函数与导数小题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））（解析）

函数与导数小题(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模))

一、单选题

1.已知集合A={x|log2X<l},B={-1,0,1,2},则()

A.{1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

【答案】A

【分析】

首先根据对数不等式的解法求得集合A,再根据交集运算即可求得结果.

【详解】

A={x|log2x<1}={x|0<x<2},而8={-1,0,1,2},

AAAB={1}.

故选：A.

2.函数〃x)=ak|++(aeR)的图象不可熊是().

【答案】D

【分析】

根据所给函数性质，分a=0,。＜0以及a＞0进行讨论即可得解.

【详解】

根据反比例函数的性质，占的间断点为

当a=0时，/（%）=一、，则B正确;

X—1

当々＜0时，X-—8时/（X）fYO,X—＞用时/。）--co,则A正确;

当々＞0时，X-Y时/（X）f+8,X—400时/（尤）-»+8,则C正确;

D选项的图像不符题意,

故选：D.

3.函数〃x）=c°s（x-2）+e*（°是自然对数的底数，6^2.71828…）的图象可能是（）

【答案】A

【分析】

先判断0<x<l时，f(x)的符号，可排除BC；再取特殊值，可排除D,从而可得出结果.

【详解】

当0<x<l时，cos(x-2)>0,d>0,父-1<0,则/(x)=cos(i；2：+e'故排除

BC选项；

当x=2—万<一1时，cos(2-万-2)=cos乃=-1,(2-万「一1>0,

—[+e2y

则/(2—万)=<0,故排除D,选A.

(2-乃)2-1

故选：A.

【点睛】

思路点睛：

函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象

4.若函数f(x)=x+--l在(0,2)上有两个不同的零点，贝"的取值范围是()

X

A.[-2,：]B.(-2,；)

C.[0,/D.(。,；)

【答案】D

【分析】

将零点问题转化为方程问题，再运用数形结合的方法解决即可.

【详解】

函数/(x)=x+4-1在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程x+巴-1=0在(0,2)上有两

XX

个不同的解，

即a=-/+x在(0,2)上有两个不同的解.

此问题等价于与y=-f+x(0<x<2)有两个不同的交点.

由下图可得0<a<L

4

故选：D.

2

5.已知〃刈二%一2》，对任意的』，x2e[0,3],方程|/(x)_/(xJ+V(x)_"x2)|=，“

在[0,3]上有解，则，w的取值范围是()

A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}

【答案】D

【分析】

对任意的为，为40,3].方程|/（x）—〃5）|+|〃司一/5）卜加在[0,3]上有解，不妨取

取/（芭）=-1,/（々）=3,方程有解机只能取4,则排除其他答案.

【详解】

/（X）=（X-1）2-1,xe[0,3],则/'（x）min=T,/（x）„MX=3.

要对任意的占，占《（），3].方程|/（》）一/缶）|+|/（另一/（々）|=a在[0,3]上都有解，

取”内）=-1，"々）=3,

此时,任意一[0,3],都有m=|.f（x）-f（xj|+|〃x）-〃々）|=4,

其他机的取值，方程均无解，则机的取值范围是{4}.

故选：D.

【点睛】

已知恒成立、恒有解求参数范围的选择题，借助特值法解更迅捷.

函数/(©=碧；在区间［-乃，句上的图象大致为(

6.

【答案】A

【分析】

利用函数的奇偶性，排除两个选项,再利用函数在(0,7)上的值的正负得解.

【详解】

sin(-x)

Tx/(-x)==-f(x)，则〃x)是奇函数，选项C,D是

2T+2«*2'+2'A

不正确的:

0—<兀时，2、2T>0,sinx>0,即/(x)>0,选项B是不正确的，选项A符合要求.

