《点集拓扑学》章§.子空间

#/6第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．§3.1子空间本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：定义3.1.1设（X,p）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，YXY^XXX.显然〃Lf：YXY-R是Y的一个度量（请自行验证）.我们称Y的度量〃显，，是由X的度量p诱导出来的度量.度量空间（Y，p）称为度量空间（X，p）的一个度量子空间.我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集,并且Y的度量是由X的度量诱导出来的.我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明.例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（，），a]（a等；+1维欧氏空间五”"中的M+1{丈=（西，知…，羽+1）已建+1=1}TOC\o"1-5"\h\z维单位球面 1维单位开、闭球体 』M+1仄=（吃，4,…，招+i）曰正必1 41}2-1以及维单位开、闭方体(0』期和［0」了等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间(考虑相应的度量诱导出来的拓扑)．定理..设Y是度量空间乂的一个度量子空间.则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U=VHY.证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆.对于x£X(y£Y),临时记度量空间X(Y)中以x(y)为中心以£＞为半径的球形邻域为%(工⑶，首先指出：冷有/⑶，目二%■＞，£)”.这是因为z£X属于斗⑶,日当且仅当z£Y且⑶取片zy£.现在设U£『f,由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并.于是□=u赤皿4/⑶，£)=u瓦回小式R工⑶,且n门=q趾…8工⑶，⑵n?，=U务⑶卢比且8笈(y,£)E0设 ，,u二vhy另一方面，设U=VHY,其中VE7^.如果y£U,则有y£Y和y£V.'々名式乂£)匚’有％按照定理3.1.的1启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务.定义.设A是一个集族，Y是一个集合.集族｛AHY|AeA称为集族A在集合Y上的限制定义引理.设Y是拓扑空间以，的一个子集.则集族丁卜是Y的一个拓扑.引理证明我们验证,卜满足拓扑定义中的三个条件:（）由于*£1和Y=XnY,所以丫£门一由于0£T,0=0nY,所以0£门¥()如果()如果A,B£『b,日口^B^T^A=Ar.Y,B=Br.Y即于是<cB=(NcF)c(另cF)=(Nc分)Nc自七丁；，工cBeT|f于是（）如果看是集族丁卜的一个子集族，即对于每一个A£方，疝E丁六工=区门工=1］的工=口业费（区门冷=01^©门丁：U备』WeTJU但工石丁卜定义 设Y是拓扑空间（X,T）的一个子集.Y的拓扑丁卜称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y,丁卜，）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间.我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X的拓扑而言的相对拓扑.此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．假设Y是度量空间X的一个子空间.现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑.事实上定理 已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的.下面把这层意思重新叙述一遍.定理 设Y是度量空间X的一个度量子空间.则X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间.定理 设X,Y,Z都是拓扑空间.如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个子空间.证明当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有匚X；并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是（（丁卜）k）二{UnY|U£T}}二{unYnZ|U£T}:{unZ|U£T}二,卜因此z是X的一个子空间.定理 设Y是拓扑空间乂的一个子空间，y£Y.则()分别记T和f为和丫的拓扑，则二门飞()分别记和界为和丫的全体闭集构成的族，则乒=门¥；)分别记“和方y为点y在和丫中的邻域系，则行y=/展证明(1)即是子空间和相对拓扑的定义．()成立是因为：内广［*一⑺"七为b={()WY|U£T}二{YUnY|U£T}={¥—"l'曰'}='()设"曰或1则m'E『myE,uU,因此存在片石丁使得v=^nY,令5=力2口,由于*匕匚%1小曰4并且S=(…M=VUU=U所以ue"31r以上证明"尸匚"3y.类似的论证指出"尸二"3y定理设丫是拓扑空间的一个子空间，A是丫的一个子集.则()A在y中的导集是A在中的导集与丫的交；()人在丫中的闭包是A在中的闭包与丫的交.证明为证明这个定理，我们仍分别记A在中的导集和闭包为d(A)和勾；而记A在丫中的导集和闭包分别为((A)和勺(A).()一方面，设y£,¥(A).则对于y在中的任何一个邻域U,根据定理 ，UnY是y在Y中的一个邻域，所以"C('Ty})二-⑻H0因此yGd(A).此外当然有y£Y.所以y£d(A)ny.这证明*"A)匚d(A)nY.

方面，设y£d(A)nY,方面，设y£d(A)nY,\Y,BUeUy,3^=UnYPc(工-⑻h0八工匚工^cX，c口—⑶})=(Vc(W—{刃))门丁=了门口—{>})工0所以y£或¥(A).这证明d(A)=^d(A)nY.(2)成立是因为勺(A);AU"1r(A)=AU(d(A)nY)=(AUd(A))n(AUY)=^nY定理 设Y是拓扑空间乂的一个子空间，y£Y.则()如果B是拓扑空间乂的一个基，则卫及是子空间丫的一个基；(2)如果修是点y在拓扑空间乂中的一个邻域基，则的k是点y在子空间丫中的一个邻域基.证明()设B是X的一个基.对于Y中的任何一个开集U,存在X中的一个开集V使得U=vnY；存在B的一个子族当，使得v=°&与B.因此U=u及鸟由于上式中的每一个BnY是中的一个元素，所以在上式中U已经表示成了^卜中的某些元素之并了.因此B卜是Y的一个基.(2)证明(略).“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分.这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味,然而我们在§2.2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间.在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：定义 设X和Y是两个拓扑空间，f:X-Y.映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚.如果存在一个嵌入f:X-Y,我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y.事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚.换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”丫的一个子空间.不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于