第六讲定点运算器及浮点数运算演示文稿

第六讲定点运算器及浮点数运算演示文稿现在是1页\一共有62页\编辑于星期四优选第六讲定点运算器及浮点数运算现在是2页\一共有62页\编辑于星期四S0S1S2S3X0Y0

参数S0,S1,S2,S3

分别控制输入Ai

和Bi

,产生Y和X的函数。其中：Yi是受S0,S1控制的Ai和Bi的组合函数；Xi是受S2

,S3控制的Ai和Bi组合函数。

函数关系如表所示。Xi＝S2S3＋S2S3(Ai＋Bi)＋S2S3(Ai＋Bi)＋S2S3Ai

Yi＝S0S1Ai＋S0S1AiBi＋S0S1AiBi•

核心部分是由两个半加器组成的全加器。•

由M控制第二级半加器选择逻辑运算或算术运算（所需的低位进位Cn

）。一位ALU基本逻辑电路现在是3页\一共有62页\编辑于星期四S0S1

Yi

S2S3

Xi

0

0

0

1

1

0

1

1Ai

AiBi

AiBi

00

0

0

1

1

0

1

11

Ai＋Bi

Ai＋Bi

Ai

进一步化简:Xi=S3AiBi+S2AiBiYi=Ai+S0Bi+S1BiAi+S0Bi+S1BiS3AiBi+S2AiBiXiYi==Yi

Fi＝Yi⊕Xi⊕Cn+iCn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i现在是4页\一共有62页\编辑于星期四综上所述，ALU的一位逻辑表达式为：Xi=S3AiBi+S2AiBiYi=Ai+S0Bi+S1Bi

Fi＝Yi⊕Xi⊕Cn+iCn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i现在是5页\一共有62页\编辑于星期四4位之间采用先行进位（并行进位）公式。根据Cn＋i＋1＝Yi＋XiCn＋i，每一位的进位公式可递推如下：

•

第0位向第1位的进位公式为:

Cn＋1＝Y0＋X0Cn

(其中Cn是向第0位（末位）的进位)

•

第1位向第2位的进位公式为:

Cn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

•

第2位向第3位的进位公式为:

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2Cn•

第3位的进位输出（即整个4位运算进位输出）公式为:

Cn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn4位ALU的进位关系及逻辑电路现在是6页\一共有62页\编辑于星期四Cn＋1＝Y0＋X0CnCn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2CnCn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn

Cn+4是最后进位输出。逻辑表达式表明,这是一个先行进位逻辑。换句话说,第0位的进位输入Cn可以直接传送到最高位上去,因而可以实现高速运算。下图为用上述原始推导公式实现的4位算术/逻辑运算单元(ALU)

——74181ALU从进位关系上看现在是7页\一共有62页\编辑于星期四

正逻辑表示的74181现在是8页\一共有62页\编辑于星期四

第3位的进位输出（即整个4位运算进位输出）公式为:

Cn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn设G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3

P＝X0X1X2X3

则

Cn＋4＝G＋PCn

其中G称为进位发生输出,P称为进位传送输出。在电路中多加这两个进位输出的目的,是为了便于实现多片（组）ALU之间的先行进位。P和G的含义现在是9页\一共有62页\编辑于星期四负逻辑表示的74181X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3现在是10页\一共有62页\编辑于星期四

2.算术逻辑运算的实现上图中控制端Ｍ用来控制ALU进行算术运算还是进行逻辑运算:Ｍ＝0时：

Ｍ对进位信号没有任何影响。此时Fi

不仅与本位的被操作数Yi和操作数Xi

有关,而且与向本位的进位值Cn+i

有关,因此Ｍ＝0时,进行算术操作。

Ｍ＝1时：

封锁了各位的进位输出,即Cn+i

＝0,因此各位的运算结果Fi

仅与Yi

和Xi

有关,故Ｍ＝1时,进行逻辑操作。现在是11页\一共有62页\编辑于星期四下图为工作于负逻辑和正逻辑操作方式的74181ALU方框图。两种操作是等效的。•对正逻辑操作数来说：

算术运算称高电平操作；逻辑运算称正逻辑操作

(即高电平为“1”,低电平为“0”)。•对于负逻辑操作数来说:

正好相反。现在是12页\一共有62页\编辑于星期四AA+BA+B减1A加AB（A+B）加ABA减B减1AB减1A加ABA加B（A+B）加ABAB减1A加A*（A+B）加A（A+B）加AA减1AA+BAB逻辑0ABBABABA+BABBAB逻辑1A+BA+BA