故选：A

7.已知函数〃灯=m+/2+6+",且"2019)=2019,42020)=2020,

“2021)=2021,贝!|/(2022)=()

A.2028B.2026C.2024D.2022

【答案】A

【分析】

令g(x)=/(x)—x,根据题中条件，得至iJg(2019)=g(2020)=g(2021)=0,从而可得

g(x)的解析式，求出g(2022),即可得出结果.

【详解】

令g（x）=〃x）-X,

由题意可得，g（2019）=g（2020）=g（2021）=0,

因为8(*)=/(力-彳=丁+凉+(<?-1户+4为三次函数，而三次函数最多有三个零点,

所以g(x)=(x_2019)(x_2020)(x_2021),

则g(2022)=(2022-2019)(2022-2020)(2022-2021)=6=/(2022)-2022,

所以“2022)=2028.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于根据题中条件得到2019,2020,2021为函数g(x)=〃x)-x的三个

零点，确定函数解析式，即可求解.

8.函数y=Vsin|x|的图像可能是()

【答案】C

【分析】

由函数的奇偶性排除两个选项，再用x=5的函数值正负即可得解.

【详解】

令f(x)=y=x2sin|x|,xeR,则f(-x)=(-x)?sin|-x|=Vsin|x|=/(x),原函数是偶

函数，选项B,D不正确；

__2

又/(9=《外出号|=?>0,则选项A不正确，选项C满足条件.

故选：C

9.函数〃》)=(」；+—二185》的图象可能是()

VX-1x+ly

【答案】c

【分析】

根据函数奇偶性及函数在区间范围内的取值，判断函数图像.

【详解】

由/(->)=£+击卜。5=-占+击cos—/⑸知，

函数/(X)为奇函数，又f(x)=(」7+」7]cosx=-^；cosx,

'/\x-\x+1)x-\

2x

当x£(0,l)时，—-——<0,cosx>0=>/(x)<0.

x--l

故选：C.

10.函数f(x)=(x2—x)cosx的图象可能是()

【答案】A

【分析】

由函数/(X)图象与X轴交点情况，可以排除两个选项，由区间(0,1)上函数/(X)值的

正负即可得解.

【详解】

g|/(x)=(x2-x)cosx,而/⑴=0,/(-9=0,即“X)图象在原点左右两侧与X轴都

有交点，即选项c,D都不正确;

xw(O,l)时，x2-x=x(x-l)<0,cosx>0,即B选项不正确，A选项符合.

故选：A

【答案】B

【分析】

利用特殊值代入的方法排除CD,当x>。时，求出/(2)-〃1),/(e)-/(2),比较变化

情况排除选项A,即可得出结果.

【详解】

因为/(x)=】n|x|-x+—,

x

由/'(ejMl-e+lvO,排除CD；

当x>0时,

f(x)=\nx-x+—,

x

13

/(2)=ln2-2+-=ln2-1,

又In2ao.6931ao.7,

则/(2)=In2-|[-0.8,

/(2)-/(l)«-0.8；

/(e)=l—e+-®-1.35,

/(e)-/(2)«-0.55,

选项A在(I,+8)减的越来越快，不符合题意；

故选：B.

【点睛】

方法点睛：本题考查函数图象的识别，此类问题一般利用特殊值代入，根据函数的奇偶

性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别.

12.若定义在R上的函数/(x)对任意的a/eR,均有则称函

数f(x)具有性质P.现给出如下函数：(l)/(x)=2x-1；(2)/(力=V(3)/")=卜山小

(4)〃x)=2'.则上述函数中具有性质P的函数有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】

对(1)(3)进行验证证明；对(2)(4)举反例，即可得到答案；

【详解】

对⑴，13+力=2(a+b)-l,f(a)+f(b)=2(a+b)-2,显然/(a+A)4/(a)+/(b)不

成立，故(1)错误；

对(2),令。=6=3,则f(a+0)=f(6)=36,/(a)+/(6)=2x/(3)=2x9=18,

故(2)错误；

对(3),Isin(a+b)Hsina-cosb+cosa-sinsina•cosb\+\cosa-sinZ?|

=|sinizH|cosZ?|+1cosd!|-|sin/?|<|sin6?|+1sin/?|,故(3)正确;

对(4),a=b=2,/(«+/>)=24=16,f(a)+f(b)=22+22=8,故(4)错误;

故选：A.

