八年级上册数学北师大版知识点总结

八年级上册数学北师大版知识点总结(精校版)第一章勾股定理第一节、探究勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。2、勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a，b，c相关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的合用范围：仅限于直角三角形4、勾股数：知足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。常有的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12,13）（9,12,15）7,24,25）（9,40,41）。5、勾股数的规律1）短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，假如b+c=a2，那么a,b,c就是一组勾股数，如（3,4,5）（5,12,13）（7,24,25）（9,40,41）等。（2）大于2的随意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1，如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）等。第二节、必定是直角三角形吗1、有一个角是直角（900）的三角形是直角三角形。2、直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角互余。②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。③在直角三角形中，假如有一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。④在直角三角形中，假如有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于300。⑤直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。1/17⑥直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边。3、直角三角形的判断①有一个角是900的三角形是直角三角形。②一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。③有两个角互余的三角形是直角三角形。④两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。第三节、勾股定理的应用1、证明直角三角形及其余波及直角三角形的问题。2、判断实质问题中两线段能否垂直的问题。以已知线段为边结构三角形，依据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。3、解立体图形上两点之间的最短距离问题1）将立体图形展成平面图形。2）依据“两点之间线段最短”确立最短路线。3）最后以上边的最短路线为边结构直角三角形，利用勾股定理解决。圆柱表面蚂蚁吃面包：圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方。第二章实数第一节、认识无理数1、无理数：无穷不循环小数叫做无理数。2、在理解无理数时，要抓住“无穷不循环”这一时之，概括起来有5类：（1）开方开不尽的数。（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等。（3）有特定结构的数，如0.1010010001等。（4）某些三角函数值，如sin60o等。（5）无穷不循环小数。3、无理数和有理数的差别①有理数指的是有限小数和无穷循环小数，而无理数则是无穷不循环小数。②全部的有理数都能写成分数的形式（整数能够当作是分母为1的分数），而无理数则不可以写成分数形式。2/17第二节、平方根1、算术平方根：一般地，假如一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。表示方法：记作“”，读作根号a。性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。2、平方根：一般地，假如一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。3、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意a的两重非负性：≥0且a≥0。第三节、立方根1、立方根：一般地，假如一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做的立方根（或三次方根）。2、表示方法：记作。3、一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。4、，这说明三次根号内的负号能够移到根号外面。第四节、估量1、用估量法确立无理数的大小①对于带根号的无理数的近似值得确立，能够经过平方运算或立方运算并采纳“夹逼法”，即两边无穷迫近，逐级夹逼来达成。第一确立其整数部分的范围，再确立十分位，百分位等小数部分。②决此类问题的要点是依照平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采纳两边夹逼的方法求解。2、“精准到”与“偏差小于”的差别①精准到1m，是指四舍五入到个位，答案独一。②偏差小于1m，答案在其值左右1m内都切合题意，答案不独一。3、用估量的方法比较数的大小3/17①用估量法比较两个数的大小，一般起码有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采纳剖析法，估量出无理数的大概范围，再作详细比较。②当比较两个带根号的无理数的大小时可用以下结论：若a＞b≥0,则＞若a＞b，则或a3＞b3若a、b都为正数，且a＞b时，则a2＞b2第五节、用计算器开方（本节内容为认识内容）1、会用计算器求平方根和立方根。