土中的应力计算

第第214页第三章 地基中的应力计算一、土体应力计算的目的：

§3-1概述1、用于计算土体的变形，如建筑物的沉降；1、支撑建筑物荷载的土层称为地基。2、1、支撑建筑物荷载的土层称为地基。2、建筑物的下部通常要埋在地下肯定的厚度，使之坐落在较好的地层上。由自然土层直接支撑建筑物的称为自然地基3人工地基。4、而与地基相接触的建筑物底部称为根底。5、与建筑物根底底面直接接触的土层称为持力层。6、将持力层下面的土层称为下卧层。71〕自重应力附加应力；自重应力——在未建筑根底前，由土体自身的有效重量所产生的应力。附加应力——由于建筑物荷载在地基内部引起的引力。由外荷〔静的或动的〕引起的土中应力。〔2〕按土体中土骨架和土中孔隙〔水、气〕的应力担当作用原理或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应〔压〕力。有效应力——由土骨架传递〔或担当〕的应力。孔隙应力——由土中孔隙流体水和气体传递〔或担当〕静孔隙应力和超静孔隙应力。对于饱和土体由于孔隙应力是通过土中孔隙水来传递的，因而它不会使土体产生变形，土体的强度也不会转变。上部构造根底上部构造根底地基稳定问题和变形问题是稳定的；反之，假设地基内部某一区域中的应力超过了土的强度，那么，导致建筑物倾倒。假设地基土的变形量超过了允许值，即使土体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使用价值。因此，为保证建筑物的安全和正常使用，设计时必需对地基进展强度和稳定性分析并计算根底的沉降量。为此，就要争论在各种荷载作用下地基内部的应力分布规律。自然界的土层，一般从形成至今已经受了漫长的地质年月，在自重应力作用下早已压缩稳定。因此，自重应力不会引起建筑物的地基沉降，但是对于沉积或近期人工积存的土层，应考虑在自重应力作用下产生的变形。附加应力是地基产生变形和失去稳定性的主要缘由，其应力的大小除了与计算点的位置有关，还打算于基底压力的大小和分布状况。由于土体与连续介质具有不同的特点，具有分层性。所以作为地基的土层是单干脆弹塑性体和各向异性体，要对其进展准确的应力分析。目前还无简洁成熟的计算方法，因此，在计算土中的应力分布时，通常不考虑土的分层，假定地基为均匀连续的各向同性体的半无限直线变形体，这样就可承受弹性理论来计算土中的应力。大量的实践说明：当地基上作用的荷载不太大，土中的塑性变形还很小或没有时，荷载与变形之间近似成直线关系，用弹性理论计算的应力值与实例土中应力相差不大，在工程上还是允许的。所以本章将以弹性理论为根底的应力分析法，首先介绍自重应力的计算，接着争论基底压力压力的分布规律及其计算方法，然后分别介绍在各种荷载作用下附加应力的计算。§3-2地基中的自重应力1、自重应力的计算假定：地基为半无限弹性体，即自然土体在水平方向及地面以下都是无限的。地面只能产生垂直变形。因此，其内部任一点与地面平行和垂直的平面上，仅作用着地面竖向应力cz

和水平应力 、cx

。而剪应力0。 如图：设地基中某单元体离地面的距离为Z，土的容重为

，则该单元体上 szcz竖向自重应力cz

等于单位面积上的土柱有效重量，即 Zcz

K

σσ sxsycx

1

0 cz xy

0xz式中，K0

1sin”为土的静止侧压力系数条件下，侧向〔水平向〕有效应力与竖向有效应力之比。各种土的可K0KK01sin”；K00.95sin”；K0OCR(1sin”)，OCR为土的超固结比。

