第六章单元能力测试

单元能力测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为( 答 解 9的值为 在等比数列{an}中，若a3a5a7a99的值为 答

a解 357915a7＝3

9＝7＝a7

100m0.7℃14.1℃，山脚的气温是26℃.那么，此山相对于山脚的高度是( A．1500m B．1600mC．1700 D．1800答 f(x)

2f（n

∈N*)，且f(1)＝2，则 答 2f(20)＝f(19)2 2解 f(n＋1)＝f(n)＋n，∴f(19)＝f(18)＋22f(2)＝f(1)2累加得：f(20)＝f(1)＋1＋2＋…＋19 2 ax－1，ay，a－x＋1(a>0a≠1)成等比数列，则点(x，y)坐标系内的轨迹位于 第一象 解 ∵成等比∴(ay)2＝ax－1·a－x＋1，2y＝x－1－x＋1，已知等比数列{an}的公比q<0，其前n项的和为Sn，则a9S8与a8S9的大 答 解析

a9a1(1－q8

a8a1(1－q9

a8a1(q－q9－1＋q9)＝－a1a8＝－a2q7，因为a2>0，q<0，所以－a2q7>0，即a9S8>a8S9，故选

m，n，m＋n成等差数列，m，n，m·n成等比数列，则椭圆mn的离心率为 22.22答

B.D.解 由题意知∴e＝c＝ 数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若Sn＝2n，则 3 3

答 解

b

2首项为1，公差不为0的等差数列{an}中，a3，a4，a6是一个等比数列的 答 436解 a2＝a 436 ∴a6＝a4·q＝－41＝0(n∈N*且n≥2)则此数列为( 解 又 a2＝1，∴从第二项起为等比数已知数列

A．第48 B．第49C．第50项 D．第51项

解 (1)(2

2 )，…，(

65105个，其项数为6定义：在数列{a}中，若满足

d(n∈N*，d为常数) a{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝2，则a2009a个位数字是)答

解

∴bn＝n，

an

a2 ana1a1a·

＝2006×2007×2008二、填空题(4520上 q 解 ，所

1

＝－32q5＝(－2)200911003‰(复利)，到2009年12月底取出的本利和应 元答 2解 应为1200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1200＋0.3×12×1321223.4(元已知等差数列{an}中，a3＋a8＝a5，则 答 解 22

11(a1＋a11＝

1x2－(2n＋1)x＋1＝0b＋nb＋数列{bn}的前n项和Sn等 答 n解 an＋an＋1＝2n＋1，anan＋1＝1，bn＝ .由a1＝1，得 3，S1＝1＝1＝1，S2＝1＋1＝1＋1＝1＋1＝2可得，Sn＝n

17．(10分)在等比数列{an}a3＝

S3＝

a12解 ①当q＝1时，S3＝3a3成立，此时2

22②当q≠1时，由题意，a1(1－q3

解得a1＝6，q＝－1.所以22

或

(1)求数列{an}的通项(2)数列{anSn}中，从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数解 解得 ∵－2n＋85项起为负数，－n2＋7n8∴an·Sn8＋a7＝26.{an}n(1)an＝(2)令bn 1 (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.＝ (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.n（a1＋an由于 (2)nn因此 ＝11－14n

1 1

4所以数列{bn}的前n项和 420．(12分)已知数列(2)λ＝3

{bn}n 得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝当λ＝3时 3－2＝1，a1＝a2，故λ＝3不合题意舍去 λ＝1an＝λan－1＋λ－2∴数列{an}a1＝1，d＝－1(2)λ＝3an＋1＝3(an－1＋1) 2∴数列{bn}b1＝332 ＝23（1－3n∴S

21(8项和为－4.(1)求数列{an}的通式(2)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}n解 (1)设{an}的公差为d.由已知得(2)由(1)的解答可得，bn＝n·qn－1，于q≠1q两式相减得到nqn＋1－(n＋1＝nqn＋1－(n＋1)

q－1

n(若q＝1，则 n(n＋1)， 所以，Sn＝nqn＋1－(n＋1) ，q≠122．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通式(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式Tn－2>2010n 减得an＝2an－1＋1.an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列．因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.a1＋1＝2an＋1＝2n(2)bn＝(2n＋1)an＋2n＋1①－②

所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.若

2＋2n－1

>2010

>2010n1．(2010·江西卷，文)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则 答 解析记数列{an}的公比为q，由a5＝－8a2，得a1q4＝－8a1q，即q＝－2.由|a1|＝1a1＝±1a1＝－1时，a5＝－16<a2＝2，与题意不符，舍去；当a1＝1时，a5＝16>a2＝－2，符合题意，故an＝a1qn－1＝(－2)n－1.y＝1－x2上存在不同的三点到点(2,0)的等比数列的公比不可能是 2222答

B.33解析曲线y＝ 1－x2是半圆不妨设点(2,0)到曲线y＝ 的三点的距离分别为d1，d2，d3，它们构成的等比数列的公比为q.不妨令3d1q2，显然1≤d3≤3，所以1≤q2≤3，又1≤d1≤3，所以 3

3 3已知数列{an}a1＝2m，n，都有3

则n等于 22答

3解 令m＝1，得an＋1＝a1＋an，即an＋1－an＝a1＝2，可知数列{an}是3a1＝2d＝2

，即an＝2

设{an}是以2为首项1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比Mn＝ab1＋ab2＋…＋abn，则{Mn}2009的项的个数为() 答 解

(1)

{n

(2)若数列{b}满足 ＝bn＋Sn(n∈N*) 式 n ＝ n

解 (1)由nan＋1＝(n＋2)Sn得n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，

列

- n-n

n}1＝a＝12的等比数列，n

，S

(2)由条件 ＝n＋2n－ ＝n，则c1＝2，当n≥2时 n＝1时，也满足上式 n已知正项数列{an}满足n

nn解 (1)解：∵an＋nannn＝122n＝2a2＋2a22nn∴a2＝－1±2.∵an>0，∴a2＝2－1.(2)证明：∵an＋na－1＝0，nn∴anxn＋nx－1＝0的一个根．设f(x)＝xn＋nx－1，∴f(x)＝0在(0,1)∴f(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一的根，且根在(0,1)nn证明：∵an＋nann111n1nnan≤an＋1，∵0<an<1n n1(an－an)>n11n与an＋n＋1－an＋(n＋1)an＋1－nan＝01n已知等差数列{an}nSnS4＋a2＝2S3，等比数列{bn}满足求证：{bn}中的每一项均为{an}中的项若

{cn}满足

1·cn＝(－1)n(1＋2log2bn)，求数列{cn}的前

证明设等差数列{an}的公差为d，由S4＋a2＝2S3得4a1＋6d＋a1＋d＝b∴b1＝2a1，b2＝4a1，等比数列{bn}的公比b1∵2n∈N*，∴{bn}中的每一项均为{an}中的 ∵a1＝1，∴bn＝n 2由bn＋1·cn＝(－1)n(1＋2log2bn)，(－1)