2、运用计算器探究数学规律的活动，发展合情推理的能力。第六节、实数1、实数的观点及分类数学上，实数定义为与数轴上的实数点相对应的正有理数有理数零有限小数和无穷循环小数负有理数实数正无理数无理数无穷不循环小数负无理数2、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不一样的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点对于原点对称，假如a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。3、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它自己，也可当作它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。4、倒数假如a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于自己的数是1和4/17-1。零没有倒数。5、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三因素缺一不行）。解题时要真实掌握数形联合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵巧运用。6、实数大小的比较①实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于全部负数；数轴上的两个点所表示的数，右侧的总比左侧的大；两个负数，绝对值大的反而小。②实数大小比较的几种常用方法1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右侧的数总比左侧的数大。2）求差比较：设a、b是实数。（3）求商比较法：设a、b。4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则5）平方法：设a、b是两负实数，则第七节、二次根式1、含有二次根号“”；被开方数a一定是非负数。2、性质：1）3、最简二次根式：运算结果若含有“”形式，一定知足：（1）被开方数5/17的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。4、非负数的状况：根号下，平方，绝对值。5、实数的运算1）六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方。2）实数的运算次序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，假如有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法互换律a+b=b+a加法联合律(a+b)+c=a+(b+c)乘法互换律ab=ba乘法联合律(ab)c=a(bc)乘法分派律a(b+c)=ab+ac第三章地点与坐标第一节、确立地点1、平面内确立一个物体的地点需要2个数据。2、确立地点的方法①队列定位法：在这种方法中常把平面分红若干行、列，而后利用行号和列号表示平面上点的地点，在此方法中，要切记某点的地点需要两个相互独立的数据，二者缺一不行。②方向角距离定位法：方向角和距离。③经纬定位法：它也需要两个数据：经度和纬度。④地区定位法：只描绘某点所在的大概地点。如“解放路22号”3、弄清（a,b）中a与b各代表什么含义，次序不可以写错；图形与语言的相互变换。（a是横坐标，b是纵坐标）第二节、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内，两条相互垂直且有公共原点的数轴，构成平面直角坐标系。其6/17中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；成立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描绘坐标平面内点的地点，把坐标平面被x轴和y轴切割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的观点对于平面内随意一点P，过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点的坐标。点的坐标用（a，b）表示，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的地点不可以颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当把a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不一样点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一对应的。4、不一样地点的点的坐标的特色①各象限内点的坐标的特色点P(x,y)点P(x,y)点P(x,y)点P(x,y)②坐标轴上的点的特色点P(x,y)在x轴上，则y=0，x为随意实数点P(x,y)在y轴上，则x=0，y为随意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上，则x，y同时为零，即点P坐标为0，0）即原点。③两条坐标轴夹角均分线上点的坐标的特色点P(x,y)在第一、三象限夹角均分线（直线y=x）上，则x与y相等。点P(x,y)在第二、四象限夹角均分线上，则x与y互为相反数。④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特色7/17位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标同样。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标同样。⑤对于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特色点P与点p’对于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）对于x轴的对称点为P’（x，-y）。