13.函数f(x)=ln|x+l卜V-2x的图象大致为()

【答案】D

【分析】

易知“X)的图象是由函数g(x)=lnW-f+l的图象向左平移一个单位长度得到，然后

利用g(x)=lnW-V+1的奇偶性和极值求解.

【详解】

因为/(x)=ln|x+l|-x2-2x=ln|x+l|-(x+l)2+l,

所以f(x)的图象是由函数g(x)=ln|X-f+l的图象向左平移一个单位长度得到，

因为8(*)=1"国-1+1为偶函数,

故"X)的图象关于直线x=-l对称.

又x>0时，g(x)=lnx-x2+l,g<x)=L-2xJ二2”,

XX

所以在(0,日)上，g'(x)>0,在(孝,+8[二，g<x)<0,

所以g(X)在(0,+8)存在极值点，

所以/(X)在(T,+°o)上存在极值点.

综上可知，只有选项。符合条件.

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题关键是对函数f(x)的变形，得到与g(x)=l巾|一丁+1的图象关系而

得解.

14.设“eR,函数〃"=卜二"'转°八，若函数.'/[/⑴]恰有3个零点，则实数。

-X4-dX,X<0

的取值范围为().

A.(-2,0)B.(0,1)C.[-1,0)D.(0,2)

【答案】A

【分析】

时，画出函数图象，可得y=f卜(力]有彳=0和x=2两个零点；当a<0,画出函

数图象，数形结合可得要使y=/[/(x)]有3个零点，需满足x<0时，/(x)nMX<l.

【详解】

当时，的大致图象如图1,此时令/[〃x)]=0,可得/(x)=l,观察图象可

解得x=0或x=2,即方程有2个根，则此时y=f[〃x)]只有2个零点，不合题意；

当"0时，/(x)的大致图象如图2,此时令/|y(x)]=O,可得〃x)=l或/(x)=a,

由图易知/(x)=。恰有一根，则需满足〃x)=l有两根，而x=0和x=2均为/(x)=l的

根，

则需满足x<0时，〃X)四<1,

又X<0时,公)一+"的对称轴为x=?则金卜，解得-2<a<2,

则一2<"0,

综上，。的取值范围为(-2,0).

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查根据分段函数零点个数求参数范围，解题的关键是画出函数图象,

数形结合即可进行判断求解.

【答案】B

【分析】

分析函数/（X）的定义域、函数值符号以及该函数在（0,+8）上的单调性，结合排除法可

得出合适的选项.

【详解】

函数/"）=黄、的定义域为R,对任意的xeR，/（》）=黄，20,排除CD选项,

x[(4-x)ev+8]

令g(x)=(4-x)e'+8,贝|Jg'(x)=(3-x)e',

当0<x<3时，g<x）>0,此时函数g（x）单调递增,

当x>3时，g'（x）<0,此时函数g（x）单调递减.

所以，^Wmax=^(3)=8+e2>0,vg(o)=12>o,当0<x<3时,g(x)>0,

•.•g(5)=8-eS<0,所以，存在%e(3,5),

使得当0<x<5时,g（x）>0,/'（力>0,此时函数〃x）单调递增；

当x>x。时，g（x）<0,r（x）<0-此时函数/（x）单调递减，排除A选项.

故选：B.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

（2）从函数的值域，判断图象的上下位置.

（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性：

（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.

16.已知函数/（X）的大致图象如下，下列选项中，为自然对数的底数，则函数/（X）的

解析式可能为()

【答案】D

【分析】

分析各选项中函数的奇偶性，结合特殊值法可得出合适的选项.

【详解】

由图可知，函数f(x)为奇函数.

