北京市2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

北京市2020年高二数学上学期期中考试卷（一）

（理科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选建题（共10小题，每小题5分，共50分）

1.直线x+Vsy-8=0的倾斜角是（）

2.圆x2+y2-4x=0的圆心坐标和半径分别为（）

A.（0,2）,2B.（2,0）,4C.（-2,0）,2D.（2,0）,2

3.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）

A.2nB.4nC.8nD.16R

4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

12

A.4B.4C.1D.2

33

5.关于直线1,m及平面a,（3,下列命题中正确的是（）

A.若l〃a,anp=m,则l〃mB.若l〃a,m〃a,则l〃m

C.若l_La,1〃。，则aJ_0D.若l〃a,l±m,则m_La

2222

6.圆C1：（x+2）+（y-2）=1与圆C2：（x-2）+（y-5）=16的位置关系

是（）

A.外离B.相交C.内切D.外切

7.圆x2+y2-4x=0,在点P（1,V3）处的切线方程为（）

A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x--/^+2=0

8.已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几

何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（）

A.B.C.D.

9.若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x-4y+4=0关于直线1对称，则直线1的方

程是（）

A.x+y=0B.x-y=0C.x+y+2=0D.x-y+2=0

10.若直线ax+by+l=0（a、b>0）过圆x2+y2+8x+2y+l=0的圆心，则工+措■的最

ab

小值为（）

A.8B.12C.16D.20

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分).

11.若方程x?+y2-x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为.

12.若直线1］：ax+3y+l=0与I2：2x+(a+1)y+l=0互相平行，则a的值为

13.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2,其三视图中的俯视图如图所示,

则其左视图的面积是.

14.已知直线1：x-y+3=0被圆(x-a)2+(y-2)?=4截得的弦长为2J5时，

实数a的值为.

15.长方体的一个顶点在三条棱长分别为3,4,5,若它的八个顶点都在同一个

球面上，则这个球的半径是.

三、解答题(本大题共3小题，共25分).

16.已知直线1经过直线3x+4y-2=0与2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线x-

3y+l=0

(I)求直线1方程；

(II)求直线1与两坐标轴围成的三角形的面积S.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PAL平面ABCD,

E为PD的中点.求证：

(1)PB〃平面AEC；

(2)平面PCDJ_平面PAD.

KD

B---------------X?

18.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y

-29=0相切.

(I)求圆的方程；

(II)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点，求实数a的取值范围；

(III)在(II)的条件下，是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线I过点P

(-2,4),若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.

四、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).

19.已知两点A(2,-1),B(-1,2),若直线y=kx-1与线段AB相交，则

斜率k的取值范围是.

20.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为K,则球的体积V=.

21.由直线y=x+l上的一点向圆(x-3)2+y2=］引切线，则切线长的最小值为

22.实数x,y满足方程x2+y2-2x=0,则心的最大值是

x+1

23.某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱中，最大长度是

24.在四面体A-BCD中，棱长为4,M是BC的中点，点P在线段AM上运

动，(点P不与A,M重合)，过点P做直线1_L平面ABC,1与平面BCD交于

点Q.给出下列命题，其中正确的是

①BC_L平面AMD

②点Q一定在直线DM上

③Vc-AMD=4近.

A

五、解答题(本大题共2小题，共20分).

25.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线1：y=2x-4.设圆C

的半径为1,圆心在I上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M,使MA=2M0,求圆心C的横坐标a的取值范围.

26.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为

线段AC的中点.

(I)求证：BD_L平面ACC]Ai；

(II)求证:直线AB[〃平面BCR；

(III)设M为线段BQ上任意一点，在ABCiD内的平面区域(包括边界)是

否存在点E,使CELDM,并说明理由.

参考答案

一、选择题

1.D2.D3.B4.C.5.C.6.D7.D.8.A.9.D.10.C.

二、填空题

11.答案为：

12.答案为：-3

13.答案为：473

14.答案为：-^±72.

15.答案为：平.

2

三、解答题

16.解：(I)由

Ezr0解得｛1

...点P的坐标是(-2,2).

设直线1的方程为3x+y+c=0.

代入点P坐标得3X(-2)+2+c=0,得c=4,

...所求直线1的方程为3x+y+4=0；

(II)由直线1的方程3x+y+4=0,

得一色-4，

~~3

知它在x轴、y轴上的截距分别是-4,

...直线1与两坐标轴围成三角形的面积s=4x4x44-

乙JJ

17.解：(1)连结BD,AC交于O.