点P与点p’对于y轴对称，则纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）对于y轴的对称点为P’（-x，y）。点P与点p’对于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）对于原点的对称点为P’（-x，-y）。⑥点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y。（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x。（3）点P(x,y)到原点的距离等于x2+y2。第三节、轴对称与坐标变化坐标（x，y）的变化图形的变化x×a或y×a被横向或纵向拉长（压缩）为本来的a倍x×a，y×a放大（减小）为本来的a倍x×（-1）或y×（-对于y轴或x轴对称1）x×（-1），y×（-对于原点成中心对称1）x+a或y+a沿x轴或y轴平移a个单位x+a，y+a沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单第四章一次函数第一节、函数1、函数的定义一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，假如给定一个x值，相应8/17地就确立了一个y值，那么我们称y是x的函数，此中x是自变量，y是因变量。2、自变量取值范围使函数存心义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实质意义几方面考虑。3、函数的三种表示法及其优弊端①关系式（分析）法两个变量间的函数关系，有时能够用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（分析）法。②列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。③图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。4、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值。（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在座标平面内描出相应的点。（3）连线：依照自变量由小到大的次序，把所描各点用光滑的曲线连结起来。第二节、一次函数与正比率函数1、正比率函数和一次函数的观点一般地，若两个变量x，y间的关系能够表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即y=kx）（k为常数，k≠0），称y是x的正比率函数。2、一次函数的图像:全部一次函数的图像都是一条直线。3、一次函数、正比率函数图像的主要特色：一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）的直线；正比率函数y=kx的图9/17像是经过原点（0，0）的直线。4、正比率函数的性质一般地，正比率函数y=kx有以下性质：①当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大。②当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。5、一次函数的性质一般地，一次函数y=kx+b有以下性质：①当k>0时，y随x的增大而增大。②当k<0时，y随x的增大而减小。6、正比率函数和一次函数分析式确实定确立一个正比率函数，就是要确立正比率函数定义式y=kx（k≠0）中的常数k。确立一个一次函数，需要确立一次函数定义式y=kx+b（k≠0）中的常数k和b。解这种问题的一般方法是待定系数法。第三节、一次函数的图象10/17一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转变为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式，而一次函数分析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完整同样。结论：因为任何一元一次方程都可转变为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．因此解一元一次方程能够转变为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值。从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确立它与x轴交点的横坐标值。第四节、一次函数的应用1、确立分析式的几种方法①依据实质意义直接写出一次函数表达式，而后解决相应问题。（直表法）②已经明确函数种类，利用待定系数法建立函数表达式。（待定系数法）③利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式。（等式变形法）2、要点题型①依据各种信息猜想函数种类为一次函数，并考证猜想。②运用函数思想，建立函数模型解决（最值、决议）问题。依据实质意义直接写出一次函数表达式，而后解决相应问题。特色：当所给问题中的两个变量间的关系特别了然时，能够依据二者之间的关系直接写出关系式，而后解决问题。明确函数种类，利用待定系数法建立函数表达式。特色：所给问题中已经明确见告为一次函数关系或许给出函数的图像为直11/17线或直线的一部分时，．．．．就等于告诉我们此函数为“一次函数”，此时能够利用待定系数法，设关系式为：y=kx+b,而后找寻知足关系式的两个x与的值或两个图像上的点，代入求解即可。第五章二元一次方程组第一节、认识二元一次方程组1、含有两个未知数，而且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。比如：y=x+1,x-y=3,2x+4y=8都是二元一次方程。注意：①方程中的“元”是指未知数，“二元”是指方程中有且只有两个未知数。②“含未知数的项的次数是1”是指含有未知数的项的次数是1，如3xy=8的次数是2，因此不是二元一次方程。