值不同，ZhzγZhzγ由上可知，土的竖向自重应力随着深度z的增大而直线增大，呈三角形分布，如图：2、对于均匀压实土体 Z cz

”Z假设有地下水位存在，由于存在水的浮力作用，计算自重时，到地下水位以下各土层的容重应以浮容重代替。3、对成层土体h、h1

h2

，相应的容重分别为、1 2

n

，则地基n hsz 11

h2

hn n

hi i4、存在地下水位时，地下水位以下的土体中还存在静孔隙水应力u。0u0

hw w例：设地基由多层土组成，各土层的厚度、容重如图，试求各土层交界处的竖向自重应力，并给出自重应力分布图注：” m w(G1)g” s w1e

(Gm

1)(1n)(G1)g (G1)sw”sw

1e

sm Gs

解：

sz1

(1h11sz2

h11

h22sz3

h11h

h22h

”h3 3”h”hsz4

11 22

3 3 4 4§3-3基底压力和基底附加应力基底压力〔接触压力基底压力〔接触压力：位面积压力。地基反向施加于根底底面上的压力称为基底反力。基底附加应力〔基底净压力是指基底压力扣除因根底埋深所开挖的自重应力之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。基底压力又称，这是建筑物荷载通过根底传给地基的压力，它是地基作用于根底底面的反力。它是设计根底及计算地基中附加应力的依据。因此，必需争论它的分布规律与计算方法。一、实际基底压力分布图的类型基底压力的分布很简单，它不仅与根底的刚度、平面外形、尺寸大小和埋深等有关，而且与作用在根底上的荷载大小与分布，地基土的性质等有关。①对于柔性根底〔如土堤、土坝、路基等，能随着地基一起变形，因此，刚度较小，基底压力与其上的荷载大小及分布一样。均布荷载荷载原地面荷载变形后的地面基底反力

b基底反力

基底反力如建筑物的墩式根底、箱形根底、水闸根底、混凝土坝等由于地基与根底的变形必需协调全都，故在中心荷载作用下地基外表各点的竖向变形值一样。这就打算了中心受压时刚性根底下的接触压力是鞍形，如图当刚性根底上荷载较小时，位于根底边缘的局部产生塑性 变形，边缘应力不再增大，而中间局部的应力可连续增大，应力图形渐渐由〔如图b〕当荷载接近于地基的破坏荷载时，应力图形又由抛物线形转为中部突出的钟形。

a b c上述应力图形转化的程度取决于图的性质及根底的埋深，对于根底不好而埋深又浅的根底，在荷载不太大时可消灭钟形的基底压力分布。由于目前对影响基底压力的因素争论部够，至今还不能承受考虑建筑物上部构造、根底、地基三者共同工作的方法来正确打算各种有用状况下作用于根底的荷载及基底压力的分布规律。在工程上常承受以下两种方法之一来打算基底压力的分布。刚性根底：刚度较大，基底压力分布随上部荷载的大小、根底的埋深及土的性质而异。当根底的宽度不太大，而荷载较小的状况下，假定基底压力的分布近似地按直线变化，因此可承受简化计算方法；对大尺寸根底，为了考虑根底刚度的影响，承受弹性根底梁理论来确定基底压力。下面介绍基底压力的简化计算方法1、竖直中心荷载作用下的基底压力N1、竖直中心荷载作用下的基底压力NGdpb①矩形根底pPGAFlpPGAFlbFv v(kP)AacFP与根底自重GP—上部构造传至设计地面的荷cv载；G—根底自重与回填土的总重。GG

Ah G

为一根底及回填土的平均重度，一般取20N/m

3h为根底埋深。假设在地下水位以下，应取浮重度计算之。假设在地下水位以下，应取浮重度计算之。②条形根底〔理论上L/B=∞，称为长条形根底，工程上当即按长条形根底考虑则在长度方向上截取l1mAb，P、G对应地取单位长度内的相应值，即〔应地取单位长度内的相应值，即〔KN/m〕如图，此时的基底压力为pFvAPGb(KP)apKN/mP、G为每米的上部荷载和根底自重。GM2、竖向偏心荷载作用下的基底压力e①矩形根底对于单向偏心荷载作用下的矩形面积基底的刚性根底如图a〕所示。 bppmaxppmax FmaxMminlb Wv