•.♦ABCD是正方形，.-.AO=OC,OC=yAC

连结EO,则EO是4PBD的中位线，可得EO〃PB

,.•EOU平面AEC,PBQ平面AEC,，PB〃平面AEC

(2),.•PA_L平面ABCD,CDU平面ABCD,

ACDIPA

又YABCD是正方形，可得AD_LCD,且PAcAD=A

...CD，平面PAD

CDU平面PCD,平面PADJ_平面PCD

18.解：(I)设圆心为M(m,0)(mGZ).

由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5,

所以|4m;29|美,

BP14m-291=25.因为m为整数，故m=l.

故所求圆的方程为(x-1)2+y2=25....

(II)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5,

代入圆的方程，消去y,

整理，得(a2+l)X2+2(5a-1)x+l=0,

由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点，

2

故△=4(5a-1)2-4(a+l)>0,

即12a2-5a>0,

由于a>0,解得a>-^-,

所以实数a的取值范围是(备，+8).

(Ill)设符合条件的实数a存在，

则直线1的斜率为-1，

a

1的方程为尸(x+2)+4»

a

即x+ay+2-4a=0

由于1垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在1上，

所以1+0+2-4a=0,解得0.

由于看€+8),故存在实数

使得过点P(-2,4)的直线1垂直平分弦AB.…

四、填空题

19.解：•.•两点A(2,-1),B(-1,2),若直线y=kx-1与线段AB相交,

二两点A(2,-1),B(-1,2)在直线y=kx-1的异侧或直线上，

...(2k+l-1)(-k-3)WO,

.•.k<-3或k»0.

故答案为：仁-3或心0.

20.解：如图，由已知小圆。1半径为O]M=1,又00尸1,

球半径R=712+I2=^/2，二球体积=蒋成3-.

JO

故答案为：8n.

21.解：从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定

理，

显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.

圆心到直线的距离为：*=26.

切线长的最小值为：Y（2&）2-IW7,

故答案为：V?

22.解：方程x2+y2-2x=0即为（x-l）2+y2=l表示以点（1,。）为圆心，以1

为半径的圆.

设一^―=k,即y=kx+k,

x+1

由圆心（1,0）到丫=1d+1<的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小

值，

.Ik+k|

,,k'

解得k=土当，

•••W"的最大值是今，

x+l3

故答案为：中

3

23.解：由三视图可知原几何体为三棱锥,

其中底面AABC为俯视图中的钝角三角形，NBCA为钝角，

其中BC=2,BC边上的高为2«,PCJ_底面ABC,且PC=2,

由以上条件可知，NPCA为直角，最长的棱为PA或AB,

在直角三角形PAC中，由勾股定理得，

PA=7PC2+AC2=722+22+(2>/3)2=2^

又在钝角三角形ABC中，AB刃(2BC)2+(26)2=71赤=2、斤.

故四面体的六条棱中，最大长度是2书.

故答案为：2小.

24.解：如图,

•••四面体A-BCD的所有棱长相等，

二四面体为正四面体，

又M为BC的中点，

.\AM±BC,DM±BC,则BCL平面AMD,故①正确；

YBCU平面ABC,

二平面ABC,平面AMD,又平面AMDc平面ABC=AM,且PQLAM,

由平面与平面垂直的性质可得，PQU平面AMD,则点Q一定在直线DM上,

故②正确；

22h=22=

SAABC=yX4XV4-2=4V3»四棱锥的高^4-(p/3)^3^-

••vcAMDVx/x4V3x--故③错误•

oOJJ

...正确的命题是①②.

故答案为：①②.

五、解答题

y=x-1

25.解：(1)联立得:

y=2x-4

x=3

解得:

,尸2

...圆心C(3,2).

若k不存在，不合题意;

\3k+3-2\

若k存在，设切线为：y=kx+3,可得圆心到切线的距离d=r,即Jl+k'­=1,

解得：k=0或k=(

则所求切线为y=3或y=-"|'x+3；

(2)设点M(x,y),由MA=2M0,知：6+(厂3)2=23+y2,

化简得：x2+(y+1)2=4,

.•.点M的轨迹为以(0,-1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D,

又•.•点M在圆C上，C(a,2a-4),

...圆C与圆D的关系为相交或相切，

.•.1WICDIW3,其中|CD|=Ja2+(2a-3)2,

•••1乩2+-3)2q,

解得：OWaW孕.

5

26.(I)证明：•.•三棱柱ABC-AiBQi中，各个侧面均是边长为2