中考数学平行四边形大题培优及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动.(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时，请证明NBMC=90°；(2)如图2,当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在NBMC=90°,若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由;(3)如图3,当b<2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)见解析;(2)存在，理由见解析;(3)不成立.理由如下见解析.【解析】试题分析：(1)由b=2a,点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得NAMB=NDMC=45°,则可求得NBMC=90°；(2)由NBMC=90°,易证得△ABM-△DMC,设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定4>0,即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意;(3)由(2),当b<2a,a>0,b>0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案.试题解析：(1);b=2a,点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a,又:在矩形ABCD中，NA=ND=90°,「.NAMB=NDMC=45°,「.NBMC=90°.(2)存在，理由：若NBMC=90°,则此AMB+NDMC=90°,又「NAMB+NABM=90°,「.NABM=NDMC,又「NA=ND=90°,「.△ABM-△DMC,AMABCD-DMxa设AM=x，则一= ab-x整理得：x2-bx+a2=0,丁b>2a,a>0,b>0,二△=b2-4a2>0,」•方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，•.当b>2a时，存在NBMC=90°,(3)不成立.理由：若NBMC=90°,由(2)可知x2-bx+a2=0,丁b<2a,a>0,b>0,二△=b2-4a2<0,「•方程没有实数根，•・当b<2a时，不存在NBMC=90°,即(2)中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点(不与点B、C重合)，连接DE、点C关于直线DE的对称点为。，连接AC并延长交直线DE于点P,F是A。的中点，连接DF.(1)求NFDP的度数；(2)连接BP,请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；(3)连接AC,若正方形的边长为工'：2，请直接写出△ACC的面积最大值.【答案】(1)45°；(2)BP+DP=J2AP,证明详见解析；(3)<2-1.【解析】【分析】1(1)证明NCDE=NC'DE和NADF=NC1DF,可得NFDP'=—AADC=45；乙(2)作辅助线，构建全等三角形，证明△BA的△DAP(SAS)，得BP=DP,从而得△PAP是等腰直角三角形，可得结论；(3)先作高线C1G，确定△AC。的面积中底边AC为定值2,根据高的大小确定面积的大小，当C在BD上时，C1G最大，其△AC。的面积最大，并求此时的面积.【详解】(1)由对称得：CD=CD,NCDE=NCDE,在正方形ABCD中，AD=CD,NADC=90°,「.AD=CD,丁F是AC的中点，「.DF±AC,NADF=ZCDF,「.NFDP=NFDC+NEDC'=1NADC=45°；2(2)结论：BP+DP=<2AP,理由是：如图，作AP'±AP交PD的延长线于P,「.NPAP1=90°,在正方形ABCD中，DA=BA,NBAD=90°,「.NDAP=NBAP,由(1)可知：NFDP=45°丁NDFP=90°「.NAPD=45°,「.NP=45°,「.AP=AP',在^BAP和^DAP中，<BA=DA・.・</BAP=/DAP,^AP=APp△BAP^△DAP(SAS),「.BP=DP,「•DP+BP=PP1=gAP；(3)如图，过C作CG±AC于G，则SAACC=-AC•CG,RtAABC中，AB=BC=、2,・;AC=v;«2)2+(<2)2=2，即AC为定值，当C1G最大值，△ACC的面积最大，连接BD，交AC于。，当C在BD上时，C'G最大，此时G与。重合，1-CD=CD=<2，OD=~/XC=1乙・•・S△ACC=2AC•CG=2*2（<2T）=栏-1-【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.3.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DELAG于E,BFIIDE,交AG于F.求证：AF=BF+EF.Ar G【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出NBAD为90°,AB=AD,进而得到NBAG与NEAD互余，又DE垂直于AG,得到NEAD与NADE互余，根据同角的余角相等可得出NADE=NBAF,利用AAS可得出△ABFM△DAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE,由AF-AE=EF,等量代换可得证.【详解】「ABCD是正方形，「.AD=AB,NBAD=90°-DE±AG,「.NDEG=NAED=90°「.NADE+NDAE=90°又「NBAF+NDAE=NBAD=90°,「.NADE=NBAF.「BFIIDE,

