北京市2020年高二数学上学期期中考试卷（三）

北京市2020年高二数学上学期期中考试卷（三）

（文科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.）

1.命题"p或q"为真命题（）

A.命题p为真B.命题q为真

C.命题p和命题q一真一假D.命题p和命题q至少一个为真

2.已知m£R,则"m#5"是"曲线'+十=1为椭圆”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

3.已知椭圆号+：片”'，卜》⑴的左右焦点分别为Fi,F2,点A

|AFtl5

在椭圆上，AF2_Lx轴，若嗝T二至，则椭圆的离心率等于（）

111

A.2B.可C.ED.守

4.设抛物线y2=px的焦点与椭圆=~+弓~=1的右焦点重合，则p的

值为（）

A.-4B.4C.-8D.8

5.已知点A（4,8）是抛物线C：y2=2px与直线I：y=k（x+4）的一

个交点，则抛物线的焦点到直线I的距离是（）

A.&B.272C.372D.啦

6.已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到直线li：4x-3y+ll=0的距

离和到12：X=-1的距离之和的最小值为（）

3711

A."isB.3c.2D.亏

x2乙

7.已知双曲线京y"5"。）与抛物线y2=4x的准线交于A,B

两点，0为坐标原点，若aAOB的面积等于1,则［^=（）

「V21

A.V2B.1C.~D.~2

8.若直线I被圆x2+y2=4所截得的弦长不小于2爪，则I与下列曲线

一定有公共点的是（）

2,

222222

A.-^-+y=iB.（x-1）+y=lC.y=xD.x-y=l

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分共30分.把答案

填写在答题纸上.）

9.命题“Vx£R,x2+2x+2>0”的否定为.

10.已知双曲线过点（4,6）且渐近线方程为丫=±为<,则该双曲线的

标准方程是—.

11.在抛物线x2=2py（p>0）上，纵坐标为2的点到抛物线焦点的距

离为5,贝ljp=.

2

12.抛物线顶点在原点，其准线方程过双曲线f-y2=］的右焦点，则

此抛物线方程为—.

13.在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=l右支上一个动

点.若点P到直线x-y+2=0的距离大于t恒成立，则实数t的最大值

为.

14.已知直线I：y=-2,定点F(0,2),P是直线x-y+2&=0上的动

点，若经过点F,P的圆与I相切，则这个圆面积的最小值为一.

二、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤.

15.已知一定点A(4,-3),B为圆(x+1)2+y2=4上的动点，求线

段AB中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

2„2

16.已知双曲线C：三-勺l(a〉0,b>0)的实轴长为2,点P(2,&)在

此双曲线上.

(I)求双曲线C的方程；

(II)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段

AB中点N在圆x2+y2=5上，求实数m的值.

17.在直角坐标系xOy中，点M到点Fi(-6，0)、F2(V3>0)的距离

之和是4,点M的轨迹是C,直线I：尸kx+在与轨迹C交于不同的两

点P和Q.

(I)求轨迹C的方程；

(II)是否存在常数k,使而•丽=0?若存在，求出k的值；若不存在,

请说明理由.

18.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两

点.

(I)若房=7而，求直线AB的方程；

(II)设点M在线段AB上运动，原点0关于点M的对称点为C,

求四边形OACB面积的最小值.

22

19.已知椭圆C：与+yl(a〉b>0)的两个焦点

a，一

F](-&，0),F2(企，0),点P(l,零)在此椭圆上.

(I)求椭圆C的方程；

(II)过点M(1,0)的直线I与椭圆C相交于A,B两点，设点N

(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为ki,k2,求证：ki+k2为定值.

22r~

20.已知椭圆Ciq~+上01(a〉b>0)的图心率e=点(1,0)与椭

a2b23

圆短轴的两个端点的连线互相垂直.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)设椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M,N,点D(0,

-1),当|DM|=|DN|时-，求实数m的取值范围.

参考答案

一、单项选择题

1.D.2.B.3.C.4.D.5.D.6.B.7.C8.D.

二、填空题

9.答案为：3x£R,x2+2x+2^0.

10.答案为：1x2-y2=l.

11.答案为6.

12.答案为：y2=-8x

13.答案为：V2

14.答案为：4n

二、解答题

15.解：设M(x,y),B(m,n),

•「M是AB的中点，

.x-2Jm=2x-4

n-3、n=2y+3'

又•:B在(x+1)2+y2=4上，即(2x-4+1)2+(2y+3)2=4,

化简为(x-y)2+(y+y)2=b

.，.M点的轨迹方程为(X-1)2+(jr+|)2=l,

该方程表示的是圆心为e，-1),半径为1的圆.

