关注实验区的高考试题

关注实检区的春考试题

重视新课标的相导作用

太谷中学胡本智

走进高中新课程，面对教材的变化，一开始很多老师不适应，又

因为受已有教学经验的影响，在教学中有意无意地走回到大纲教材

中，而且经常以考试大纲下“高考怎么考”为借口来佐证这种教学行

为是正确的。高考怎么考，教学就该怎么教？高考考好了，素质教育

就搞好了。但如果全然不顾新课标的指导作用，那样的教学注定是要

失败的。最终导致高考和素质教育的失败。今天想通过剖析首次进入

新课程实验的实验区高考试题，我们大家来共同窥探新课程高二数学

的学习究竟该怎么样导学？

一、试卷整体认识：（以07、08、09、10年宁夏、海南

广东、山东为彳列分析）（大纲教材选12、填4解6：17是解三角形、三角函数、平面向量的组合；

18概率统计、离散型随机变量的分布列19是空间向量、立体几何20是函数、导数21是解析几何、平面

向量22是数列、函数、不等式）

理科

选做题（三选一）

选择填空

年份1718192021

题题222324

124个

4-14-44-5

2007个题，三角立体解析概率函数

（解几何几何（二（导

斜三（线（椭项分数）

角面、圆）布、

形）二面互

角）斥）

立体概率

儿何（离

解析

（线散…函数

儿何

2008数列线方（导

（椭

角、差、数）

圆）

线面函

题，

每题角）数）

每题

5分立体

5分

三角儿何

（解概（线

解析

斜三率、线、函数

几何

2009角统计探究（导

（椭

形，（必线数）

圆）

做方修3）面、

案）二面

角）

立体统计解析函数

2010数列

儿何案例儿何（导

（线（椭数）

线、圆、

线面数

角）列）

文科

选做题（三选

选择填空

年份1718192021一）

题题

222324

立体

12

4个几何

个函数概率解析儿

题，同理（面

2007题，（导（方何（圆、

每题科面、

每题数）程）向量）

5分线4-14-4

5分

线）同同

理理

科.科

2008三角立体统计解析函数

几何概率几何（导

（三（必(I-L数）

视修线与类似但

图、3)圆）比理科

位置简单

关

系）

一角立儿

解析函数

（解（线同理

几何（导

2009斜三线、科

（椭数）

角体184-14-44-5

圆）

形）积）同同同

立儿理理理

解析

（面同理函数科科科

几何

2010数列面、科（导

（椭

体19数）

圆）

积）

可以看出高二数学学习非常重要，高考五个大题都要体现

在高二必修5、选修2-1、2-2、2-3（理科）当中，必修5、选修

1-K1-2（文科）的学习中完成。

二、从实验区高考试题，窥探高二数学教学（必修5—选

修2-1到选修2-3）

必修5第一章《解三角形》体会

与大纲相比较课标侧重解三角形的实际应用

（一）、试题特点分析

（1）.以解三角形的运算为主，以选择和填空题的形式进行考查。

例如2010年的海南宁夏卷和广东卷。

例1.（2010广东13）已知&b,c分别是△/%的三个内角』B,

。所对的边，若a=l,b=y/3,A+C=2B,则sin/=.

例2.（2010海南宁夏16）在AABC中，D为边BC上一点，

BD=iDC,ZABC=120°,AD=2,若AADC的面积为3-G,则ZBAC=

2

例3.（2010湖北3）在AABC中，a=15,b=10,ZA=60°,则cos8=

（2）.考应用，融入三角形之中。包括正（余）弦定理，面积公式等,

并结合三角公式进行解三角形。

例如2010年的海南宁夏卷和福建卷。

例4（2007宁夏海南理17）

如图，测量河对岸的塔高居时、可以选与塔底8在同一水平面内的

两个测点C与。.现测得N8CO=a,2BDC=P，CD=s,并在点。测得

塔顶A的仰角为6,求塔高43.

