湖北省武汉市高三下学期数学5月质量检测试卷含答案解析

高三下学期数学

5

月质量检测试卷一、单项选择题1.集合A.，，那么〔 〕D.B.C.2.向量，那么以下向量中与垂直的是〔〕A.B.C.D.3.复数的虚部为〔

〕A.

1B.

－1C.

－iD.

i4.双曲线

：，那么

的离心率的取值范围为〔

〕A. B. C. D.5.2021

年我国832

个贫困县全部“摘帽〞，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡〞，全县脐橙综合产值年均

20

亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果〞.某品种脐橙失去的新鲜度 与其采摘后的时间

(天)满足关系式： .假设采摘后

10

天，这种脐橙失去的新鲜度为

10%，采摘后

20

天失去的新鲜度为

20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去

50%的新鲜度〔

〕( ，结果四舍五入取整数)C.43

天 D.50

天，假设，那么估计A.23

天 B.33

天某班有

60

名学生，一次考试后数学成绩该班学生数学成绩在

120

分以上的人数为〔

〕A.10 B.9展开式中常数项为〔 〕.A.11 B.-11C.

8D.

7C.8 D.

-7桌面上有三个半径为

2021

的球两两相外切，在其下方空隙中放入一个球，该球与桌面和三个球均相切，那么该球的半径是〔 〕A. B. C. D.2021二、多项选择题某学校为了促进学生德､智､体､美､劳全面开展，制订了一套量化评价标准.下表是该校甲､乙两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分(得分越高，说明该项教育越好).以下说法正确的选项是〔 〕德智体美劳甲班98乙班99甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差10.函数在上的值域为，那么实数的值可能取〔 〕B.C.D.

2的焦点.设是准线上的动点，过点A.

111. 为抛物线 ：为 ， ，线段作抛物线的两条切线，切点分别的中点为

，那么〔

〕B.直线 过点A. 的最小值为

4C.轴 D.

线段的中垂线过定点实数 ， ， 满足的最小值为，且，那么以下结论正确的选项是〔

〕C.

的最小值为 D. 取最小值时B.

的最大值为三、填空题13.数列

的前项和为 ，且满足，那么

.为“三个骰子向上的点数互不相同〞，事件 为“其中恰好有一个骰子向上的点

.抛掷

3

个骰子，事件数为

2〞，那么函数在 上有两个极值点，那么实数

的取值范围是

.16.如图，在边长为

2

的正方形及 把这个正方形折成一个四面体，使中， 、 分别是

、

的中点.假设沿

、、 、 三点重合，重合后的点记为 ，那么：外接球的外表积为

；的距离为

.〔1〕三棱锥〔2〕点

到平面四、解答题项和为

，，.的前 项和.；③17.各项均为正数的数列

的前〔1〕求 的通项公式；〔2〕设 ，求数列18.在① ；②使问题中的三角形存在，并求出，这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，的面积.问题：在中， ， ， 是角 ， ， 所对的边，，补充的条件是

▲

和▲

.19.如图，在正方体的动点，中，点 在线段.上，，点 为线段上，且平面〔1〕求 的值；〔2〕求二面角 的余弦值.某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有

4

个红球、6

个白球的甲箱和装有

5

个红球、5

个白球的乙箱中，各随机摸出

1

个球，在摸出的

2

个球中，假设都是红球，那么获一等奖，假设只有

1

个红球，那么获二等奖；假设没有红球，那么不获奖．〔1〕求顾客抽奖

1

次能获奖的概率；〔2〕假设某顾客有

3

次抽奖时机，记该顾客在

3

次抽奖中获一等奖的次数为X，求

X

的分布列和数学期望．椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为

2.〔1〕求椭圆 的方程；〔2〕设 ， 为椭圆 上两点， 为坐标原点，，连接 并延长交椭圆 于

E ，

试问，点 在线段 上，且是否为定值？假设是定值，求出定值；假设不是定值，请说明理由.处的切线方程；22.函数

.〔1〕求 在〔2〕关于 的方程有两个实根

，

，当时，求证：.答案解析局部一、单项选择题，，。1.【解析】【解答】因为所以故答案为：B.【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法求出集合

A，再利用并集的运算法那么，从而求出集合

A

和集合

B

的并集。2.【解析】【解答】对于A

选项，零向量与任何非零向量平行，

A

选项不满足条件；，B

选项不满足条件；，C

选项不满足条件；，D

选项满足条件.对于B

选项，对于C

选项，对于

D

选项，故答案为：D.【分析】利用两向量垂直数量积为

0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而找出与量。垂直的向3.【解析】【解答】，所以虚部为

1。故答案为：A.【分析】利用条件结合复数的乘除法运算法那么，从而求出复数部的定义，从而求出复数 的虚部。的代数表达式，再利用复数的虚4.【解析】【解答】双曲线的离心率为，因为，所以，即双曲线

