反比例函数复习指导邢进文

8.反比例函数复习指导 一、解题指导反比例函数（且k为常数）反映的是两个变量之间的一种反比例关系，反比例函数的性质与其图象、比例系数k密不可分.因此反比例函数的性质是学习反比例函数的重点和难点；同时也是考查反比例函数的核心考点.综观2022年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值.其中反比例函数的图象和性质是考查的重点，反比例函数的几何图形的面积相结合是亮点，对于反比例函数的考查也经常与一次函数或者二次函数相结合，难度相对较小，分数一般在3-6分左右. 1、反比例函数的概念（1）方法要领一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成或y=kx-1（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数.反比例函数的概念需注意以下几点：①k是常数，且k不为零；②中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数.（2）实战演练例2、如果函数为反比例函数，则的值是（）A、B、C、D、解析：由反比例函数的定义可知=-1，解得m=±1,但须考虑≠0，则m=-1.故选A.2、反比例函数的识别（1）方法要领反比例函数的表现形式：①分式型.y=（k≠0，k是常数），在描述时，y是整个分母x的反比例函数.如对y=的描述，可以说y是2x的反比例函数，此时k=3；也可以说y是x的反比例函数，此时k=.对于分式型反比例函数，在描述时，要注意这两种方式.②乘积型.xy=k（k≠0，k是常数），它是分式型的变形式，最大的好处是求k的值方便.③负指数型.y=k（k≠0，k是常数），当函数的表达形式是指数型问题时，经常选择这种形式来解决问题.（2）实战演练例2、下列等式中，哪些是反比例函数（1）（2）（3）xy＝21（4）（5）（6）（7）y＝x＋4解析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式，容易看出，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义所给定的形式．3、反比例函数的图像（1）方法要领反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.画反比例函数的图象时要注意的问题：①画反比例函数图象的方法是描点法；②画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是，因此不能把两个分支连接起来；③由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势.（2）实战演练例3、如图，函数y＝与y＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（）解析：本题考查反比例函数图像与性质的应用，因为一次函数y＝-kx+1与y轴的交点为（0，1），所以结论B和C都要可以排除.A中直线y＝-kx+1经过第一、二、四象限，-k＜0，则k＞0，而k＞0时，双曲线y＝两分支各在第一、三象限，所以结论A可以排除.故选D.4、反比例函数的性质（1）方法要领的变形形式为（常数）所以：①其图象的位置是：当时，x、y同号，图象在第一、三象限；当时，x、y异号，图象在第二、四象限；②若点(m,n)在反比例函数的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；③当时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，在每个象限内，y随x的增大而增大.（2）实战演练例4、当n取什么值时，y＝（n2+2n）x是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每个象限内，y随x的增大而增大或是减小?解析：本题考察反比例函数的定义与性质，根据反比例函数的定义y=（k≠0）.可知，要本题是反比例函数，必须且只须n2+2n≠0且n2+n-1=-1.∴n≠0且n≠-2，n＝0或n＝-1.故当n＝-1时，y＝（n2+2n）x是反比例函数y＝-.∵k＝-1＜0，∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大则增大.5、反比例函数解析式的确定（1）方法要领反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为：（）；②根据已知条件，列出含k的方程；③解出待定系数k的值；④把k值代入函数关系式中.（2）实战演练例5、反比例函数的图象经过A（1，-2），求反比例函数的关系式.解析：设反比例函数的关系式为，把点A（1，-2）代入可得k=-2则所求反比例函数的关系式为.6、用反比例函数解决实际问题反比例函数的应用须注意以下几点：①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题；②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系；③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.例6、某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：x（元）3456y（元）20151210（1）根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？解析：（1）注意两个变量之间的关系；（2）观察数据特点xy=60,可知y与x之间的反比例函数关系；（3）注意销售利润=（销售单价-进价）×销售数量即：w=(x-2)y=(x-2)，则y=60-由于x≤10当x=10时y最大.7、反比例函数（k≠0）中比例系数k的意义（1）方法要领：如图过双曲线上任一点p（x、y）作x轴、y轴垂线段PE、PF所得矩形PEOF的面积S=PE·PF=|y|·|x|=|xy|，∵，∴，∴s=|k|，即反比例函数（k≠0）中的比例系数的k的绝对值表示过双曲线上任意一点，作轴，轴的垂线所得的矩形的面积.同样道理，过双曲线上一点Q向轴或轴引垂线，则.（2）实战演练例7、A、C是函数的图象上的任意两点，过A作x轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S1，RtΔCOD的面积为S2则（）＞S2B．S1<S2C．S1=S2D．S1与S2的大小关系不能确定解析：根据反比例函数中比例系数k的不变性，可以知道根据题意作出的这些三角形的面积都与k的绝对值有关，都等于k的绝对值的一半，所以它们的大小相等，故选C.8、自变量取值范围的确定（1）方法要领一般情况下，自变量x的取值范围是的一切实数，自变量y的取值范围是的一切实数.在实际问题中，应考虑自变量的实际意义，如某三角形的面积是2时，底边长y与该底边上的高x之间的关系式是.在运用函数单调性时，还应注意条件“在每一象限内”.（2）实战演练例8、如图所示，点都是函数图象上的点，且，试比较的大小.解析：此题中点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据反比例函数单调性容易得出.‘8、反比例函数的对称性（1）方法要领①轴对称性：反比例函数的图象是轴对称图形，直线和是它的两条对称轴.②中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是坐标原点，所以若点(a,b)在反比例函数的图象上，则点（－a,－b）也在此图象上.例9、已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点（－2，－1），则它的另一个交点坐标是_________.解析：常规方法是将（－2，－1）代入与求出，，然后联立方程组，再求交点.利用性质可直接写出结果.因为反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，则两交点也关于原点对称，所以另一交点坐标为（2，1）.例10、如图，直线与双曲线交于A（，），B（，）两点，则的值等于____________.解析：本题常规之法是联立得，由韦达定理得：，然后将A、B坐标分别代入再变形求解.上述解法量大且繁也易出错，利用性质可巧解.因为双曲线与直线均关于原点对称，则A、B关于原点对称，则，.又因为，，所以.二、《反比例函数》过关测试（一）选择题：001.002.003.已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，若，则有（）A． B． C． D．答案A004.矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（）答案：B005.反比例函数图象经过点（2，3），则n的值是（）A. B. C.0 D.1解析：反比例函数过点（2，3），，故选D.006.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变。与V在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（）A. B.5kg C. D.7kg解析：由题意知，当V=5时，，，故，故选D.007.反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值是（）A. B.小于的实数 C. D.1解析：由题意，得，故当时，y随x的增大而增大，，因此舍去.故，选C.008.如图，、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，设它们的面积分别是、、，则（）A. B.C. D.解析：根据题意得的面积都等于，故选D.009.已知反比例函数，则这个函数的图象一定经过（）（07浙江丽水）A.(2，1)B.(2，-1)C.(2，4)D.(-，2)解析：设P（a,b）是反比例函数y=（k≠0）图象上的一点，则b=，即k=ab，也就是说，图象上的点的横坐标与纵坐标的积就是反比例函数的系数k，所以，判断点是否在指定的函数图象上，就验证点的坐标的积是否等于指定函数的系数k.在这里，指定函数的系数k=2，在(2，1)中，有2×1=2=k，所以，(2，1)在反比例函数的图象上；在(2，-1)中，有2×（-1）=-2≠k，所以，(2，-1)不在反比例函数的图象上；在(2，4)中，有2×4=8≠k，所以，(2，4)不在反比例函数的图象上；在(-，2)中，有-×2=-1≠k，所以，(-，2)不在反比例函数的图象上；故选A.010.在函数中，自变量x的取值范围是（）。A、x≠0B、x≥2C、x≤2D、x≠2解析：根据反比例函数y=(k≠0)，自变量的取值范围,X-2≠0,得x≠2.故选D.011.根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pv＝k(k为常数，k＞0)，下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）.