16.解：(I)依题意知:2a=2,.*.a=l,

又点P(2,a)在双曲线上，

.*.-y--y=1=5,b2=2,

I2b2

2

...双曲线方程为：

2

(II)设A(xi,yi),B(X2,ya),N(X0,yo)

2_/_

由，*丁-1消y有X?-2mx-m2-2=0,

y=x+m

.*.△=(-2m)2+4(m2+2)>0,

••x]+x2-2ID,x।x2——(m+2),

,«*N为AB中点，x0=:，=m,y0=x0+rn=2in»

N在圆x2+y2=5上即m2+(2m)2=5,

m=±l,经检验，符合题意.

所以，实数m的值为±1.

17.解：(I):•点M到(-E，0),(仆，0)的距离之和是4,

...M的轨迹C是长轴长为4,焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方

程为《+y2=l.

(II)将尸kx+加，代入曲线C的方程，

整理得(l+4k2)x2+W5kx+4=0.①

设P(xi,yi),Q(X2,丫2),由方程①,得xi+x2=-,'因二一②

1'l+4kzl+4kz

=+=2

又丫1,y20£ii+V2)(kx2V2)kX|x2+V2k(xJ+X2)+2.③

若而•画二0，则xiX2+yiy2=O,

将②、③代入上式，解得k=±零.

又因k的取值应满足△>(),即4k2-1>0(*),

将卜=土苧代入(*)式知符合题意.

18.解：(I)•.力=-4而，.•.直线AB的斜率一定存在，设为k,AB

方程为y=k(x-1).

由■'、消y知：k2x2-(2k2+4)x+k2=0

y=k(x-1)

、2k，+4

设A(xi,yi),B(X2,y2),xi+x2=—2—，X1*X2=1

VAF=-4BF,.\XI=5-4X2,

.*•X1«X2=(5-4X2)・X2=1,.\X2=^"或X2=l(#)

••Xi=4,

._2k2+4_17..4

•・X1x+X2-5一△，••k―士行.

k，43

...直线AB的方程为丫=±£(x-1)；

(II)•.•点c与点O关于点M对称，为OC中点

.•.点C与点。到直线AB的距离相等

四边形OACB面积SOACB=2SAOB=£IOFI•Iyi-y2I

设直线AB方程为：x=my+l

由直线与抛物线联立，消x整理得：y2-4my-4=0,yi+y2=4m,yiy2=

22

-4,(yj+y2)-4y1y2=4Vm+l>4

即当m=0时，四边形OACB的面积最小为4.

19.解：(I)依题意知:

2

二•椭圆方程为-^~+y2=l；

(II)•.•直线AB过点M(1,0),...设直线AB的方程为x=my+l,

再设A(xi,yi),B(X2,y2),

2

x

由3+'-1,消x得：(m2+3)y2+2my-2=0,

2

2

.*.yl+y2=~m+3<321^+3'

yi-2了2一2

VN(3,2),・・・k尸ik

i町一392

-

-22(yt-2)"(xj-3)+(y2-2)'(xj-3)

+k2="--

X-3(xt3)»(x23)

----

(yj2),(my2+l3)+(y22)*(my1+l3)2myjy22(mH)(yj+y2)+8

(my2+l-3)•(myt+l-3)n)2-2m(y[+y2)+4

_

二4mh2,("l、)-2^m-+8〉

m"+3n/+312^+24

2n>2,4m2,-6m2+12=2为定值.

——+-j—+4

m+3in+3

_c

20.解：（I）依题意知：，a2=b2+c2，解得：a2=3,b2=l,

b二。…二"。.=・1

0-10-1

2

...椭圆方程为5~+y2=1

(II)设M(xi,yi),N（X2，丫2）,

2

2,

*T+y=1,消y得:(3k2+l)x2+6kmx+3m2-3=0,

y=kx+m

(6mk)2-12(3k2+l)(m2-1)=12(3k2-m2+l)>0,

3(n>2-1)

6km

Xi+x--12-，X.x=-----5-----，

12"3kz+l12z3k?+l

xl+x2__3kn>丫产2m

设MN中点E(x,No),则xo=，y°=2=2

02