例5.（2010年福建19）某港口。要将一件重要物品用小艇送到一艘

正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口。北偏西30°且与

该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东

方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以。海里/小时的航行速度匀

速行驶，经过「小时与轮船相遇。

（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为

多少？

（II）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方

案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与

轮船相遇，并说明理由。

例6（2009宁夏海南理17）（本小题满分12分）

为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测

量，A,B,M,N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的

数据有俯角和A,B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要

测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计

算M,N间的距离的步骤。

，4----1---

(二)、与大纲考查规律的比较

(1).加强了对学生应用意识的考察。

(2).弱化了公式的记忆和复杂运算

(三)、对《解三角形》教学的建议

1.要重视学生的创造能力和创新意识的培养，注重基础知识的落

实和学生运算能力的提高

学生的运算能力、创造能力和创新意识并非与生俱有，必须通过

有意识的学习和训练才能形成。数学教育必须重视培养学生应用所学

知识进行创造性工作的能力。要培养学生的创造能力，就要让学生具

有积极探索的态度，猜想、发现的欲望。数学教学要设法鼓励学生去

探索、猜想和发现，培养学生的问题意识，经常地启发学生去思考，

提出问题、分析问题并解决问题，最终提高学生应用数学解决实际问

题的能力。

课程标准要求在本章的教学中，学生应该在已有知识的基础上，

通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角

度之间的数量关系。所以，在本章的教学中，应该根据教学实际，启

发学生不断提出问题，探究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明

的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的

方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启

发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方

法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的

过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出

自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一

些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中

可以直接应用的算法。

、利用学生的生活经睑和知识储备，设计和普选教学情境

教师带领学生旅澎，精品线路旅赏：播放

“水上看宿迁”。

宿迂城区12公里长的古运河上，将横亘起

9座大桥，9桥通车后，和马湖将被/'成功"纳入市

区。京杭大运河宿迂段将喜现“九龙卧充'新景观。

、利用学生的生活经检和知M储备，设计和替造教学情境

问题情境

实际问题：

正在兴建的项王路运河五号桥，高一①、⑥班研究性学

习小组为了测量三个抛物线桥拱的跨度，他们选定桥拱两端

两个立柱，西端为A点、东端为B点，测量者在运河西岸边

选定一点C,用卷尺测出AC的距离是70m,用经纬仪测得

NBAC=83°,NACB=80°，这样能确定AB间的距离

吗？

教材编写指导思想

1.讲背景，讲思想，讲应用，

2.强调问题性、启发性，引导教学方式变革

3.强调基础性

4.突出数学思考方法的引导

5.适当使用信息技术

凡A5社

PEOPLE'SEDUCATIONPHESS

2.重视认真完成实习作业：认真组织完成实习作业它可以强化学生

学数学、用数学的意识，可以激发学生的数学求知欲、学习数学的兴

趣，但一定要注意方案的选择和设计，课本上有范例，至少要求学生

做一个。

本章安排了一个实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知

识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及

用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识

和数学实践能力。在学习测量这样的内容时安排实习作业，对于学生

真正理解和掌握所学的知识是非常必要的。

在做实习作业之前，应该要求学生准备好测量工具，如经纬仪和

钢卷尺或皮尺等。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实

际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的

一些问题。对于实习作业，要求写出实习报告。

实习作业中的问题

现实世界的许多问题中都存在相互关联的各种变盘，研

究这些变址之间的相互关系.能够使我们发现事物发展的一

些规律.从而为我们的判断和决策提供依据.卜.血请同学们

根据自己对身边方物的观察和体会,通过查阅资料、讨论等

方式,确定要研究的统计问题，然后进行抽样渊查.收集数据，并进行整理.和分析.报后

时问题中的规律作出判断.确定研究问题时•要注意问题的意义.

以下几个问题.供同学们参考.

1.在校111学生每冏使用计算机时间的网花

（1）要调在的问题必什么？

（2）如何设计抽样方案？

⑶如何分析数据？

（4）从中能够得出什么规律？

（5）关于使用电脑问题,你能给同学们提出哪的建议？

2,中学生物理成绩可数学成绩之间的相关关系.

（1）要研究的问题是什么？

（2）如何设计抽样方案?

（3）如何分析数据？

<4）从中能够得出什么规律？

（5）关于如何处理好物理学习与数学学习之间的关系？你能给同学们提出哪些建议？

卜贞的“实习报告”供参考.

必修5第二章《数列》的体会

概述在原高考中，对数列的考查往往以递推数列的形式,出现在

最后两道解答题中，教材中不多出现的递推数列于是成为高考的热点.

但新课程高考的第一年2007年，海南宁夏文理科试卷均无数列的解

答题,以两道小题代替大题，山东理科卷把数列提到了解答题的第1

题，文科卷为解答题第2题，均为较简单的求通项、求和问题；2008

年海南宁夏文科卷无解答题，理科卷为解答题第1题，是一道很简单

的等差数列求通项、求前。项和的最大值问题；2009年没有出现数列

解答题的新课改省份有：海南宁夏卷（文理），福建理科卷，辽宁理科

卷，浙江理科卷.这种变化，与数列的课时数仅12课时是相对应的，也

体现了《课程标准》对数列教学要突出数列是特殊函数的思想。

（一）、试题特点分析

1.客观题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，可以说只

要课本知识掌握，解决这些题是不成问题的.

例1（2008宁夏海南理4）设等比数列｛4｝的公比q=2,前n项和为S”,则包=

a2

（）

1517

A.2B.4C.—D.—

22

例2（2009宁夏海南理7）等比数列｛a,,｝的前n项和为s”,且4%,2al,4成

等差数列。若％=1,则s,：

（A）7（B）8（3）15（4）16

2.主观题考察数列本质，突出数列是特殊函数的思想。

例3（2010陕西理）16.（本小题满分12分）

已知卜力是公差不为零的等差数列，5=1,且由，。3,加成等比数列.