pvpvOpvOpvOpvOABCDD

解析：(k>0)，如果不与实际相结合，图象分布在一、三象限，但事实上，自变量的取值范围应为y>0.故选C.012.已知反比例函数的图像上有两点A(，)，B(，)，且，则的值是（）A、正数B、负数C、非正数D、不能确定解析：k＜0,反比例函数图象双曲线两个分支分别位于二、四象限，若A、B两点都在第二或四象限（），由性质可知：＜0;若A点在第二象限，B点在第四象限（），＞0，所以不能确定.（二）填空题：013.已知点是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是____________________________．答案：014.当n取时，y＝（n2+2n）x是反比例函数.答案：n＝-1015.试写出图象位于第二象限与第四象限的一个反比例函数的解析式：_______________.解析：由反比例函数性质知：k<0，可写出许多这样的解析式，如：，等.016.如图，点A是反比例函数图象上一点，自点A作y轴垂线，垂足为T，已知，则此函数的表达式为__________。解析：由反比例性质可得：，，又由反比例性质得k<0，所以，故解析式为.017.函数的图象不经过第___________象限.解析：的图象在第二、四象限内（理由），将的图象向上平移1个单位，即得的图象，由平移可知：的图象不经过第三象限，故填三.018.已知反比例函数的图象经过点P（a+1，4），则a=_____.解析：反比例函数的系数k=-8，反比例函数的图象经过点P（a+1，4），所以，得等式：-8=（a+1）×4，解得：a=-3.019.反比例函数图象上一个点的坐标是．解析：这是一道结论开放型试题，只要满足条件的任一点均可.下面就给出几个答案：A（1，-6）；B（2，-3）C（3，-2）；D（6，-1）E（，-12）…020.反比例函数（k0）在第一象限内的图象如图1所示，P为该图象上任一点，PQ⊥x轴，设△POQ的面积为S，则S与k之间的关系是.解析：设P（x,y）S△POQ=(k0)则021.设P是函数在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点的对称点为P′，过P作PA平行于y轴，过P′作P′A平行于x轴，PA与P′A交于A点，则的面积等于.解析：点P关于原点的对称点为P′，P与P′的横坐标与纵坐标都互为相反数，=，PA=.022.对于函数，当时，y的取值范围是____________.答案：0，1023.右图是反比例函数的图象，则k与0的大小关系是k0.答案：﹥024.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积时，气体的密度也随之改变．与在一定范围内满足＝，它的图象如图所示，则该气体的质量=。答案：观察图象经过的点（5，），求得m=7（三）、解答题025.在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，求的值．解析：由直线向上平移1个单位长度得到直线的表达式是：y=x+1，将A点坐标代入y=x+1，得：a+1=2，所以，a=1，所以，点A的坐标是（1，2），把（1，2）代入反比例函数的表达式，解得：k=2.026.是一个反比例函数图象的一部分，点，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．解析：（1）设，在图象上，，即，，其中；（2）答案不唯一．例如：小明家离学校，每天以的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间．027.我们知道，如果一个三角形的一边长为xcm，这边上的高为ycm，那么它的面积为：S=xycm2，现已知S=10cm2．（1）试填写下表：…1245………2040100100010000（2）从表中可以看出：当x越来越大时，y越来越_____；当y越来越大时，x越来越______；但无论x，y如何变化，它们都必须满足等式______．（3）如果把x看成自变量，则y是x的_____函数；（4）如果