「.NAFB=NDEG=NAED.在4ABF与4DAE中，'/AFB=/AED</ADE=/BAF,、AD=AB△AB碎△DAE(AAS).「.BF=AE.;AF=AE+EF,「.AF=BF+EF.点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.4.如图，在4.如图，在△ABC中，NACB=90°,NCAB=30°,以线段AB为边向外作等边^ABD,点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB=6,求平行四边形ADBC的面积.【答案】(1)见解析；(2)S平行四边戒言3.【解析】【分析】1BE=$AB,得到1BE=$AB,得到NBCE=NEBC=60°.由(1)在RSABC中，E为AB的中点，则CE=-AB,△AE碎△BEC,得NAFE=NBCE=60°.又ND=60°,得NAFE=ND=60度.所以FCIIBD,又因为NBAD=NABC=60°,所以ADIIBC,即FD〃BC,则四边形BCFD是平行四边形.(2)在RSABC中，求出BC,AC即可解决问题；【详解】解：(1)证明：在^ABC中，NACB=90°,NCAB=30°,「.NABC=60°,在等边△ABD中，NBAD=60°,「.NBAD=NABC=60°,丁E为AB的中点，「.AE=BE,又＜NAEF=NBEC,1 1・•.△AEF^△3£^在4ABC中，NACB=90°,E为AB的中点，「.CE=AB,BE=—AB,2 2「.CE=AE,「.NEAC=NECA=30°,「.NBCE=NEBC=60°,又•「△AE碎△BEC,「.NAFE=NBCE=60°,又.「ND=60°,「.NAFE=ND=60°,「.FCIIBD,X

■:乙BAD=NABC=60°,「.ADIIBC,即FDIIBC,「.四边形BCFD是平行四边形；(2)解：在RtAABC中，:NBAC=30°,AB=6,「.BC=AF=3,AC=3<3,「.S平行四边形=3x3c3=9x;3,Sacf=t7x3x3v3=9*3,s =27'.BCFD △ACF2 2 平行四边形ADBC ?【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.5.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,在RSPFE中，NEPF=90°,点E、F分别在边AD、AB上.(1)如图1,若点P与点O重合：①求证：AF=DE；②若正方形的边长为2、四，当NDOE=15°时，求线段EF的长；(2)如图2,若RSPFE的顶点P在线段OB上移动(不与点O、B重合)，当BD=3BP时，证明：PE=2PF.人 4【答案】(1)①证明见解析，②2<2；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：△AO碎△DOE根据全等三角形的性质证明；②作OG±AB于G,根据余弦的概念求出OF的长，根据勾股定理求值即可；(2)首先过点P作HP±BD交AB于点H,根据相似三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系.【详解】(1)①证明：:四边形ABCD是正方形，「.OA=OD,NOAF=NODE=45°,NAOD=90°,「.NAOE+NDOE=90°,丁NEPF=90°,「.NAOF+NAOE=90°,「.NDOE=NAOF,在^AOF和^DOE中，

叱OAF=/ODEoOA=OD/AOF=ZDOE△AOF^△DOE,「.AF=DE；②解：过点O作OG^AB于G,S1;正方形的边长为2v-3,一1 —•.OG=2BC=<3,..NDOE=15°,△AO碎△DOE,..NAOF=15°,..NFOG=45°-15°=30°,，OF==2,cos/DOG•;ef=off2+oe2=2<2；(2)证明：如图2,过点P作HP±BD交AB于点H,图2则4HPB为等腰直角三角形，NHPD=90°,「.HP=BP,;BD=3BP,「.PD=2BP,「.PD=2HP,又「NHPF+NHPE=90°,NDPE+NHPE=90°,「.NHPF=NDPE,又:NBHP=NEDP=45°,「.△PHFs△PDE,.PFPH_1PE-Pd―2，「.PE=2PF.【点睛】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理.注意准确作出辅助线是解此题的关键.6.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做'友好三角形〃.性质：如果两个三角形是“友好三角形〃，那么这两个三角形的面积相等.理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和^BCD是“友好三角形”，并且'△acd="BCD.应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E在AD上，点F在BC上，AE=BF,AF与BE交于点O.（1）求证:△AOB和^AOE是"友好三角形〃；（2）连接0口，若4AOE和^DOE是“友好三角形〃，求四边形CDOF的面积.探究：在4ABC中，NA=30°,AB=4,点D在线段AB上，连接CD,△ACD和^BCD是“友好三角形〃，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△八（口，若4A'CD与^ABC重合部分的面1【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2」〔【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得^AOE和^AOB是友好三角形；△AOE和^DOE是“友好三角形〃，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形d矩形ABCD-2S.ABF即可求解.探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A'DCB是平行四边形，求出BC和A'D推出NACB=90°,根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ,求出△A'DC的面积.即可求出^ABC的面积.试题解析：（1）:四边形ABCD是矩形，「.ADIIBC,;AE=BF,

