湘教版八上第3章作三角形学案邢进文

【同步教育信息】一.本周教学内容：湘教版八上第3章作三角形学案［教学目标］1.知识与技能会用直尺和圆规作三角形，了解什么是尺规作图。2.过程与方法了解什么是几何作图题以及几何作图的一般步骤。3.情感态度与价值观培养空间观念，能够在较复杂的图形中识别基本图形，并能顺利解决问题。二.重点、难点：1.重点：（1）三角形的几种作图方法。（2）三角形的作法在实际生产、生活中的应用。2.难点：能够画出较复杂的图形。三.教学知识要点：1.尺规作图的定义及步骤（1）只用直尺和圆规作图的方法叫尺规作图。说明：最基本的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的。（2）一般步骤有：①已知——将条件明晰、具体化②求作——具体叙述作图应满足的条件③分析——寻找作图的途径④作法——根据分析所得的作图方法，并依次画图，叙述作图过程⑤证明——验证所作图形的正确性⑥讨论说明：通常情况下，⑤⑥省略，③只在草稿纸上进行，因此实际作图步骤为：已知——求作——作法。2.五个基本作图（1）作一条线段等于已知线段（2）作一角等于已知角（3）平分已知角（4）经过一点作已知直线的垂线（5）作线段的垂直平分线3.常用的作图语言（1）连结××（2）在××上截取××＝××（3）延长××到×，使××＝××（4）以点×为圆心，××为半径作图（或弧）（5）以点×为圆心，××为半径作弧，交××于点×（6）作××平分∠×××（7）过点×作××⊥××，垂足为点×（8）作线段××的垂直平分线××4.运用基本作图作三角形（1）已知三边作三角形（2）已知两边及其夹角作三角形（3）已知两角及其夹边作三角形【典型例题】例1.如图，已知∠α、∠β，线段a。求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a分析：此类作图题常用奠基法，即不妨先画个假设图，对“已知作成”的草图进行分析，以确定作图的思路与顺序。本题关键是确定三角形的三个顶点，容易先确定A点，其次确定C点，A点确定时难以下手，因为AB的长度不知道，可利用三角形的内角和是180°的已知知识，设法求出∠C，将所给的“角角边”条件，转化为“角边角”作图。作法：（2）作线段BC＝a（3）分别以B、C为顶点，以BC为一边作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ，射线BM、CN交于点A，则△ABC就是所求作的三角形。说明：一般作图题常用“奠基法”，希望同学们认真体会。例2.已知：斜边和一直角边，求作直角三角形。已知：线段c和b（c＞b）求作：Rt△ABC，使它的斜边AB＝c，一条直角边AC＝b。分析：求作三角形时要给定三个条件，但求作特殊的三角形，等腰或直角三角形时，常常只需给出两个条件，此时应挖掘隐含条件“等腰或直角”。作法：（1）在l上任取一点C，过点C作CD⊥l（2）在l上截取CA＝b（3）以点A为圆心，C为半径作弧，交CD于点B（4）连结AB∴△ABC为所求的直角三角形例3.如图，在一条河流的北侧，有A、B两处牧场，每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草，请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路线最短？分析：将河流看作直线l，设羊群在河边的饮水点为C'，则羊群的行走路程为AC'＋C'B，设A关于直线l的对称点A'，由对称性知C'A'＝C'A，因此，羊群行走的路程为A'C'＋C'B，线段A'C'与C'B是连接点A'与点B之间的折线，由线段基本性质知，连接点A'与B之间的线中，线段A'B最短，设线段A'B与直线l交于C，那么C点就是所选的最好的饮水地点。解：作A关于直线l的对称点A'，连结BA'，并设线段BA'与l交于C，设C'是l上不同于C的任一点，只要说明AC'＋C'B＞AC＋CB即可。利用线段基本性质及点关于直线的对称性知：而A'B则是连接这两点之间的线段即选择C点作为羊群的饮水点，羊群行走路线最短。说明：此例题主要考查了点关于直线的对称性和三角形两边之和大于第三边等基础知识。例4.已知：线段a、S，S＞2a。求作：等腰三角形，使它的底边等于a，周长等于S。分析：本题是已知周长和底边，求作等腰三角形的问题。考虑到周长这一线段上也包括底边长，所以先画线段BM＝S，在S上截取BC＝a，剩下的一部分线段CM就是“两腰和”，而因两腰相等，可作CM的垂直平分线找到中点N，此时问题就转化为“分别以BC、CN、NM为三边作三角形”这一简单问题。作法：（1）作线段BM＝S，在BM上截取BC＝a；（2）作线段CM的中点N；（3）分别以B、C为圆心，以CN长为半径画弧，两弧相交于A，连结AB、AC。