对于A选项，函数=5■的定义域为R,〃r)=三=

V

函数〃x)=，■不是奇函数，排除A选项；

对于B选项，函数f(x)=?的定义域为R,/(—)=宁。-?=一"同，

v--L1

函数〃力=妥不是奇函数，排除B选项；

对于C选项，由k-"”0可得"0,即函数〃到=577的定义域为k|"。｝,

07?

/(-)=/，=—/(X)，函数=为奇函数，f(2)=4F<L

C选项不满足要求；

对于D选项，由e'-e-'O可得XN0，即函数/(*)=宁11的定义域为卜,羊。｝,

f（T）=?<=一〃力，函数/（》）=£/为奇函数，

当x>0时，〃#=三上二>1,满足题意.

e-e

故选：D.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

（2）从函数的值域，判断图象的上下位置.

（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.

17.已知。，2R+,。是函数y=/必和函数y=x+l交点的横坐标，b是函数二/整

和函数y=x+3a交点的横坐标，则（）

A.a>bB.a<bC.a-bD.ab-l

【答案】A

【分析】

根据题意先判断出。>1力>1,利用式子结构，构造函数/（6二/期一为（工>1）,利用

导数研究单调性，从而比较人的大小.

【详解】

是函数y=f°2i和函数y=x+l交点的横坐标，匕是函数丫=/82和函数y=x+3。交

点的横坐标，

./产=a+l①

''[b4M2=b+3a②，

由0>0,4初|="+1>1,可得：a>i.

由b>0,产=b+3a>3a>3t

将①平方得：

am2=a2+2a+\®廿…曾成”十力［⑤

'严2=b+3a④，父形为：［b^-b^a⑥

⑤-⑥得：

a4O42-a-(Z>4O42-^)=(a-l)2>0(当且仅当a=l时取等号).

设函数"X)=产?—x,(x>1)，则/'(x)=4042/*'—1,

当x>l时，都有了'(万六期2%404―〉。，

所以f(x)=x4(M2-x在(1,+»)上单增，

因为产-(产-b)>0,BP/(a)>/(*),所以a>b.

故选：A

【点睛】

利用单调性比较大小：

(1)指、对数构造函数比较大小；

(2)抽象(复合)函数利用单调性比较大小：

(3)利用同构结构，构造新函数比较大小.

【答案】B

【分析】

确定奇偶性排除两个选项，再由零点个数排除一个选项，得正确结论.

【详解】

函数定义域是WxxO},

f(-x)==一^^=-/*)，函数奇函数，排除CD

-xe^xe1

又由/。)=0得x=±&，只有两个零点，排除A.

故选：B.

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

19.若公比为g的无穷等比数列｛a,,｝满足：对任意正整数i,j”j,都存在正整数3

使得％=4•%，则（）

A.%有最大值1B.4有最大值2C.4有最小值1D.4有最小值2

【答案】B

【分析】

由题得4=g严，得到4<（g）i,即得解.

【详解】

因为4=4吗，

所以qx（1/-'=67,x（g）ixqx（1）>-',

所以4=（g严i"，

因为对于任意正整数。都存在正整数出,使得4=4•勺，

所以44g严i2）=（夕-2,

因为

所以为有最大值（g产=2.

故选：B

【点睛】

方法点睛：最值问题的求解常用的解法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法;

（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

20.函数〃x）=7^jsin］彳J的图象大致为（）

【答案】B

【分析】

先求函数定义域为R排除A选项，再求函数的奇偶性排除CD即可得答案.

【详解】

由题可知，函数的定义域为R,故排除A选项，

因为〃一土木1"-川=黑"周=仆)，

所以函数"x)=-^，sin(g)为偶函数，图像关于丁轴对称，故排除CD选项,

x+1\2J

故选：B

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势:

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

21.若正实数〃，，满足噫尢=22-六，则()

A.a>2bB.a<2hC.b>2aD.b<2a

【答案】B

【分析】

构造函数f(x)=log,x1，根据其在xe(0,xo)上单调递增，将条件变成函数值关系,

K+1

从而求得自变量大小关系.