••・四边形ABFE是平行四边形，「.OE=OB,・•.△AOE和4AOB是友好三角形.:△AOE和4DOE是友好三角形，1'SAAOE=SADOE，AE=ED=：：AD=3，・•△AOB与4AOE是友好三角形，,S△AOB="AOE，「△AOE^△FOB,,SAAOE-SAFOB,SAAOD-SAABF3图1△ACD解：分为两种情况：①如图1，3图1△ACD解：分为两种情况：①如图1，一，△BCD，1••S四边形CDOF-S矩形ABCD-2SaABF：探究：「SAD=BD=-AB,二.沿CD折叠A和A'重合，,AD=A'D=：'AB=：'x4=2,1「△A,CD与^ABC重合部分的面积等于△ABC面积的I1111,△DOC='△ABC='△BDC='△ADC='△A'DC，,DO=OB,A'O=CO,••・四边形A’DCB是平行四边形，,BC=A'D=2,过B作BM±AC于M,;AB=4,NBAC=30°,,BM=：'AB=2=BC,即C和M重合，「.NACB=90°,由勾股定理得：ac=「 ■ ',△ABC的面积是:'xBCxAC=：：x2x2\J=2.-；S.②如图S.②如图2,△acd=Sabcd1ad=bd=：'ab,•••沿cd折叠a和A'重合，11aD=A'D=：'AB='x4=2,•△A'CD与八ABC重合部分的面积等于△ABC面积的I,SAdoc=Sabc=3bdc=3adc="Saa'dc'...DO=OA'，bo=co，••・四边形a'bdc是平行四边形，A'C=BD=2,过C作CQ±AzD于Q,:A'C=2,NDA'C=NBAC=30°,1CQ=：'a'C=1,」.SAabc=2Saadc=2Saa'dc=2x：-xA'DxCQ=2x：-x2x1=2；即^ABC的面积是2或2、「〔考点：四边形综合题.

1.如图，抛物线「一：'--：.二交x轴的正半轴于点4点B(二，a)在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC,以AB、BC为邻边作MBCD,记点C纵坐标为n,(1)求a的值及点A的坐标；(2)当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；(3)记CD与抛物线的交点为E,连接AE,BE，当△AEB的面积为7时，【答案】(1)‘IA(【答案】(1)‘IA(3,0)；(2)(3)运用(3)运用△AEB的面积为7,列式计算即可得解.试题解析：(1)当‘二时，【解析】试题解析：(1)把点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a的值，令片0即可求出点A的坐标.(2)求出点D的坐标即可求解;由「以二得」“(舍去)，'二；(1分)「.A(3,0)(2)过D作DGL」轴于G,BH，’轴于H.「CDIIAB,CD=AB.(1)问题发现：如图①，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为；(2)深入探究：如图②，在等腰三角形ABC中，BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使NABC=NAMN,AM=MN,连接CN,试探究/ABC与NACN的数量关系，并说明理由；(3)拓展延伸：如图③，在正方形ADBC中，AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF,^N为正方形AMEF的中点，连接CN,若BC=10,CN八‘2,试求EF的长.A图1 圉2 图3 E【答案】(1)NCIIAB；理由见解析；(2)NABC=NACN；理由见解析；(3)2%不；【解析】分析：(1)根据△ABC,△AMN为等边三角形，得到AB=AC,AM=AN且NBAC=NMAN=60°从而得到NBAC-NCAM=NMAN-NCAM,即NBAM=NCAN,证明△BAM^△CAN,即可得到BM=CN.(2)根据△ABC,△AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且NABC=NAMN,根据相似ABAC三角形的性质得到 =)7,利用等腰三角形的性质得到NBAC=NMAN,根据相似三AMAN角形的性质即可得到结论；(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到NABC=NBAC=45°,NMAN=45°,根据BMAB相似三角形的性质得出= ，得至UBM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案.CNAC详解：(1)NCIIAB,理由如下:

:△ABC与公MN是等边三角形，「.AB=AC,AM=AN,NBAC=NMAN-=60°,「.NBAM=NCAN,在^ABM与^ACN中，产二AC</BAM=/CAN,AM=AN「.△ABM^△ACN(SAS),「.NB=NACN=60°,「NANC+NACN+NCAN=NANC+60°+NCAN=180°,「.NANC+NMAN+NBAM=NANC+60°+NCAN=NBAN+NANC=180°,「.CNIIAB；NABC=NACN,理由如下:ABAM;——= =1且NABC=NAMN,BCMN「.△ABC-AAMNABAC「. = AMAN;AB=BC,「•NBAC=—(180°-NABC),2;AM=MN1「•NMAN=—(180°-NAMN),2丁NABC=NAMN,「.NBAC=NMAN,「.NBAM=NCAN,「.△ABM〜△ACN,「.NABC=NACN；(3)如图3,连接AB,AN,丁四边形ADBC,AMEF为正方形，「.NABC=NBAC=45°,NMAN=45°,「.NBAC-NMAC=NMAN-NMAC即NBAM=NCAN,ABAMBCANABAMBCANAB=ACAMA「.△ABM-AACN

BM=ABCACCNBMCNBMAC=cos45°;豆AB 2.<2v,2… =BM2「.BM=2,「.CM=BC-BM=8,在RtAAMC,AM=、；AC2+MC2=;102+82:2<41，EF=AM=2、/4T.n 且图3E点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.9.已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE±PB,PE交射线DC于点E,过点E作EF±AC,垂足为点F.（1）当点E落在线段CD上时（如图），①求证：PB=PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.A D

能，试说明理由.A D【答案】（1）①证明见解析；②点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为牙；（2）画图见解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）①过点P作PG±BC于G，过点P作PH±DC于H，如图1.要证PB=PE,只需证到△PGBM△PHE即可；②连接BD,如图2.易证△BOPM△PFE,则有BO=PF,只需求出BO的长即可.（2）根据条件即可画出符合要求的图形，同理可得（1）中的结论仍然成立.（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长.详解：（1）①证明：过点P作PG±BC于G,过点P作PH±DC于H,如图1.月 D图1丁四边形ABCD是正方形，PG±BC,PH±DC,「.NGPC=NACB=NACD=NHPC=45°.「.PG=PH,NGPH=NPGB=NPHE=90°.;PE±PB即/BPE=90°,「.NBPG=90°-NGPE=NEPH.在^PGB和^PHE中，'/PGB=ZPHEPG=PH ,/BPG=/EPH△PGB^△PHE(ASA),「.PB=PE.②连接BD,如图2.图2丁四边形ABCD是正方形，「.NBOP=90°.;PE±PB即/BPE=90°,

」.乙PBO=90°-乙BPO=NEPF.;EF±PC即NPFE=90°,「.NBOP=NPFE.在^BOP和^PFE中，'/PBO=/EPF/BOP=/PFEPB=PE△BOP^△PFE(AAS),「.BO=PF.丁四边形ABCD是正方形，「.OB=OC,NBOC=90°,「•BC=%；2OB.;BC=1,「.OB=与・•.PF==2・・•点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为三2.2(2)当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示.同理可得：PB=PE,PF=——.(3)①若点E在线段DC上，如图1.丁NBPE=NBCE=90°,,NPBC+NPEC=180°.

丁NPBC<90°,「.NPEC>90°.若^PEC为等腰三角形，则EP=EC.「.NEPC=NECP=45°,「.NPEC=90°,与NPEC>90°矛盾，「•当点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形.若^PEC是等腰三角形，丁NPCE=135°,「.CP=CE,「.NCPE=NCEP=22.5°.「.NAPB=180°-90°-22.5°=67.5°.丁NPRC=90°+NPBR=90°+NCER,「.NPBR=NCER=22.5°,「.NABP=67.5°,「.NABP=NAPB.「.AP=AB=1.「•AP的长为1.点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键.10.（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短.小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决.问题1：如图1,在RSABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点，以PB,PA为边构造AP□APBQ,求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值.(1)在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为—，当PQ最小时AP^(2)小明对问题1做了简单的变式思考.如图3,P为AB边上的一动点，延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE,PC为边作“CQE,试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小AP时二三的值；问题2：在四边形ABCD中，ADIIBC,AB±BC,AD=1,AB=2,BC=3.(1)如图4,若'为i上任意一点，以P",P’为边作□；；!『〔试求对角线长的最小值AP和PQ最小时-三的值.