的离心率的取值范围为故答案为：C.。【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出

a,b的值，再利用双曲线中

a,b,c

三者的关系式，从而求出c

的值，再利用双曲线的离心率公式结合m

的取值范围，从而求出双曲线的离心率的取值范围。5.【解析】【解答】因为采摘后

10

天，这种脐橙失去的新鲜度为

10%，采摘后

20

天失去的新鲜度为

20%，所以 ，那么

，设采摘下来的这种脐橙在

天后失去

50%的新鲜度，那么 ，即 ，所以

，那么。，因此故答案为：B.【分析】利用实际问题的条件结合指数与对数的互化公式，从而结合对数换底公式，从而求出采摘下来的这种脐橙在大约

33

天后失去

50%的新鲜度。6.【解析】【解答】因为数学成绩 ，所以由 可得：，所以该班学生数学成绩在

120分以上的概率为：，所以估计该班学生数学成绩在

120

分以上的人数为：故答案为：B.〔人〕。【分析】利用条件结合随机变量服从正态分布，从而利用正态分布对应的函数的对称性，进而求出该班学生数学成绩在

120

分以上的概率，再利用频数等于频率乘以样本容量，从而估计该班学生数学成绩在120

分以上的人数。7.【解析】【解答】将 看成一个整体，展开得到：，的展开式为：，取，当时，系数为：，系数为：，。当 时，常数项为故答案为：B【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中常数项

。8【.

解析】【解答】设三个半径为、 ，如下列图，那么三棱柱的球的球心分别为

、

、

，与桌面的三个切点分别为

、是一个底面边长为、高为的正三棱柱，，作，那么小球球心

在底面连接 、 、设小球半径为 ，那么上的投影为三角形，易知四边形，的中心 ，是矩形，，因为 是三角形因为的中心，所以，，所以，即，解得。故答案为：B.【分析】设三个半径为，那么三棱柱的球的球心分别为是一个底面边长为的正三棱柱，那么小球球心上的投影为三角形

的中心

，连接、 、 ，与桌面的三个切点分别为

、

、、高为、、，作，

进而求出，易知四边，，设小球半径为

，那么的中心，进而求出

AE

的长，因为在底面形 是矩形，因为 是三角形半径。，再结合勾股定理求出该球的二、多项选择题9.【解析】【解答】甲班的极差为,A

符合题意；甲班的平均数,乙班的平均数 ,B

不符合题意；甲班的成绩从低到高：8，9，9.5，9.5，9.5，中位数为

9.5,乙班的成绩从低到高排列：8.5，9，9，9.5，9.5，中位数

9，C符合题意；甲班的成绩的方差为 ,乙班的成绩的方差为 ,,D

不符合题意.故答案为：AC.【分析】利用条件结合中位数、极差的定义，平均数和方差公式，从而选出说法正确的选项。10.【解析】【解答】，因为，所以，又函数在上的值域为，，所以由正弦函数的对称性，只需，那么，因此

ABC

都可能取得，D

不可能取得。故答案为：ABC.【分析】利用两角和的正弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，再结合条件函数在上的值域为，

从而求出实数的可能值。11.【解析】【解答】由题意可得，准线，设，，，所以，不妨设 在 轴上方，那么，，：直线直线 ：，，，将两直线联立可得那么 ，，，又，所以的最小值为

4，A

符合题意；，，所以共线，所以直线过点 ，B

符合题意；因为 中点的纵坐标为由点差法可得，故轴，C

符合题意；，，又，，的垂直平分线方程为故线段 的中垂线不过定点，D

不符合题意.故答案为：ABC【分析】由抛物线的标准方程可得焦点，准线，设 ，在 轴上方，那么，利用导数的运算法那么求出导函数 ，不妨设再设直线 的点斜式方程为： ，直线 的点斜式方程为

：，，，将两直线联立结合韦达定理可得

A,B

两点的距离为，

又因为，再利用均值不等式不等式求最值的方法，从而求出的最小值，再利用条件结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，即示，从而推出两向量

共线，所以直线中点的纵坐标为 ，故斜率公式，得出 ，又因为，再利用向量共线的坐标表过点 ，利用中点坐标公式得出轴，由点差法可得

，再利用两点求，所以结合中点坐标公式和两直线垂直斜率之积等于-1，从而推出直线

的垂直平分线方程为

，故线段

的中垂线不过定点，从而选出正确选项。12.【解析】【解答】因为 ， ，所以 ；由柯西不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立；所以，因此，整理得 ，解得 ，即A