【详解】

由复合函数单调性知，/(x)=log,x——二，在X€(0,«»)上单调递增，

X+1

则/(a)=log,a---，/(2Z?)=log,2b--^--=21og4b--^—+l,

a+12Z?+12b+l

又log,a--?—=21og4b-—-

a+\2h+\

因此/(a)<f(2。)，则a<2b

故选：B

【点睛】

关键点点睛：将条件变成函数/(x)=log2X-一二的两个变量的大小比较，则只需判断

出函数单调性即可.

22.设f(x)是定义在R上的奇函数,满足"2r)=〃x),数列a｝满足4=-在且

%=(1+；卜”+：(〃0)则/(%)=()

A.0B.-1C.21D.22

【答案】A

【分析】

根据题意变形可得七=%+一式，根据累加法求出S=〃-2,〃x)是定义隹Rk

的奇函数，满足〃2-x)=〃x),所以/W=-f(x—2)=/(x-4),所以周期7=4,

所以/(%)=/(20)=/(0)即可得解.

【详解】

由g+i=(1+：)"〃+"|(〃eN*)

可得%L=%+_1_,

n+1n//(«+1)

通过累加法可得：—=—+2(l-^-+^--^+L+^——■-)=-1+2--=1--

n1223n-\nnn

所以q=〃-2,所以生2=20,

〃x)是定义在R上的奇函数，满足〃2-x)=〃x),

所以f(x)=—/(x-2)=/(x-4),

所以周期T=4,

由/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,

/(%)=/(20)=/(0)=0,

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用累加法求数列通项，考查了裂项相消法，同时考查了利用函数对称性求

周期，有一定的计算量，属于中档题.

本题的关键点有：

（1）累加法求通项；

（2）裂项相消法求和；

（3）函数利用对称性求周期.

23.“关于x的方程时（mwR）有解”的一个必要不充分条件是（）

A.me[-2,2]B.机五]C.nze[-l,l]D.me[1,2]

【答案】A

【分析】

数形结合，探讨出“关于x的方程5^=卜一时（meR）有解”的充要条件，再由必要不

充分条件的意义即可得解.

【详解】

关于x的方程=-司（机€/?）有解，

等价于函数y=>/i二了与y=|x-m|的图象有公共点，

函数y=JG7的图象是以原点为圆心，

1为半径的上半圆，,y=|x-m|的图象是以点（〃?，0）为端点，

斜率为±1且在x轴上方的两条射线，如图：

y^=x-m与半圆y=\!\-x2相切时，点(HZ，0)在3处,

m=-72，产-x+m与半圆y=J1-d相切时,点(〃?，0)在A处，m=®,

当尸上列的图象的顶点(皿0)在线段A3上移动时，两个函数图象均有公共点，

所以“关于X的方程忘了=|x-m|(meR)有解”的充要条件是me[-N/2,夜],B不正确;

因me[-夜,0]=＞，"e[-2,2],/MG[-2,2]^,

即机e[-2,2]是mw[-V2,的必要不充分条件，A正确；

=/ne[-1,1],

即机是%e[-夜，&]的充分不必要条件，C不正确；

me[1,2]＜,me卜夜,夜],we[-夜,0]＜,we[1,2],

即加4,2]是me卜应,0]的不充分不必要条件，C不正确.

故选:A.

【点睛】

关键点睛：含参数的方程有解的问题，把方程转化为易于作图的函数，借助图象是解题

的关键.

24.已知数列｛%｝满足：0＜《＜g,e…+4=2,贝||().

C.万<。2021<1D.0<<2202|<—

【答案】C

【分析】

两边取对数得=%+ln(2),构造函数f(x)=x+ln(2-x),xe(0,2),利用导数判

断函数的单调性，可得/<1.结合/(X)的单调性和数列｛4｝的递推式可得

0cq<…〈为<…<1，可得出选项.

