdx1cosxdxsinx111．22222333所以，随机变量Y的散布列为1kPYkC4k，k0,1,2,3,4．24所以EY2k2PYkk00211242263244215．1616161616四．（此题满分8分）在正方形Dp,q：p1,q1中任取一点p,q，求使得方程x2pxq0有两个实根的概率．解：设A“方程x2pxq0有两个实根”，所求概率为PA．第2页共8页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page3of8设所取的两个数分别为p与q，则有1p1，1q1．所以该试验的样本空间与二维平面点集Dp,q：1p1,1q1中的点一一对应．随机事件A与二维平面点集DAp,q：p24q0，即与点集DAp,q：p2q4中的点一一对应．p2DA的面积41dp1p3113所以，1p．PA2241224D的面积1五．（此题满分8分）一个工厂生产某种产品的寿命X（单位：年）的密度函数为1x40．fxex4x00该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调动．若工厂售出一个该产品，盈利100元，而调动一个该产品，需花销300元．试求工厂售出一个该产品净盈利的数学希望．解：设Y为工厂售出一个产品的净盈利，则100X1YX1300所以，EY100PY100300PY300100PX1300PX1x1x1001e4dx3001e4dx414011100e43001e411.5203六．（此题满分9分）第3页共8页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page4of8设G是由X轴、Y轴及直线2xy20所围成的三角形地区，二维随机变量X,Y在G内服从均匀散布．求X与Y的有关系数X,Y．解：因为地区G的面积为1，所以X,Y的结合密度函数为fx,y1x,yG0x,y．G22x当0x1时，fXx,dy21x，fxydy0所以，fXx21x0x1．0其余1y2y，当0y2时，fYyfx,ydxdy102y所以，fYy120y2．其余11，EXxfXxdxx21xdx21102332ydy2，EYyfYydyy102311，EX2x2fXxdxx221xdx21103462y2，EY2y2fYydyy21dy0231121，所以，varXEX2EX263182222，varYEY2EY2339第4页共8页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page5of8122x1y222xEXYxyfx,ydxdydxxydyxdx，00020111211，2x1x2dx2x32x2xdx2004326所以，covX,YEXYEXEY1121．633181X,Y

covX,Y181．varXvarY122189七．（此题满分9分）某餐厅每日招待400位顾客，假定每位顾客的花费额（单位：元）听从区间20,100上的均匀散布，并且每位顾客的花费额是互相独立的．试求：⑴该餐厅每日的均匀营业额（3分）；⑴用中心极限制理计算，该餐厅每日的营业额在其均匀营业额的760元之间的概率（6分）．（附：标准正态散布的散布函数x的某些取值：x1.551.601.651.70x0.93940.94520.95050.9554解：⑴设Xi表示第i位顾客的花费额，i1,2,,400．则有X1,X2,,X400互相独立，Xi~U20,100，i1,2,,400．所以，EXi60，varXi8021600．123再设X表示餐厅每日的营业额，则400XXi．i14004004006024000所以，EXEXiEXi（元）．i1i1⑵由独立同散布场合下的中心极限制理，有第5页共8页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page6of8P760X24000760P760X2400076016001600160040040040033376076021.645120.950510.901．1600160040040033八．（此题满分8分）设整体X听从参数为p的几何散布，其散布律为PXkpqk1k1,2,3,．此中0p1是未知参数，q1p．X1,X2,,Xn是取自该整体中的一个样本．试求参数p的极大似然预计量．解：似然函数为LpPX1x1,X2x2,,XnxnPX1x1PX2x2PXnxnnp1px11p1px21p1pxn1pn1pk1xkn所以，lnLpnlnpnxknln1p．k1n所以，dnk1xkn1．所以p的极大似然预计量为p?1．lnLp0，解方程，得pdpp1px九．（此题满分8分）设整体X存在二阶矩，记EX，varX2，X1,X2,,Xn是从该整体中抽取的一个样本，X是其样本均值．求EX（4分）及DX（4分）．解：EX1nXi1nEXi1n1nEni1ni1n，ni11n1n1n2122varXXivarXinvarn222．ni1i1ni1nn第6页共8页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page7of8十．（此题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X和Y，假定X与Y互相独立，都听从参数为5的指数散布，其密度函数为fXx5e5xx0．0x0现第一开动此中一台，当其破坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪破坏为止．令：T：从开始到第二台记录仪破坏时记录仪的总合工作时间，试求随机变量T的概率密度函数．解：X的密度函数为fX5e5xx0x0x，0Y的密度函数为5e5yy0fYy0y0由题意，知TXY，设T的密度函数为fTt，则fTtfXxfYtxdx5e5xfYtxdx0作变换utx，则dudx，当x0时，ut；当x时，u．代入上式，得tfTt5e5tufYudu5e5te5ufYudut当t0时，由fYy0，知fTt0；当t0时，tfTt5e5te5u5e5udu25te5t综上所述，可知随机变量T的密度函数为fTt25te5tt00t．0十一．（此题满分9分）1x设整体X听从指数散布，其概率密度函数为fxex0，X1,X2,,Xn是取自0x0第7页共8页2013-2014学年第二学期概率论与数理统计学期末考试一试卷（A卷）答案Page8of8该整体中的一个样本．⑴求出统计量X1minXi的密度函数f1x，并指出该散布是什么散布？⑵求1in常数a，使得TaminXi为的无偏预计．1in解：1ex①因为整体X的密度函数为fxx0，所以其散布函数为0x0x0x0Fxftdtx．ex10所以X1minXi的密度函数为1inxn1xnx1ef1xn1Fxn1fxnene，x0．即随机变量X1minXi听从参数为的指数散布．1inn②因为随机变量X1minXi听从参数为的指数散布，所以EX1EminXi．1inn1inn所以，若使EX1aEminXia，只要取an即可．1inn即若取an，即TnminXi，则T是未知参数的无偏预计量．1in十二．（此题满分8分）设随机变量X与Y互相独立，并且都听从正态散布N,2．令UXaY，VXbY（a与b都是常数）