2022-2023学年苏教版（2019）必修第一册 6.3对数函数 课件（41张）

第6章6.3对数函数学习目标1.通过实例直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的数学模型.2.能画出具体的对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质.3.能利用对数函数的性质比较两个对数式值的大小，能研究一些对数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性等.4.知道指数函数y＝ax（a>0，a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，a≠1）互为反函数.核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算 新知学习一、对数函数的概念一般地，函数y＝logax（a>0，a≠1）叫作对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）.【说明】（1）由指数式与对数式的关系，知对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，+∞）.（2）对数函数中底数的限制条件与指数函数中相同，为a>0，且a≠1.（3）以10为底数的对数函数y＝lgx叫作常用对数函数，以e为底数的对数函数y＝lnx叫作自然对数函数.

二、对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质一般地，对数函数y＝logax（a>0，a≠1）的图象和性质如下表：底数a>10<a<1图象性质定义域（0，+∞）值域R定点函数图象恒过点（1，0），即当x＝1时，y＝0函数值的正负当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0单调性在（0，+∞）上为增函数在（0，+∞）上为减函数【说明】（1）对于对数函数的图象和性质，若底数a不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论，这点与指数函数相同.（2）对数函数的图象都在y轴右侧的第一、四象限，过定点（1，0），且当x→0时，图象无限接近y轴.（3）对数函数的图象可以向上、向下无限延伸，值域为R.【巧记】

对数函数单调性的记忆口诀对数函数有两种，底数大小要分清.底数若是大于1，图象从左往右增.底数0到1之间，图象从左往右减.无论函数增和减，图象都过（1，0）点.2.指数函数与对数函数的比较名称指数函数对数函数一般形式y＝ax（a>0，a≠1）y＝logax（a>0，a≠1）图象y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称

定义域（-∞，+∞）（0，+∞）值域（0，+∞）（-∞，+∞）函数值的变化情况当a>1时，当0<a<1时，当a>1时，当0<a<1时，单调性当a>1时，y＝ax，y＝logax在定义域内为增函数；当0<a<1时，y＝ax，y＝logax在定义域内为减函数示例函数y＝log2x的定义域是［1，64），则值域是（）A.R B.［0，+∞）

C.［0，6） D.［0，64）【规律总结】对数值正负的规律（1）当a>1时，由对数函数y＝logax是增函数知：若0<x<1，则logax<loga1＝0；若x>1，则logax>loga1＝0.（2）当0<a<1时，由对数函数y＝logax是减函数知：若0<x<1，则logax>loga1＝0；若x>1，则logax<loga1＝0.即对于区间（0，1）和（1，+∞），当a，x都在同一区间时，有logax>0；当a，x分别在两个区间时，有logax<0.可简记为：同区间为正，异区间为负.C【解析】

因为函数y＝log2x在（0，+∞）上是增函数，所以当x∈［1，64）时，y∈［0，6）.

3.底数的大小决定了对数函数图象的相对位置.（1）上下比较：在直线x＝1的右侧，当a>1时，a越大，对数函数图象越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，对数函数图象越靠近x轴.（2）左右比较：比较对数函数图象与直线y＝1交点横坐标的大小，交点的横坐标越大，对应的对数函数底数就越大.根据如图所示的图象，我们很容易验证此结论.示例如图所示的四条曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为

.（按从大到小的顺序排）b>a>1>d>c【解析】由题图，知对数函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，对数函数y＝logcx，y＝logdx的底数0<c<1，0<d<1.作平行于x轴的直线l：y＝1（如图），则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c.四、反函数1.反函数的定义一般地，设A，B分别为函数y＝f（x）的定义域和值域，如果由函数y＝f（x）可解得唯一x＝φ（y）也是一个函数（即对任意一个y∈B，都有唯一的x∈A与之对应），那么就称函数x＝φ（y）是函数y＝f（x）的反函数（inversefunction），记作x＝f-1（y）.根据指数式与对数式的互化，我们可以得到对数函数y＝logax（a>0，且a≠1，x∈（0，+∞））与指数函数y＝ax（a>0，且a≠1，x∈R）互为反函数.