p

min

可按下式计算：

bl2

ePmaxePmax

Pmin式中，M—矩形基底的力矩；W—矩形基底面的抗弯截面系数，W而荷载的偏心矩eM。代入上式，得p p maxvFlb6evpmin)l

；6Pmax

e=L/6e>L/6依据材料力学的学问，可得：当e

l时，基底压力成梯形分布；6当e

l时，基底压力成三角形分布；6当e

lp6

min

0，此时基底与地基局部脱离，在工程上是不允许消灭拉力，从而使基底压力重分布，如教材图所示：2 F lp bF 得p v 〔k e。max

v

kb 2②条形根底在长度方向上截取l1m进展计算，P、G为每米的上部荷载和根底自重〔KN/m。p F M F M 1b2 Mmax

v v

而：W

〔是长边的平方，e

代入上式得：pmin

1b W b W 6 Fvp F (1 6emax v )pmin

b b依据材料力学的学问，可得：当e当e

b时，基底压力成梯形分布；6b时，基底压力成三角形分布；6当e

bp6

min

0，此时基底与地基局部脱离，在工程上是不允许消灭拉力，从而使基底压力重分布，如教材图所示：vvp 2F 2Fvv

〔l1kbe。max

3k1 3k 23、倾斜的偏心荷载作用时的基底压力①矩形根底RFv

RcosFh

Rsin为倾斜荷载与竖向线之音质倾角。pmaxpmaxFlbvpvminllbl

作用下的基底压力计算RPβRPβHPminPmaxRPβHPminPmaxp hFp hFlbhlbh

作用下的基底压力计算

nnP=H/A P=H/Bnn②条形根底pmaxpmaxF vvpminbbbb

作用下的基底压力计算p hFp hFhbRsinbh

作用下的基底压力计算nt只有附加压力才能在地基中产生附加应力三、基底附加应力〔基底净压力〔p 、pnt只有附加压力才能在地基中产生附加应力实际工程中，根底总是埋置在自然地面以下肯定的深度，势必要进展基坑开挖，这样一来就意味着加了一个负荷载。因此，应在基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是根底底面下真正施加于地基的压力，称为基底附加应力或基底净压力。基底净压力按下式计算：1p为均布状况p p pnpDc01、地基土层是各项均质的、连续性的各向同性体；2、地基土层线性变形体〔弹性体1、地基土层是各项均质的、连续性的各向同性体；2、地基土层线性变形体〔弹性体；、深度和水平方向上都是无限的。二、问题的分类1、空间问题：f(x,yz，应力是三个坐标的函数，lb10；圆形根底、矩形根底；2、平面问题：f(xz，应力是二个坐标函数，lb10；条形根底。三、附加应力根本解答1、竖向集中力作用下地基附加应力——半无限空间体弹性力学根本解当半无限弹性体外表上作用着竖直集中力p时〔如图，弹性体内部任一点X〕移，由法国的〔1885〕布辛内斯克〔Boussinesq〕依据弹性理论求得，其表达式：Px2z1 1

(2Rz)x2

zx

5

3 R(Rz) (Rz)2R3

R3 3Py2z 1 1 (2Rz)y2 z y R5

3 R(Rz) (Rz)2R3

R33P z3 3P z 2 R5

cos22R2

3Pxyz

(2Rz)xyσzτzyτσzτzyτzxτyzτxzτyxσxσyτxyPOrXxyYθRzZMxy yx

2R5 3 (Rz)2R3 zx

3Pxz22 R5

3P

yz2〔2－13e〕yz zy

2 R5p式中p式中， —基底处土的自重应力；c—基底以上土的加权平均容重，0(hh h)/D；Dhh12、对于基底压力为梯形分布状况0112 2n ndrd2h。np p D p pn min 0 tmaxpmin§3-4地基中的附加应力即为著名的布辛内斯克〔J.Boussinesq〕课题。这是求解地基中附加应力的根本公式。在上述6个应力重量中，对地基沉降意义最大的是竖向应力重量。下面主要争论竖向应力的计算及其分布规律。利用图中的几何关系R2r2z2 ，上式可以改写成以下形式：P 3PP