A减1AB减1

AB减1

减1A加（A+B）AB加（A+B）A减B减1A+BA加（A+B）A加BAB加（A+B）A+BA加A*AB加AAB加AA

AAB

A+B

逻辑1

A+BB

ABA+B

ABAB

BA+B

逻辑0AB

ABALLLLLLLHLLHLLLHHLHLLLHLHLHHLLHHHHLLLHLLHHLHLHLHHHHLLHHLHHHHLHHHH算术运算M=LCn=H逻辑M=H算术运算M=LCn=L逻辑M=H正逻辑输入与输出负逻辑输入与输出工作方式选择输入S3S2S1S0

现在是13页\一共有62页\编辑于星期四(1)H＝高电平,L＝低电平；(2)*表示每一位均移到下一个更高位,即A*＝2A。(3)

算术运算操作是用补码表示法来表示的，其中：

“加”是指算术加，运算时要考虑进位；符号“＋”是指“逻辑加”。(4)

减法是用补码方法进行的，其中数的反码是内部产生的,而结果输出“A减B减1”，因此做减法时需在最末位产生一个强迫进位(加1),以便产生“A减B”的结果。(5)

“A＝B”输出端可指示两个数是否相等；现在是14页\一共有62页\编辑于星期四3.并行加法器的进位逻辑74181ALU为4位并行加法器，组成16位的并行加法器——怎么办？

4片(组)74181连接——怎样连？

•组与组之间串行连接

•组与组之间并行连接现在是15页\一共有62页\编辑于星期四组间串行进位C4＝G0＋P0C0C8＝G1＋P1C4C12＝G2＋P2C8C16＝G3＋P3C12进位关系Cn＋1＝Y0＋X0CnCn＋2＝Y1＋X1Cn＋1＝Y1＋Y0X1＋X0X1Cn

Cn＋3＝Y2＋X2Cn＋2＝Y2＋Y1X1＋Y0X1X2＋X0X1X2CnCn＋4=Y3+X3Cn＋3=Y3+Y2X3+Y1X2X3+Y0X1X2X3+X0X1X2X3Cn组内组间X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3C4C8C4C00011G＝Y3＋Y2X3＋Y1X2X3＋Y0X1X2X3

P＝X0X1X2X3现在是16页\一共有62页\编辑于星期四(2)组间并行进位——两级先行进位的ALU由串行进位关系C8=G1＋P1C4=G1+P1(G0＋P0C0)=G1+G0P1+P0P1C0得：C4＝G0＋P0C0C8＝G1＋P1C4C12＝G2＋P2C8C16＝G3＋P3C12C4=G0＋P0C0C12=G2＋P2C8=G2+P2(G1+G0P1+P0P1Cn)=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2C0C16=G3+P3C12=G3+G2P3+G1P1P2+G0P1P2P3+P0P1P2P3C0

=G*＋P*C0其中:P*＝P0P1P2P3G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3根据上述公式实现逻辑电路:现在是17页\一共有62页\编辑于星期四

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

C12C8C4

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

0

X0Y0X1Y1X2Y2X3Y3

现在是18页\一共有62页\编辑于星期四4.先行进位部件（CLA）——7418274182是一个并行进位部件，其内部结构图如下：其中G*称为成组进位发生输出，P*称为成组进位传送输出。现在是19页\一共有62页\编辑于星期四Cn+ｘ=G0+P0CnCn+ｙ=G1+P1Cn+ｘ=G1+G0P1+P0P1CnCn+ｚ=G2+P2Cn+ｙ=G2+G1P2+G0P1P2+P0P1P2CnCn＋4=G3+P3Cn+ｚ=G3+G2P3+G1P1P2+G0P1P2P3+P0P1P2P3Cn

=G*＋P*Cn其中:P*＝P0P1P2P3

G*＝G3＋G2P3＋G1P1P2＋G0P1P2P3先行进位部件74182CLA所提供的进位逻辑关系如下：现在是20页\一共有62页\编辑于星期四74181ALU设置了P和G两个本组先行进位输出端。如果将四片74181的P,G输出端送入到74182先行进位部件（CLA）,又可实现第二级的先行进位,即组与组之间的先行进位。例：16位字长ALU的构成G*P*现在是21页\一共有62页\编辑于星期四•C3、C7、C11是由74182同时形成的；•其不同点是74182还提供大组间的进位函数G*