【详解】

由0<4<(,6%-"”+4=2得6"”“一=2—%(2—4>0),两边取对数

《用一《=In(2-4J,即4用=a„+ln(2-«„),

令/(x)=x+ln(2-x)(0<x<2),

由/'(x)=l-J—=”三>0可得/(x)在(0,1)上单调递增，

由/'(x)<0可得〃力在(1,2)单调递减，且〃x)4/⑴=1,

可得a.41,乂f(l)=l恒成立，若4=1,则数列｛4｝为常数列，不满足0<q<g,

所以4<1，且f(O)=ln2>ln〃=g,4=/(q)>/(O)>g>q,

a

则％=/(/)>/(4)=，，4=f(a｝)>f(a2)=a3,依些递推，

得0<4<3<4</<…<q“<…<1,

所以万<。2021V1>

故选：C.

【点睛】

本题考查了数列和导数的综合问题，关键点是利用导数判断函数的单调性，同时考查了

学生转化问题的能力和计算能力，属于难题.

25.已知函数“司=m'一已》3-6-2(“>0),若函数y=〃x)与y=有相同

的最小值，则。的最大值为().

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.

【详解】

根据题意，求导可得，f'^=ae'-^x2-a（a＞0）,

在R上单调递增，

又•当x=o时，r（o）=o

...当》＜0时一，盟x）＜0,即函数/（X）在（-?,0）上单调递减，

当x＞0时,用勾＞0,即函数在（0,+?）上单调递增，

故有八项加=f（O）=a-2,即得〃耳«4-2,+00）,

所以根据题意，若使/（/（力%=。-2,需使〃x）的值域中包含［0,内），

即得。一240=。42,

故。的最大值为2.

故选：B.

【点睛】

求函数最值和值域的常用方法：

（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值：

（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不

等式求出最值；

（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值;

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最

值.

26.已知awR,实数X，)'满足丫=加+lnx,则()

A.当。>0时，存在实数〃，使得以+y-6既有最大值，又有最小值

B.当。>0时，对于任意的实数b,|x+y-切有最大值，无最小值

C.当〃<0时，存在实数匕，使得lx+y一切既有最大值，又有最小值

D.当。<0时，对于任意的实数〃，ix+y-切无最大值，有最小值

【答案】D

【分析】

观察选项，实质上是研究函数g(x)=or2+inx+x-b,然后利用导数研究函数的单调性

来确定最值即可得到答案.

【详解】

因为y=ax1+Inx,

则|》+?一匕|=|依2+lnx+x-/?|,

令g(x)二奴?+lnx+x-b,贝！］g，(x)=2or+1+l,

x

①a>0时，g'(x)>0,故g(x)在(0,+oo)是单调递增，

所以lg(x)l不可能有最大值，因此选项A,B均不正确；

②”<0时，设/7(x)=g'(x),"(x)=2a--y<0,

所以g'(x)在(0,+8)上单调递减，

而x->0时，g'(x)>0,Xf+oo时，g'(x)<0,

所以g'(x)在(0,”)上有唯一的零点，即有唯一的x°w(0,+8)使短(即)=0成立,

所以可知xe(O,x°)时，g(x)单调递增，xe(x°,+8)时，g(x)单调递减.

所以g(x)有最小值而无最大值.

故选：D.

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键，一是要分类讨论，二是在时，要二次求导才能确定原

函数的单调性.

-若对任意的实数FT。，

都有f（x）在区间（7,行）上至少存在两个零点，则（）

A.0<a<l,且0<EB.a>i,且0<E

C.0<«<1,且％31D.a>\,且N1

【答案】B

【分析】

首先分别求出每一段的零点，再对，进行分类讨论，根据己知建立不等式组，进

而求得结果.