2.反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.若互为反函数的两个函数是同一个函数，则该函数的图象关于直线y＝x对称.（2）若函数y＝f（x）图象上有一点（a，b），则（b，a）必在其反函数的图象上；反之，若点（b，a）在反函数的图象上，则（a，b）必在其原函数的图象上.（3）反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域.（4）互为反函数的两个函数的单调性相同.示例函数y＝lnx+1（x>0）的反函数为（）A.y＝ex+1（x∈R） B.y＝ex-1（x∈R）

C.y＝ex+1（x>1） D.y＝ex-1（x>1）【解题必备】求反函数的步骤（1）求出函数y＝f（x）的值域；（2）由y＝f（x）解出x＝f-1（y）；（3）把x＝f-1（y）改写成y＝f-1（x），并写出函数的定义域（原函数的值域）.B【解析】

∵lnx＝y-1，∴x＝ey-1.在原函数中，由x>0知y＝lnx+1∈R.故y＝lnx+1（x>0）的反函数为y＝ex-1（x∈R）.五、对数型复合函数的单调性对数型复合函数一般分为两类：y＝f（logax）型和y＝logaf（x）型.（1）对于对数型复合函数y＝f（logax）（a>0，a≠1）的单调性，一般用复合法判定，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f（t）的单调性即可.（2）对于对数型复合函数y＝logaf（x）（a>0，a≠1）的单调性，首先由f（x）>0确定函数的定义域，然后判断t＝f（x）在定义域上的单调性，最后结合底数a>1或0<a<1，来确定y＝logaf（x）的单调性，其核心是同增异减.具体如下表，其中区间（m，n）与（p，q）是通过t＝f（x）在函数定义域内的单调性来确定的.函数y＝logat（a>0，a≠1）的单调性函数y＝logaf（x）（a>0，a≠1）的单调性当a>1时，函数y＝logat在（0，+∞）上是增函数当a>1时，若t＝f（x）在（m，n）上是增函数，则y＝logaf（x）在（m，n）上是增函数；若t＝f（x）在（p，q）上是减函数，则y＝logaf（x）在（p，q）上是减函数当0<a<1时，函数y＝logat在（0，+∞）上是减函数当0<a<1时，若t＝f（x）在（m，n）上是增函数，则y＝logaf（x）在（m，n）上是减函数；若t＝f（x）在（p，q）上是减函数，则y＝logaf（x）在（p，q）上是增函数示例求函数f（x）＝log2（x2-2x）的单调区间.【方法技巧】用换元法求复合函数的单调区间求复合函数的单调区间的关键是分清内外两层函数，常采用换元法求解，忽略新元的取值范围是解题中的易错点.【解】

函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）.设t＝x2-2x.当x∈（-∞，0）时，t＝x2-2x为减函数，则f（x）在（-∞，0）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，t＝x2-2x为增函数，则f（x）在（2，+∞）上为增函数.

典例剖析DA

【类题通法】对数（型）函数定义域的求法1.求对数（型）函数的定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要注意：（1）真数大于0；（2）底数大于0且不等于1.2.y＝logaf（x）（a>0，且a≠1）型函数的定义域就是f（x）>0的解集.3.y＝f（logax）型函数的定义域保证f（x）的解析式有意义，保证真数大于0.二、对数型函数的图象及应用1.对数型函数图象过定点问题例 2

函数y＝loga（x+1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过点（）A.（0，1） B.（0，2）

C.（-1，1） D.（-1，2）A【方法技巧】解答函数y＝m+logaf（x）（a>0且a≠1）的图象恒过定点的问题时，只需令f（x）＝1求出x，即得定点（x，m）.【解析】

要求函数y＝loga（x+1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过的点，只需令x+1＝1，则x＝0，y＝1，所以该点的坐标为（0，1）.