和大组传递条件P*，以便在位数更长时组成下一级先行进位链。由图可知：现在是22页\一共有62页\编辑于星期四

用若干个74181ALU位片,与配套的74182先行进位部件CLA在一起,可构成一个全字长的ALU。例：全字长的ALU的构成用两个16位全先行进位部件级联组成的32位ALU逻辑方框图。现在是23页\一共有62页\编辑于星期四十进制加法器

十进制加法器可由BCD码(二－十进制码)来设计,它可以在二进制加法器的基础上加上适当的“校正”逻辑来实现。70111+6+0110131101

（=D）

+011010011（=13）30011+5+010181000（=8）X+Y+C<10不调整X+Y+C>10调整现在是24页\一共有62页\编辑于星期四故：

1.和为10～15时，加6校正；

2.和数有进位时，加6校正。和数(4位)有进位调整2800101000+9＋000010013700110001（=31）

＋0000011000110111(=37)现在是25页\一共有62页\编辑于星期四1.一位BCD码行波式进位加法器一般结构：011101010111100110111101111现在是26页\一共有62页\编辑于星期四2.n位BCD码行波式进位加法器一般结构：现在是27页\一共有62页\编辑于星期四浮点运算方法和浮点运算器浮点加、减法运算浮点乘、除法运算现在是28页\一共有62页\编辑于星期四

尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度；阶码：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。机器浮点数格式：

浮点数的表示方法阶符阶码数符尾数EsE1E2……EmMsM1M2……Mn现在是29页\一共有62页\编辑于星期四IEEE标准：尾数用原码；阶码用“移码”；基为2。浮点数的标准格式

按照IEEE754的标准，32位浮点数和64位浮点数的标准格式为：313023220SEM32位SEM63625251064位•为便于软件移植，使用IEEE标准现在是30页\一共有62页\编辑于星期四设有两个浮点数ｘ和ｙ,它们分别为:

浮点加、减法运算

其中Ex和Ey分别为数ｘ和ｙ的阶码，

Mx和My为数ｘ和ｙ的尾数。两浮点数进行加法和减法的运算规则是:

ｘ±ｙ＝(Mx2Ex－Ey±My)2EyEx<=Ey

ｘ＝2Ex·Mｘｙ＝2Ey·Mｙ现在是31页\一共有62页\编辑于星期四完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步：(1)0操作数的检查；(2)比较阶码大小并完成对阶；(3)尾数进行加或减运算；(4)结果规格化。(5)舍入处理。(6)溢出处理。现在是32页\一共有62页\编辑于星期四

使二数阶码相同（即小数点位置对齐），这个过程叫作对阶。

•

先求两数阶码Ex和Ey之差，即△E=Ex－Ey

若△E=0，表示

Ex=Ey

若△E>0,Ex>Ey

若△E<0,Ex<Ey通过尾数的移动来改变Ex或Ey，使其相等.

•对阶原则阶码小的数向阶码大的数对齐；小阶的尾数右移，每右移一位,其阶码加1(右规)。(2)对阶(1)0操作数检查

现在是33页\一共有62页\编辑于星期四例:x=201×0.1101,y=211×(-0.1010),求x+y=?解：为便于直观了解，两数均以补码表示，阶码、尾数均采用双符号位。

[x]补=0001,00.1101[y]补=0011,11.0110[△E]补=[Ex]补－[Ey]补=0001+1101=1110

△E=-2,表示Ex比Ey小2,

因此将x的尾数右移两位.

右移一位,

得[x]补=0010,00.0110

再右移一位,

得[x]补=0011,00.0011

至此,△E=0,对阶完毕.现在是34页\一共有62页\编辑于星期四

尾数求和方法与定点加减法运算完全一样。对阶完毕可得:[x]补=0011,00.0011[y]补=0011,11.0110

对尾数求和:00.0011+11.011011.1001即得:[x+y]补=0011,11.1001(3)尾数求和运算现在是35页\一共有62页\编辑于星期四(4)结果规格化

求和之后得到的数可能不是规格化了的数,为了增加有效数字的位数,提高运算精度,必须将求和的结果规格化.①规格化的定义:

(二进制)对正数:S=00.1×××…×对负数:S=11.0×××…×采用双符号位的补码：采用原码：

正数:S=0.1×××…×

负数：S=1.1×××…×现在是36页\一共有62页\编辑于星期四

若不是规格化的数,需要尾数向左移位,以实现规格化的过程,我们称其为向左规格化。②向左规格化

前例中,0011,11.1001不是规格化数,因而需要左规,即左移一位,阶码减1,得:[x+y]补=0010,11.0010③向右规格化

浮点加减运算时,尾数求和的结果也可能得到：

01.×××…×或10.×××…×,

即两符号位不等，即结果的绝对值大于1。向左破坏了规格化。此时,将尾数运算的结果右移一位,阶码加1,称为向右规格化。现在是37页\一共有62页\编辑于星期四例：两浮点数x=0.1101210,y=(0.1011)201,求x+y。解：[x]补=0010，00.1101[y]补=0001，00.1011