∴△ABC即为所求作的三角形说明：本题实质是剖因析果解作图题，剖因析果解作图题，就是把作图题的已知条件和求作结果理解为一种因果关系，通过一系列几何形象思维和图示分析，利用有关知识技能认真剖析二者之间的内在关系，尝试画出草图，按题意整理思路，正式作图，写出作法。例5.求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段。已知：线段a求作：△ABC，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝a。分析：作等腰直角三角形或等边三角形只需一个条件，有时作图不止一种作法，同几何证明题一样，我们也要善于探索多种画法，选择一种最简单的画法去作图，下面我们列举四种这道题的画法。作法一（如甲图）：（1）作线段BC＝a（2）分别过B、C点作BD、CE垂直于BC（3）分别作∠DBC、∠ECB的平分线BM、CN，它们交于点A∴△ABC就是所求作的等腰直角三角形作法二（如乙图）：（1）作线段BC＝a（2）作∠MBC＝45°（3）作∠NCB＝∠MBC，且CN、BM交于点A∴△ABC就是所求作的等腰直角三角形作法三（如丙图）：（1）作线段BC＝a（2）作∠MBC＝45°（3）过C作CE⊥BM于A∴△ABC就是所求作的等腰直角三角形作法四（如丁图）：（1）作线段BC＝a（2）作BC的中垂线，垂足为O（3）在OM上截取OA＝OB，连结AB、AC∴△ABC就是所求作的等腰直角三角形【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.填空题。1.在以前我们已经学习了五种基本作图，它们分别是：（1）___________________ （2）___________________（3）___________________ （4）___________________（5）___________________2.尺规作图的画图工具是___________________。3.若有一条直线能将一正方形的纸片分成面积相等的两个部分，那么这样的直线能作__________条。4.经过直线MN上一点P作MN的垂线，就相当于作平角∠MPN的__________。5.作锐角∠AOB的余角，其作法是过点O作射线OA（或OB）的__________。6.已知线段a，求作等边三角形，使其边长为a，其作法是：（1）作线段AB＝__________（2）分别以A、B为圆心，以__________为半径作弧，两弧交于点C（3）连结__________和__________△ABC就是所求作的等边三角形。二.选择题。1.下列说法中正确的是（）A.作AB的平行线是基本作图B.作一个角的余角是基本作图C.只要给出三个条件，就可以作出唯一的三角形D.只给出一腰和顶角，也能作出一个等腰三角形2.关于下列作图题的作法叙述正确的是（）A.作直线OC平分∠AOBB.过点A作直线AB的垂直平分线C.过点C作线段AB的垂直平分线D.作线段AB的垂直平分线3.下列作图语言，叙述正确的是（）A.以A、B为端点，作直线ABB.以B为端点，作射线ABC.作线段AB，使AB＝aD.连结AB，使AB⊥a4.作出△ABC一边BC上的高AD，角平分线AE及中线AF，则三者中可能落在△ABC外部的是（）A.AD B.AE C.AF D.都没有可能5.下列条件中，不能唯一作出直角三角形的是（）A.已知两条直角边B.已知两个锐角C.已知一个锐角及其邻边D.已知一个锐角及其对边6.下列作图语言中，完全正确的是（）A.以a长为半径作弧B.延长射线OA到B，使AB＝OAC.延长射线AB到C，使AB＝BCD.过直线l外一点作直线l的平行线7.已知三角形的两边a、b和边a的对角∠A，则由此条件确定的三角形的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.以上三种情况均有可能发生三.解答题。1.已知两边和第三边上的中线，求作三角形。2.已知：∠α和线段m求作：△ABC，使AB＝AC，∠α3.三等分直角。4.求作一点P，使PA＝PB，PC＝PD。

【试题答案】一.1.（1）作一条线段等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）经过一点作已知直线的垂线（4）作已知线段的垂直平分线（5）平分已知角2.圆规和直尺3.无数条4.角平分线5.垂线6.a，a，AC，BC二.1.D 2.D 3.C 4.A 5.B 6.D 7.D三.1.先作△ABD，使AB、BD等于两已知线段，作三角形的两边，AD为第三边中线的两倍，再作AD的中点E，连BE，并延长至C，使EC＝BE，连结AC，则△ABC为所求作的三角形。2.作法：（1）作∠PAQ＝∠α（2