【详解】

八乃=九,,>

[kx+k-l,x>t

若V-QX=o,则x=0或％=±6，

若依+4-1=0,则％=5-1；

K

①当0K/V1时，x=0与一定是函数的零点，满足题意；

②当一1<，<0时，可能的零点是*=-&与x=!-l,

K

因为至少存在两个零点，

-\[a<ta>t2

所以，1n<

——\>t、卜〜

、k

a>\

而一IvfvO,所以

0<^<l

故选：B.

【点睛】

函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令40=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点；

(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间,，句上是连续不断的曲线，且加)：皱)

<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交

点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

28.已知函数及其导数/'(x)满足对'Ix)+/(x)=^(x>0),“2)=1,对满足

的任意正数，J〃都有/(2")<!+《，则x的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(«,1)D.(1，+8)

【答案】C

【分析】

根据题意记g(x)=虫刈，则g，(x)=>0)，〃X)=个，进而尸⑴=滔一f(x),

再记〃(x)=e—g(x)，进而得/“x)=7>，研究最值即可得/(X)在X«O,田)单调

递增，进而将问题转化为，由基本不等式得，•+*2],故进一步

将问题转化为/(2r)</(2)再结合函数的单调性即可得2*<2，解得x<l.

【详解】

4

*/ab=-a>0,Z?>0,

ef

••+占之=2二=—,当且仅当。-b--j=时等号成立;

a2b2\a2b2ab2&

:矿(x)+〃x)=/(x>0)，

[V(^)]'=-^-=-y(x>0),

记g(x)=v(x),则屋(x)=C(x>o)，

.•・外力呼，广⑺=%'（x）；g（x）e"g(x),

X2

£

记〃(x)=g2_g(x)，〃'(x)=；e2_g，(x)=；e2--=^^e2，

・・・当x«0,2）时，3（尢）＜0,无（力单调递减;

当xw（2,+oo）时,/?'（x）＞0,/z（x）单调递增.

•••〃（x）min=〃（2）=e—g（2）=e—242）=e—2xA（），

00

,*•h^x）=e^-g（x）＞0在％《（a+）恒成乂，

.•.1（力="20在xe（O,小»）恒成立，

.•./（力在》«0,+8）单调递增，

对满足必=：的任意正数。，b都有/（2、）＜,+/,

•­/"GHL「一⑵

2*＜2，解得x＜l.

•••X的取值范围是（-8,1）

故选：C

【点睛】

本题考查利用求导的运算法则逆向构造函数，考查」'基本不等式的应用，考查运算求解

能力，化归转化思想等，是难题.本题解题的关键在于构造函数记g（x）=4（x）,则

“x）=qig,（x）=£i（x＞0）,进而研究函数f（x）的单调性，通过单调性求解不等式.

29.已知定义在(0,y)上的函数f(x)为减函数，对任意的xe(O,心)，均有

/(x)./pW+^]=p则函数g(x)=〃x)+3x的最小值是()

A.2B.5D.3

【答案】D

【分析】

根据题意x由"》)+；_带入/(力4/(x)+^-|=i可得：

2x\2.x)4

/\

3f[f(x)+3^-]+------3--=-1整理化简可得8f尸(外一24。)-3=0,

2K2x2"(x)+；]4

\2x7

解方程求得函数解析式，再结合基本不等式即可得解.

【详解】

由任意的xe(0,+oo),均有+(

3

x由“x)+手■带入可得：

333

“。)+三]+3-

2"。)+为4

2x/

所以/(x)•./(“X)+=/"(x)+•/f[fM+^-]+——

ILx)2AZX2[/(x)+—]

\2x7

所以f/[/«+—3]+——3f-

2x2"(力+白]

k2x)

33

由/(X)为减函数，所以工]+3)

4/⑺十hJ

2x

333

所以/W)+象2"(X)+注3=2献3+五]

333

即2/(x).f[f(x)+-]+--f[f(x)+--]+3=2W)+3

2xx2x

由/⑴币⑴+鼾;，

j_

所以_L+?._i=2好(X)，

2xf(x)