3 1

PK

式中， 3K

称为集中力作用竖向附加应z 2

2

z2 z2

2 r25/21

1 z

z 附加应力，然后依据弹性力学的应力叠加原理求出附加应力的总和。zi1

z2 i ii1

——第i个竖向附加应力系数。i四、空间问题条件下的附加应力计算1、竖直均布荷载作用下的附加应力均布矩形荷载作用时角点下的竖向附加应力如下图，微面积dxdy上的微集中力pndxdy，基底角点Ozd

3z3pn

dxdybLdpxydydxzz Ldpxydydxzy竖直均布压力作用下矩形基底角点Ozn2( x2y2z2n2( x2y2z2)5z 0 0 xp

1 1

m =n2K ps n

1m2

1n2

tan1n 1n 1m2n2

=实际工程中，当根底底面外形不规章或荷载分布较简单时，可将基底分为假设干个小面积，把小面积上的荷载当成集中荷载，然后利用上述公式计算附加应力。2、等代荷载法——根本解答的初步应用由于集中力作用下地基中的附加应力σz仅是荷载的一次函数，因此当假设干个竖向集中力Fi〔I=1，2，‥‥‥n〕基中z深度任一点Mσz的附加应力总和。即：实际工程中，当根底底面外形不规章或荷载分布较简单时，可将基底分为假设干个小面积，把小面积上的荷载当成集中荷载，然后利用上述公式计算附加应力。2、等代荷载法——根本解答的初步应用由于集中力作用下地基中的附加应力σz仅是荷载的一次函数，因此当假设干个竖向集中力Fi〔I=1，2，‥‥‥n〕基中z深度任一点Mσz的附加应力总和。即：nK F 1iKF力系数。无因次，是r/z的函数，可由图2－12或表2－2中查得。由式可知，在集中力作用线上，附加应力随着深度z增加而递减，离集中力作用线某一距离r时，在地外表的附加应力为零，随着深度的增加，渐渐递增，但到某一深度后，又随深度z的增加而减小，如图a所示；在某一深度z随着r的增大而减小，zzzzzz如图2b所示。z当地基外表作用有几个集中力时，可分别算出各集中力在地基中引起的〔2〕均布矩形荷载作用下任意点下的附加应力对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的状况，可利用上式角点法求ⅡⅠd ⅡⅠ得，如：O e第7页共14页 a b①OⅣⅢOⅠⅡ则 〔K+KⅣⅢOⅠⅡz sⅠ sⅡ②O

ea +K+K+Ka z sⅠ sⅡ

sⅢ sⅣdhe dh③Oabcd可看成Ⅰ〔ofbg〕-Ⅱ〔ofah〕+Ⅲ(ogce)-Ⅳ(ohde) O g则 〔K-K

+K-K〕P

f a bz sⅠ

sⅡ sⅢ sⅣ

e d c④OAbcdⅠ〔ohce〕-Ⅱ〔ohbf〕-Ⅲ(ogde)+Ⅳ(ogaf)则 〔K-K-K+K〕P

f a bO g ht度为零的角点Ot度为零的角点OO下任意深度的附如图，在矩形面积上作用着三角形分布荷载，最大荷载强度为p，把荷载强p*x/btptdA=dxdy以集中力dPpxxtbdxdy代替作xbdPOM处引起的竖直附加应力为：zd 3z3pxdxdy2R5bt将R x2y2z2代入上式积分得整个矩形面积z竖直三角形荷载时在角点O下任意深度z处所引起的竖直附加应力z1lb3p002btxz3(x2y2z2)5/2dxdyK pt1 t式中，K tmn2[1m2n2 (1n2)n2 为矩形面积竖直三角形(1m2n2)附加应力系数Kt1，Kt2均是m=l/b，n=z/b2－3。3、矩形基底受水平均布荷载作用时角点下的竖向附加应力p〔基底的水平方向均布切向力〕作用时，角h1，2第814页2、矩形基底受三角形分布荷载作用时，角点下的竖向附加应力〔图〕pt2xxbzp*x/bt荷载角点下的应力分布系数2－4查得，Kt=f(m,n)pt2xxbzp*x/bt2下的附加应力 (K K )p K pz2 s t1 t t2 t第第1014页z1z2z1z2K ph hKh