2.对数型函数图象的判定与识别例 3

已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga（-x）的图象只能是（）

A

B

C

D【解析】（方法1）若0<a<1，则函数y＝ax是减函数且过点（0，1），而函数y＝loga（-x）是增函数且过点（-1，0），以上图象均不符合.若a>1，则函数y＝ax是增函数且过点（0，1），而函数y＝loga（-x）是减函数且过点（-1，0），只有B中图象符合.（方法2）首先指数函数y＝ax的图象只可能在x轴上方区域，函数y＝loga（-x）的图象只可能在y轴左侧区域，从而排除A，C；再看单调性，y＝ax与y＝loga（-x）的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合.B

【方法技巧】给出函数解析式，判断函数的图象，首先应考虑所给函数对应的基本初等函数是哪一个，其次找出函数图象经过的特殊点，考虑函数的性质（定义域、单调性、奇偶性等），最后综合得出函数的图象.此类题目经常以选择题的形式出现，常用排除法.3.对数型函数图象的变换例 4

作出函数y＝|log2（x+1）|+2的图象.（1）

（2）

（3）

（4）

【分析】充分利用图象变换，即利用平移变换、翻折变换等作图.【解】第一步：作出y＝log2x的图象（如图（1））；第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得到y＝log2（x+1）的图象（如图（2））；第三步：将y＝log2（x+1）在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2（x+1）|的图象（如图（3））；第四步：将y＝|log2（x+1）|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y＝|log2（x+1）|+2的图象（如图（4））.【类题通法】函数图象的变换规律（1）一般地，函数y＝f（x+a）+b（a，b为实数）的图象是由函数y＝f（x）的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.（2）含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f（|x-a|）的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象在f（x）≥0的部分相同，在f（x）<0的部分关于x轴对称.

A

【规律方法】（1）指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数.（2）互为反函数的两个函数的定义域、值域相反.（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.

A【解析】 由y＝f（x）是y＝ax的反函数，可知f（x）＝logax（a>0，a≠1）.再由f（2）＝1，可知loga2＝1，所以a＝2，即f（x）＝log2x.

【类题通法】对数式比较大小的三种类型和求解方法（1）底数相同时，利用对数函数单调性比较大小.（2）底数与真数均不相同时，借助中间值0或1比较大小.（3）真数相同时，可利用换底公式换成同底对数式，再比较大小，但要注意对数值的正负.2.解对数不等式例

8（1）解不等式：loga（2x-5）>loga（x-1）.（2）已知log0.7（2x）<log0.7（x-1），求x的取值范围.

【类题通法】常见的对数不等式的三种类型及解法（1）形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论；（2）形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；（3）形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解.五、对数型复合函数问题1.对数型复合函数的单调性问题例 9

（1）函数f（x）＝log2（x2+2x-3）的单调递增区间为（）A.（-1，+∞）

B.（1，+∞）

C.（-∞，-1）

D.（-∞，-3）（2）已知函数f（x）＝log2（3-ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是（）A.（0，1） B.（1，3）

C.（0，1）∪（1，3） D.（0，3）DB

【方法技巧】对数型复合函数的单调性的求解方法对数型复合函数一般可分为两类：一类是外层函数为对数函数，即y＝logaf（x）；另一类是内层函数为对数函数，即y＝f（logax）.（1）对于y＝logaf（x）型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）>0）的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反.（2）研究y＝f（logax）型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f（t）的单调性即可.2.对数型复合函数的值域与最值例10

已知函数f（x）＝lnx+ln（a-x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A.（0，2）

B.［0，+∞）

C.（-∞，2］

D.（-∞，0］【方法技巧】（1）求对数函数或与对数函数相关的复合函数的值域（最值）时，一般是根据单调性求解，若需要换元，则需考虑新元的取值范围.（2）对于形如y＝logaf（x）（a>0，a≠1）的复合函数，其值域的求解步骤如下：①求复合函数的定义域；②分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解即可.D【分析】 根据函数f（x）的图象关于直线x＝1对称可得f（1+x）＝f（1-x），由此可得a＝2，即f（x）＝lnx+ln（2-x），再结合函数的单调性和定义域求得值域.【解析】∵函数f（x）＝lnx+ln（a-x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（1-x）＝f（1+x），即ln（1-x）+ln（a-1+x）＝ln（1+x）+ln（a-1-x），∴（1-x）（a-1+x）＝（1+x）（a-1-x），整理得（a-2）x＝0，∴a＝2，∴f（x）＝lnx+ln（2-x），定义域为（0，2）.又f（x）＝lnx+ln（2-x）＝ln（2x-x2），当0<x