化简整理可得8x"2(x)_24(x)-3=0,

所以/(幻=33■或/。)=-3三，

4x2x

由g。)为减函数所以/(%)=；3,

4%

故当x>0时，

g(x)=f(x)+3x=-^-+3x>2Jg=3，

4xV4

当且仅当X=；时，等号成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查了求函数解析式，考查了单调性求解过程中的应用，考查了较高的计算能力,

属于较难题.本题的关键点有：

(1)带入化简，把■带入+=J在利用原式进行化简，是本

2x\2xJ4

题的关键；

(2)掌握利用基本不等式求最值.

30.如图，在正方体ABCD-EFG〃中，尸在棱8c上，BP=x,平行于80的直线/在

正方形EFG”内，点E到直线/的距离记为“，记二面角为A-/-P为。，已知初始状

态下x=0,d=0,贝)!()

A.当x增大时，。先增大后减小B.当X增大时，6先减小后增大

C.当d增大时，。先增大后减小D.当〃增大时，。先减小后增大

【答案】C

【分析】

由题设，以尸为原点，EB,FG,FE为x,%z轴建立空间直角坐标系，求出面AMN的法

巨域2d+2近

,irr，

CSW，____2

向量而与面PMN的法向量为工的夹角°\"对于

府^•卜+华2、；

AB,令"=0,则cos6>=分析函数单调性，结合余弦函数性质判断；对

于CD,令x=0时，化简整理得到,利用导数判断

进而判断余弦函数的单调性，进而得解.

【详解】

由题设，以尸为原点，尸B,fG,尸E为x,y,z轴建立空间宜角坐标系,

设正方体的棱长为2,则P(2,x,0),A(2,0,2),

设直线/与交于M,N,则M（0,0,2-岳），N（O,0d,2）

UUllLUIRULUUUUUU

则AW=(-2,0,-Vid)，yW=(-2,V2J,0).W=(0,V2J,V2J)-PM=(-2,-x,2-yl2d)

设平面AMN的法向量为m=（a也c）,

-2a-yjldc=0

m-AM=0令4=1,则。=(d,0,-四)

fn-AN^O'"[-2a+>/2db=0'

设平面PMV的法向量为；?=（e,£g）,又

n-PM=0(-2e-xf+(2->/2d)g=0

«,,,<令f=l,则；=(T+

-n-MN=0'"[y/2df+y/2dg=0

irr-x+肥d-2d+2近

m-n2

利用空间向量夹角公式得，/而用=

c°sW"\2

-x+\p2,d—2

+2

27

A/"^

cos6=cos(m,n)==

对于AB,令d=0,则'/2

+2

8

显然函数丫=E另在x>°时为减函数’即cos。减小，则。增大，故AB错误;

对于CD,当x=0时，则ss"8ss广

*5\2

"V2J-2

dd，+4•+2

7

(d-⑹d+4(d-⑹2屋+8〃(d-@+i6

亚血)2

\ld2+4-J"-)+4]d+4(d-&)+16

22

4(J-V2)+J—8d(d—5/2j

1-------

](d-0)力+41d-塔|+/+16

令丫=+4,

求导:/=2d（4_&）~+4+2（/+4）（［_垃）=2（储_&+4）（24-a）

Q储-岛+4>0，令"0,得〃=也

2

故当o<d<@时，y<o,函数单减，即cos。单减，。增大；当］>立时，y>o,

22

函数单增，即COS。单增，。减小；故当d增大时，。先增大后减小

故选：C

【点睛】

方法点睛：本题考查面面角的求法，利用导数判断函数的单调性，即余弦函数的性质,

利用空间向量求立体几何常考查的夹角:

设直线/,根的方向向量分别为£石，平面a,£的法向量分别为5,K则

a-b

①两直线/,，〃所成的角为。（O<e4^）,cos9=

沛

rra-u

②直线/与平面a所成的角为。（04。工5）闾口6=