（I）求数列匕力的通项；（11）求数列｛四｝的前n项和S.

例4、（2008宁夏海南理17）（本小题满分12分）

已知数列｛《,｝是一个等差数列，且%=1，%=-5。

（1）求｛%｝的通项（2）求也“｝前n项和S“的最大值。

例5（2010宁夏、海南理17）（本小题满分12分）

2nl

设数列｛%｝满足％=2,an+l-an=32~

（I）求数列｛4｝的通项公式：

（11）令b“=nci",求数列也｝的前n项和Sn.

例6（2010湖南理）21.（本小题满分13分）

数列｛2｝（“wN*）中，/=。/是函数（x）=$3_g（34+〃2*+

的极小值点

（I）当a=0时，求通项％;

（II）是否存在a,使数列｛%｝是等比数列？若存在，求a的取值范围；若

不存在，请说明理由。

(二)、与大纲考查规律的比较

1.《标准》要求

(1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示法

(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.(2)等差数列、等

比数列：①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念.②探索并掌

握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.③能在具体的问题

情境中，发现数列的等差关系和等比关系，并能用有关知识解决相应

问题.④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.

2.《大纲》要求

(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是

给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.(2)理解

等差数列的概念，掌握等差数列通项公式与前n项和公式，并能解决

简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式与

前n项和公式，并能解决简单的实际问题.

3.联系与区别

从上述要求可以看出，《标准》与《大纲》相比，对数列内容的

要求变化不大，即主干知识基本不变，最大的变化是《标准》突出了

数列与函数的内在联系，《大纲》比较注重数列中各参量之间的关系

以及恒等变形.《标准》对数列内容的整体定位是：数列作为一种特

殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.在数列的学习中，学生

通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这

两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数

列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.

（三卜对《数列》的教学建议

1.重视学生自主性学习能力和创新意识的培养

自主性学习能力是一个人今后生存和发展的前提和先决条件，而

适应未来社会发展要求的创新意识的培养又是现代社会培养人才的

方向和目标。

本章内容的设计，考虑到了培养学生的自主性学习能力和创新意

识的社会要求，提供了可供学生自主探索的空间和余地。实际教学中，

要让学生充分体验数学知识的形成过程，要尽可能的让学生经历观

察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索的过程，鼓

励学生说出各种可能的设想和猜测。教师在教学中是组织者、引导者,

要把人类已发现的这些“现成的数学”，经过教学法的加工，变为学

生在教师指导下亲自“发现”的结论，也就是学生自己“做出来的数

学”。这种亲身体验和经历的过程，如同是重新经历数学的发现过程,

也就是学生的“再发现”过程，可以启迪学生发现问题、再创造的解

决问题，为以后适应社会发展，解决面临的新问题、新情况做好基础

的铺垫。

本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓广。如有关等差数列的

前n项求和和等比数列的前n项求和，可以鼓励学生探索其他可能的

解答思路。对教材中有关探索等差数列、等比数列的基本数量关系的

题目，也可以有相应的问题拓展。这种已有资源的挖掘和拓广，对学

生自主性学习能力的培养是很有好处的O

一、利用学生的生活经祇和如根储备，设计和普连教学情境

问题情境

等比数列前'n项和推导

方法B

2

Sn=Q[+Q[•q+%-q+…+〃]•右—।

=q4I+q+g?+…+q"’)

1!

=?-(1-力(1+4+/+…+尸)

i-q

=-^--[(1+q+q2+■■-+q"')-(q+q2+q3■■■+q")}

i-q

、利用学生的生活经祇和知根储备，设计和苦逵教学情境

1问题情境

：等比数列前"11项和推导

方法五

,.a^_ax_a±____a„_

%。2。3"〃一1

CL,+生+…+CL

丁・----------—=q

a

%+。2-------+n-\

a

S"一n

2.强化主干知识教学，重视探究题、练习题、阅读与思考、探

究与发现等内容的学习

本章的探究题、练习题、阅读与思考、探究与发现的内容素材很

多是来源于古代或现实生活情境的题目，一方面加强了与实际生活的

联系，另一方面可以提高学生学习本章内容的兴趣，教学中要注意相

关内容的知识准备和问题解答和拓广的准备。

这些题目设置的特点是贴近现实，有一定挑战性和趣味性，具体

教学时，可以结合这些题目进行，如等比数列概念引入可以结合“古

印度国王奖赏国际象棋发明者”的题目，以设置悬念，从而更加激发

学生学习兴趣，调动学习积极性。

通过《标准》与《大纲》对比，我们知道数列这一章的主干知识

是：等差数列一等比数列一数列的通项及前n项和的求法.因此，在

教学中应抓住主干知识线，实施有效学习，帮助学生构建知识网络。

3.强化“知三求二”的题型训练.