2m2n2

为水平荷载作用时地基竖向附加应力系数，(1(1n2) 1m2n2为矩形基底受水平均布荷载作用时的竖向附加应力分布系数mlb,nzb查表2-4。注：①b始终是水平荷载作用面对矩形基底的长度，不管其是长边还是短边，而l是矩形的另一条边长；③当计算点在基底范围以内或以外时，仍可用角点法和叠加理论计算；④明显在根底的b/2处的竖直线上，因ph引起的地基竖向附加应力为零载作用的状况同样可以应用。2mA2mBOmO3dc3maeab例：两柱下独立根底埋深为1.7m，根底底面尺寸为3×2㎡，作用于根底上的荷载均为F=1308KN，两柱中心距离为2mA2mBOmO3dc3maeab根底及根底台阶上回填土的平均重度G

20KN/m3〔1〕试求根底A中心点下地基附加应力〔2〕假设考虑根底B的影响，附加应力要增加多少？1〕求基底压力FG 130820321.7

F=1308KN

F=1308KN 252kpaA 32

O O1 221.4求基底净压力

23

170.9 rd252181.7221.4kpa0一、先求不考虑B根底影响时，A基底中点O下0，1，2，3，4，5，6，7，8等各点的z

4 545 33.7623616.87 12.48 9.7点 z b

z/b

4gs z s 0001.500.250221.4111.511.93170.9221.520.10794.8331.530.06154.0441.540.03833.7551.550.02623.0661.560.01916.8771.570.01412.4881.580.0119.7z二、求在根底BA0abc为I局部，Aoacd为II局部，泽”zⅠ-

2(s点zⅠⅡ点zⅠⅡl/bz/bl/bz/bsⅠsⅡ ”zz004.6703.3300.250.2500.0221.4114.670.573.330.670.22910.2290.04170.94224.671.333.331.330.1790.1770.8995.69334.6723.3320.1360.1321.7755.77444.672.673.332.670.1060.1002.6636.36554.673.333.333.330.0860.0793.1026.1664.6743.3340.0700.0623.5420.34774.674.673.334.670.0580.0503.5415.94884.675.333.335.330.0480.0422.6612.36例：某方形根底底面尺寸为6×6㎡，其上作用着竖直偏心荷载F=10000KN，偏心矩e=1m,试求根底中7.2m〔根底及根底台阶上土的重量不计〕解：yOyOxz6mⅠⅡ6FG 6e 10000 616mⅠⅡ6maxmin