对阶：

[△E]补=[Ex]补－[Ey]补=0010+1111=0001y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。

[y]补=0010，00.0101

求和：

00.1101+00.010101.0010[x+y]补=0010，01.0010右归：运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。

[x+y]补=0011，00.1001现在是38页\一共有62页\编辑于星期四

在对阶或向右规格化时,尾数要向右移位,这样,被右移的尾数的低位部分会被丢掉,从而造成一定误差,因此要进行舍入处理。

•

简单的舍入方法有两种：①“0舍1入”法即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去，反之则将尾数的末位加“1”。②“恒置1”法即只要数位被移掉，就在尾数的末位恒置“1”。从概率上来说,丢掉的0和1各为1/2。(5)舍入处理

•IEEE754标准中，舍入处理提供了四种可选方法：现在是39页\一共有62页\编辑于星期四(6)溢出处理

与定点加减法一样，浮点加减运算最后一步也需判溢出。在浮点规格化中已指出，当尾数之和(差)出现01．××…×或10．××…×时，并不表示溢出，只有将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否溢出。现在是40页\一共有62页\编辑于星期四

若机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码取7位、数符取2位，尾数取n位，则它们能表示的补码在数轴上的表示范围如图所示。正负现在是41页\一共有62页\编辑于星期四

图中A，B，a，b分别对应最小负数、最大正数、最大负数和最小正数。它们所对应的真值分别是：

A最小负数2+127(-1)B最大正数2+127(1-2-n)a最大负数2-128(-2-1-2-n)b最小正数2-128

2-1正负现在是42页\一共有62页\编辑于星期四图中a,b之间的阴影部分，对应阶码小于128的情况，叫做浮点数的下溢。下溢时．浮点数值趋于零，故机器不做溢出处理，仅把它作为机器零。图中的A、B两侧阴影部分，对应阶码大于127的情况，叫做浮点数的上溢。此刻，浮点数真正溢出，机器需停止运算，作溢出中断处理。一般说浮点溢出，均是指上溢。

可见，浮点机的溢出与否可由阶码的符号决定：

阶码[j]补=01,为上溢，机器停止运算，做中断处理；阶码[j]补=10,为下溢，按机器零处理。现在是43页\一共有62页\编辑于星期四例：若某次加法操作的结果为[X+Y]补=11.010,00.0000110111则应对其进行向左规格化操作：尾数为：00.1101110000，阶码减4：

11.010+11.100[-4]补

10.110例：若某次加法操作的结果为[X+Y]补=00.111,10.1011100111则应对其进行向右规格化操作：尾数为：11.0101110011，阶码加1：01.000

阶码超出了它所能表示的最大正数（+7），表明本次浮点运算产生了溢出。

阶码超出了它所能表示的最小负数（-8），表明本次浮点运算产生了溢出。现在是44页\一共有62页\编辑于星期四

在加、减运算过程中要检查是否产生了溢出：若阶码正常，加减运算正常结束；若阶码溢出，则要进行相应的处理。阶码上溢——

超过了阶码可能表示的最大值的正指数值,一般将其认为是＋∞和－∞。阶码下溢——

超过了阶码可能表示的最小值的负指数值,一般将其认为是0。•

浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的•

对尾数的溢出也需要处理(上溢—右归，下溢—舍入）。小结：现在是45页\一共有62页\编辑于星期四现在是46页\一共有62页\编辑于星期四例

设ｘ=20100.11011011,ｙ=2100(-0.10101100),求ｘ+ｙ。解：阶码采用双符号位,尾数采用单符号位,则它们的浮点表示分别为[x]浮=00010,

0.11011011

[y]浮=00100,

1.01010100(1)求阶差并对阶△E=Ex-

Ey=[Ex]补+[-Ey]补=00010+11100=11110[x]浮＝00100,0.00110110(11)其中(11)表示Mｘ右移2位后移出的最低两位数。即△E为-2,x的阶码小,应使Mx右移两位,Ex加2,现在是47页\一共有62页\编辑于星期四(2)尾数求和(4)舍入处理采用0舍1入法处理,则有:1.00010101+11.000101100.00110110(11)+1.01010100