符合题意；由可得，而，当且仅当时，等号成立；，解得，，那么，，，时，，当时，，为减函数，所以 ，整理得B

不符合题意，C

符合题意；由 可得所以 ，因此所以 ，令 ， ，那么当 时， ，当故 在 为增函数，在所以 的极小值为又而 ，所以为增函数，，，，即 取最小值时 ，D

符合题意.故答案为：ACD.【分析】利用条件结合柯西不等式求最值的方法、均值不等式求最值的方法、求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，从而找出结论正确的选项。三、填空题13.【解析】【解答】当时，那么有，可得；当 时，由可得，上述两式作差得，所以， ，所以，数列因此，故答案为：是以。为首项，以 为公比的等比数列，。【分析】利用条件

结合而推出数列

是以

为首项，以数列前

4

项的和。的关系式，再利用分类讨论的方法结合等比数列的定义，从为公比的等比数列，再利用等比数列前n

项和公式，从而求出等比14.【解析】【解答】由题意，事件事件 发生的概率为发生的概率为，，因此。故答案为：

。【分析】利用条件结合条件概型求概率公式，从而求出的值。15.【解析】【解答】

，令 ，那么 .，当时，，此时函数单调递增，当因为函数时，，此时函数在单调递减.上有两个极值点，那么，解得，因此，实数

的取值范围是〔-π，0〕。故答案为：〔-π，0〕。【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用函数在 上有两个极值点，

从而求出实数a的取值范围。16.【解析】【解答】〔1〕在正方形 中， ， ，，在三棱锥中，那么，，，，且平面，将三棱锥补成长方体，所以，三棱锥外接球的直径为，因此，三棱锥外接球的外表积为；〔2〕，，，取的中点

，连接，那么，，那么设点 到平面

的距离为

，由故答案为：6π； 。，，可得，解得。，在三棱锥【分析】〔1〕在正方形 中， ， ，中，那么 ， ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以平面 ，且 ，将三棱锥

补成长方体，再利用长方体外接球的直径，进而求出外接的体对角线与外接球的直径相等，再结合勾股定理求出三棱锥球的半径，再利用球的外表积公式，从而求出三棱锥外接球的外表积。〔2〕利用条件求出三角形的面积，所以

，再利用三棱锥的体积公式求出

，再利用勾股定理求出

的长

，取

的中点

，连接

，那么 ，再利用勾股定理求出

SM的长，再结合三角形面积公式求出那么 ，设点

到平面

的距离为

，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出点

到平面

的距离。四、解答题17.【解析】【分析】〔1〕利用条件各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，，再结合

的关系式，再结合分类讨论的方法，从而利用等差数列的定义，结合等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。〔2〕利用〔1〕求出的数列

的通项公式结合

，

从而求出数列

的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而求出数列 的前 项和。；③，这三个条件中选择两个，补的面积。

因为18.【解析】【分析】在①

；②充问题中，使问题中的三角形存在，并求出理，所以

.又因为，利用正弦定，所以 ，再利用同角三角函数根本关系式，即 ，再利用三角形中角A

的取值范围，从而求出角

A

的值。假设选①， ，所以 ，那么 ，再利用三角形内角和为180

度的性质，所以三角形不存在，因此，只能选择②和③，再利用余弦定理结合条件从而求出

bc

的值，

由，

从而解方程组求出

b,c

的值，

所以，符合条件的三角形存在，

再利用三角形的面积公式，从而求出三角形19.【解析】【分析】〔1〕过 作用平行的传递性，所以

，因为的面积。于 ，连结平面，那么

，而

，再利，再利用线面面平行的性质定理推出线线平行，所以

，所以四边形两直线平行对应边成比例，所以是平行四边形，所以

，因为

，再利用，即 ，从而求出

的值。(2)过

作

于

，过

作

于

，连结

，因为， ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以平面，再利用平面线面垂直的定义推出线线垂直，所以

，又因为

，再利用线线垂直推出线面垂直，所以平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以是二面角 的平面角，设正方体的棱长为 ，那么，所以，在中，， ，再结合勾股定理求出 ，再利用直角三角形面积相等，得出，在 中，结合勾股定理求出

EM

的长，再利用余弦函数的定义，从而求出二面角 的余弦值。20.【解析】【分析】〔1〕记事件

A1={从甲箱中摸出一个球是