(1 ) (1 )555.56kpaA B 66 6求基底净压力 rd555.56kpa0O点下z

z

2 ，z求O点位于角点下，zI

P P 555.56 555.56( ”)z I

T

T=0.064 -0.0297 =9.53kap2 2 2其中， S T

37.2f，〕f33II局部(z

”) =Ⅱ=

PSⅡ

P+TⅡ T+2 22

PTⅡ 2

=9.53kpa所以

”(z

”) ⅠzⅠ

”)Ⅱ=9.53+9.53=19.06kpa所以z

2z

”219.06kpa38.12kpa4、圆形基底受均布荷载作用下的附加应力计算〔1〕圆心下

z2 z2设圆心根底半径为r0

，均布荷载为pn

，要求圆心下任意点M处的竖向附加应力：z现承受极坐标系，原点置于圆心，在圆面积内任点一小微元体，则dArdrd，其上的微集中应力为dFp

rdrdn 2 r 2 r03pz23nz00rdrd Kp(r2z2)52 r ndF=dAP0dθrM(0,0,z)zKr

(

1 z2r201 z2r20

为圆形面积均布荷载中心点下的竖向附加应力系数，K

zrr

的函数，由表2－5查取。〔2〕任意点(r”)2r2l22rlcosR(r2l2z22rlcos)1/2

grgdrgd

grgdrgddF=dAP0rθdθrrRM(0,0,z)zd dF=dAP0rθdθrrRM(0,0,z)zz 2 R3 2(r2l2z22rlcos)5/2

o3g

0

grgdrgdz 0KgP0 0

02(r2l2z22rlcos)5/2K可按0

l,zr r0 0

查表求出由此可知，圆心点处的竖向附加应力是上例的特别状况，即当l0时三、平面问题条件下的附加应力理论上，当根底长度l与宽度b之比l/b平面问题，实际上，并不存在无限长的根底，大量的实践及争论说明，当l/b≥10时，其结果与l/b=∞时的状况相差不多，因此，水利工程中的土坝、土堤、水闸、挡土墙、码头、船闸、船坞等，当l/b≥10p为单位长度上的线荷载〔KN/M〕2px2z 2p 2pxz2 2p同理可求出

cossin2， cos2

sinx R1 1

xz zx

R1 1由于荷载沿y轴均匀分布且无限延长延长，因此与y轴垂直的任何平面上的应力状态完全一样，据弹性力学的学问，可得xz

， zx yz

0，y

(x

)z2、条形基底受竖直均布荷载作用时的附加应力设条形基底宽度为b，作用有均布基底净压力pn，则由符拉蒙解答可得地基中任意M点的竖向附加应1、竖直线荷载作用下的附加应力沿无限长直线上作用的竖直均布荷载称为竖直线荷载，当地面1、竖直线荷载作用下的附加应力沿无限长直线上作用的竖直均布荷载称为竖直线荷载，当地面xozM〔x，o，z〕的附加应力可依据布辛内斯克根本解运用积分方法求得3z pdy 2p3z332pcosz2R512pR31同理，2px2zx1cossin ，21 2pxz22pcossinxz zx121这就是著名的符拉蒙〔Flamant〕解答。力为：b2pnz0z3d K pz[(x)2z2] s n同理可求出：Kxp，x s n xzKps n0→b,要求：原点在角点；X轴正向与荷载分布方向全都KzKxK为条形基底受竖直均布荷载作用下的附加应力系数，它们是mxbnzb2-6。sss条形基底作用三角形分布荷载时〔三角形分布的基底净压力，最大集度为pt

，微宽度d上的线荷h=2m

γ=17.6KN/m31c=10KN/m2载为pdb，应用符拉蒙根本解答沿宽度b积分可得条形基底受t

1Φ=1601γ=18.4KN/m3三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力：

2γ=21.0KN/m3 Kzp；z t t

Kxp；t t

Kpt t

h=3m

mc=0KN/m2式中，Kz，Kx，K为条形基底受竖直三角形分布荷载作用 2t t t

Φ=320的附加应力系数，它们是mxb，nzb的函数。可查表 22-7。〔1〕〕X轴正向与荷载增大方向全都。4、条形基底受水平均布荷载作用时的附加应力当条形基底作用有水平均布荷载ph

〔作用于基底沿宽度b方向的切向力〕时，地基中任一点的附加应力同样可利用弹性力学中水平线荷载作用下的地基附加应力的根本公式求得： Kzp ；z h h

Kxp；h h

Kph hKz，KxK为条形基底受水平均布荷载作用时的附加应h h h力系数，均是mxbnzb2-8。〔1〕〔〕X轴正向与荷载方向全都。1：151601.5米，作用于水闸上的荷载如下图，求C点以下6米深度处的竖向附加应力〔地基土体自然容重为17.64KN/3，偏心距e=0.5。附表：m=x/B n=z/B表1、条形基底受竖直均布荷载时的KSZ值： 表2、条形基底受三角形分布荷载时的KTZ值：nmmmm0.250.9360.7970.6790.5860.250.2550.2630.2580.2430.500.9780.8810.7560.6420.500.4980.4410.3780.3210.750.9360.7970.6790.5860.750.6820.5340.4210.343

0.4

0.6

0.8

n0.2 0.4

0.6 0.8min对基底压力进展分解，并计算基底净压力：Ap0

pmin

D8017.641.553.54Kpa0BpT

pmax

pmin

1208040