1.10001010(11)(3)规格化处理尾数运算结果的符号位与最高数值位为同值，应执行左规处理，结果为1.00010101(10)，阶码为00011。(5)判断溢出阶码符号位为00，不溢出，故得最终结果为

x+y=2011×(-0.11101010)现在是48页\一共有62页\编辑于星期四例两浮点数x=201×0.1101，y=211×(-0.1010)。假设尾数在计算机中以补码表示，可存储4位尾数，2位保护位，阶码以原码表示，求x+y。解：将x,y转换成浮点数据格式

[x]浮

=0001,00.1101 [y]浮

=0011,11.0110步骤1：对阶，阶差为11-01=10，即2，因此将x的尾数右移两位，得

[x]浮

=0011,00.001101步骤2：对尾数求和，得: [x+y]浮

=0011,11.100101步骤3：由于符号位和第一位数相等，不是规格化数，向左规格化，得

[x+y]浮

=0010,11.001010步骤4：截去。

[x+y]浮

=0010,11.0010步骤5:数据无溢出，因此结果为

x+y=210×(-0.1110)现在是49页\一共有62页\编辑于星期四浮点运算电路浮点加法器原理框图MESMES小ALU大ALU控制右移左移或右移舍入部件阶码差加1或减1MES111000现在是50页\一共有62页\编辑于星期四

浮点乘、除法运算1.浮点乘法、除法运算规则

设有两个浮点数ｘ和ｙ：ｘ＝2Ex·Mx

ｙ＝2Ey·My浮点乘法运算的规则是：ｘｙ＝2(Ex+Ey)·(Mx

My)

即：乘积的尾数是相乘两数的尾数之积;

乘积的阶码是相乘两数的阶码之和。浮点除法运算的规则是:

ｘ÷ｙ＝2(Ex－Ey)·(Mx÷My)

即：商的尾数是相除两数的尾数之商;

商的阶码是相除两数的阶码之差。现在是51页\一共有62页\编辑于星期四2.浮点乘、除法运算步骤浮点数的乘除运算大体分为四步：(1)0操作数检查；(2)阶码加/减操作；(3)尾数乘/除操作；(4)结果规格化及舍入处理。现在是52页\一共有62页\编辑于星期四(2)浮点数的阶码运算

•

对阶码的运算有＋1、－1、两阶码求和、两阶码求差四种,

运算时还必须检查结果是否溢出。

•在计算机中,阶码通常用补码或移码形式表示。①移码的运算规则和判定溢出的方法移码的定义为[x]移=2n+ｘ-2n

≤x<2n[x]移+[y]移=2n+ｘ+2n+ｙ=2n+[ｘ+ｙ]移按此定义,则有=2n+(2n+(ｘ+ｙ))[ｘ+ｙ]移=-2n+[x]移+[y]移现在是53页\一共有62页\编辑于星期四

考虑到移码和补码的关系：

对同一个数值,其数值位完全相同,而符号位正好完全相反。

[y]补的定义为

[y]补=2n+1+ｙ则求阶码和用如下方式完成：

=2n+1+(2n+(ｘ+ｙ))[x]移+[y]补=2n+ｘ+2n+1+ｙ即：[ｘ+ｙ]移=[x]移+[y]补

(mod2n+1)同理：[ｘ-ｙ]移=[x]移+[-y]补

(mod2n+1)②混合使用移码和补码现在是54页\一共有62页\编辑于星期四

使用双符号位的阶码加法器,并规定移码的第二个符号位,即最高符号位恒用0参加加减运算,则溢出条件是结果的最高符号位为1：

•当低位符号位为0时,（10）表明结果上溢,

•当低位符号位为1时,（11）表明结果下溢。

•当最高符号位为0时,表明没有溢出:

低位符号位为1,（01）表明结果为正;

为0,（00）表明结果为负。③阶码运算结果溢出处理现在是55页\一共有62页\编辑于星期四例：

ｘ=+011,ｙ=+110,求[x+y]移和[x-y]移,并判断是否溢出。解：阶码取3位（不含符号位），其对应的真值范围是-8~+7[x]移=01011,[y]补=00110,[-y]补=11010[x+y]移=[x]移+[y]补=[x-y]移=[x]移+[-y]补=01011+0011010001结果上溢。结果正确,为-3。01011+1101000101现在是56页\一共有62页\编辑于星期四(3)尾数处理

浮点加减法对结果的规格化及舍入处理也适用于浮点乘除法。第一种方法是：无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值。这种办法被称为截断