③二元一次方程左右两边一定是整式。2、使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。3、含有两个未知数的两个一次方程所构成的一组方程，叫做二元一次方程组。4、二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。第二节、求解二元一次方程组1、解二元一次方程组的基本思路是经过消元将二元一次方程组转变为一元一次方程求解。消元的两大基本方法为带入消元法和加减消元法。2、带入消元法和加减消元法类定义合用种类步骤型将方程中的一个未知数多合用于方①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简代用含有另一个未知数的单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另程组中的方入代数式表示出来，并带一个未知数的代数式表示出来。②代入：将变形程有一个未消入另一个方程中，消去后的代入没变形的方程，获得一个一元一次方知数的系数元一个未知数。化二元一程。③解方程：解这个一元一次方程，求出一个是1或-1的法次方程朱为一元一次方未知数的值。④求解：将求得的未知数的值代入情况。程求解，这种方法叫做变形后的方程求出另一个未知数的值，从而获得12/17代入消元法，简称代入方程组的解法。将方程组中的两个方程①变形：先察看系数特色，将同一个未知数的系多合用于方经过适合变形后相加数化为相等的数或相反的数。②加减：用加减法加程组中两个（或相减），消去此中消去系数互为相反数或相等的同一个未知数，把减方程的未知的一个未知数，化二元二元一次方程组转变为一元一次方程。③解方消数系数同样一次方程朱为一元一次程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的元或许互为相方程求解，这种方法叫值。④求解：将求得的未知数的值代入原方程组法反数的情做加减消元法，简称加中随意一个方程，求出另一个未知数的值，从而形。减法。获得方程组的解。第三节、应用二元一次方程组——鸡兔同笼列方程组解应用题的步骤：①审题:弄清题目中所给出的等量关系和已知量、未知量。②找等量关系和设未知数：直接设未知数、间接设未知数。③列方程组：依据给定的等量关系成立方程组，一般来说，设几个未知数，就应当列出几个方程并构成方程组。④解方程组。⑤查验并作答：所求出的方程组的解在正确的基础上还要切合实质意义，答案要带单位。第四节、应用二元一次方程组——增收节支表格法解应用题将题目中的相关数目关系及其关系填在预先设计好的一个表格内，而后再依照表格逐层剖析，找出各量之间的内在联系，从而找到等量关系，列出方程。第五节、应用二元一次方程组——里程碑上的数图表法解应用题对于一些较直观的问题，可将题目中的条件及它们之间的关系用简单了然的表示图表示出来，而后依据图示中相关数目的内在联系，找到等量关系，列出方程。13/17第六节、二元一次方程与一次函数一次函数与二元一次方程的关系：直线y=kx+b上随意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=0的解。第七节、用二元一次方程组确立一次函数表达式1、一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的解可看作两个一次函数和的图象的交点。2、当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。第八节、※三元一次方程组1、假如方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，而且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。2、三元一次方程组的解题思路是：先消去一个未知数，把它变为二元一次方程组求解。简单步骤：①先依据详细题目确立一下要消哪个未知数(假定你看好要消的是未知数x)，而后将三个方程(下边用A、B、C表示三个方程)中的两个组合起来(在A和B，或许B和C，或许A和C，三种情况中取一种比较简单的组合)，消去未知数x。获得一个含未知数y、z的二元一次方程D。②再此外取两个方程(注意不可以是第一次已经取过的一种组合。如第一次取A和B，那么这一次你只好取B和C或A和C，这是要点，不然你不可以达到消去一个未知数的目的)，也消去未知数x(这时不可以消此外的未知数y或z，不然半途而废)，又得一个含未知数y、z的二元一次方程E。③将D和E两个方程组合成二元一次方程组，再消去一个未知数，比方y，从而解出z，从而求出y，最后求出x。3、至于消元的方法，你能够用“代入消元法”或“加减消元法”中的一种，一般依据系数的特色确立用哪一种消元法。往常系数有未知数“1”的用“代入消元法”比较方便，而同一未知数系数有倍数关系的用“加减消元法”比较方便。14/17第六章数据的剖析第一节、均匀数1、刻画数据的集中趋向（均匀水平）的量：均匀数、众数、中位数。2、均匀数：一般地，对于n个数X1,X2,X3···Xn我们把（X1+X2+X3+···+Xn）/n叫做这n个数的算术均匀数，简称均匀数，记着。3、加权均匀数：加权均匀数是将各数值乘以相应的权数，而后加总乞降获得总体值，再除以总的单位数。第二节、中位数与众数1、一般地，将一组数据按大小次序摆列，处于最中间地点的一个数据（或最中间两个数据的均匀数）叫做这组数据的中位数。2、一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。一组数据中的众数可能不只一个。第三节、从统计图剖析数据的集中趋向1、折线统计图众数：同一水平线上出现次数最多的数据。中位数：从上到下找到中间点所对的数。均匀数：能够用中位数和众数估测均匀数。2、条形统计图众数：是柱子最高的数据。中位数：从左到右找到中间数。均匀数：能够用中位数和众数估测均匀数。3、扇形统计图众数：为扇形面积最大的数据。中位数：按次序，看相应百分比，第50%与51%两个数据的均匀数。均匀数：能够利用加权均匀数进行计算。第四节、数据的失散程度1、极差：一组数据中的最大值与最小值的差称为极差。2、方差：方差是反应一组数据的整体颠簸大小的指标，它是指一组数据中各