作为高二的学习，强调基础训练是很必要的，“知三求二”是数列

的重要题型，所谓“知三求二”就是数列中的五个参量：项数、通项、

前n项和、首项、公差，只要已知这五个量中的任意三个，就可以利

用通项公式和前n项和公式求出其余两个.对于“知三求二”的题型训练

要适度，不要人为编造太难、太繁题目给学生做，尤其对于等比数列，

“知三求二”的问题可能出现高次方程，这不在《标准》要求范围之内.

《标准》的要求只限制在直接用一元二次方程求解问题，因此，在等

比数列“知三求二”问题时要注意控制难度，按《标准》要求教学.

新课标下数列教学要与时俱进，降低难度，特别是递推数列求通

项，不要深挖，把主干知识等差数列、等比数列学习好，将最基本的

解题方法训练好，还数列的本来面目.

4.重视本章内容与其他学习内容的联系，重视借助信息技术学习

本章内容

本章内容与函数、一次函数、指数函数、算法、微积分等内容都

有直接联系，与物理、化学、生物、经济、天文、历法等领域也有关

联，教学中既要注重数学知识内部的联系，也要结合其他学科，使学

生体会到数列在现实生活中是有着非常广泛的应用的。

为更好理解教学内容，可借助信息技术学习本章内容，除课本提

供的有关信息技术的内容外，有条件的学校，可借助多媒体等展示例

题、习题中的内容，通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰

富多彩的“数列”内容。

必修5第三章《不等式》的教学体会

不等式是课标中变化较大的内容之一，在教学中如何应对这种

变化呢？

下面我们从2010年实验区高考试题的特点分析不等式教学的

方向。

（一）、课标与大纲的区别

1.编排方式的变化。

在大纲中，不等式分为三部分，在第一章、第六章、第七章都

有体现；

而新课标中分为两部分，在必修五第三章和选修4-5一书中。

2.不等式在高考中的地位

新课标中必修5的不等式部分增加了解一元二次不等式的学习

（初中没学），删去了分式不等式、一元高次不等式、绝对值不等式

的相关内容，必修（5）降低了不等式的要求；

而在选修4-5中，介绍了一些重要的不等式（绝对值三角不等

式、基本不等式、柯西不等式、排序不等式）及其应用，证明不等式

的基本方法（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等），数学

归纳法和它在证明不等式中的简单应用。在选修4-5中强调不等式

的儿何意义及其背景,

“简单线性规划”作为二元一次不等式的下位知识来学习。

在整个不等式的学习过程中，学生通过具体情境，感受在现实

世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻

画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并

能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试

解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用。

从新课标实验地区的试题来看一：

基本上都考查到了线性规划的内容，主要以选择、填空题的形

式出现，选讲内容4-5在新课标全国卷中，在24题中以三选一形式

出现，主要从实际情境出发，考查绝对值不等式的儿何意义，体现了

数形结合思想、分类讨论思想以及函数与方程思想。

3.文理学习的内容差别不大。

不等式在新课标中文理科要求一样。

4.不等式的教学

一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实

际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据

相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励

学生设计求解一元二次不等式的程序框图。

不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是

解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元

一次不等式组。

线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，我们应引

导学生体会线性规划的基本思想，借助儿何直观解决一些简单的线性

规划问题，不必引入很多名词

（二）、实际教学现象

我省采用的教学顺序是12345,所以第一学期的学习非常紧张,

造成课时紧的原因是多方面的，但其中有一个原因是由教师对课标的

理解不到位导致的，即教师在教学中盲目地拓广加深、一步到位。

比如在必修一上完集合以后，先补充了一元二次不等式和绝对

值不等式，可是事实上是不必要的。

这是当前课改的实际状况，是课改推进中的阻力。导致这种现象

的原因之一是认为要求函数的定义域和值域，所以要一步到位。但正

是这堂而皇之的理由扰乱了教学，制造了学困生，导致了过早的两极

分化。这就好比早恋往往结出苦果，不顾学生的心智发展水平，不顾

课标的要求，拔苗助长，最终导致的也是学生对数学的厌恶。

（三）、实验区高考试题分析

1.体现了数形结合的思想

2x+y—620,

例1:（2010安徽文数）（8）设x,y满足约束条件卜+2y-640,则目标

”0,

函数z=x+y的最大值是

(A)3(B)4(C)6(D)8

8.C

【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2),

目标函数z=x+y在(6,0)取最大值6o

【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即儿条

直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求

出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.

2.体现不等式在实际生活中的应用

例2：(2010广东理数)19.(本小题满分12分)

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含

12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个

单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单

位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的

碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要

满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个

单位的午餐和晚餐？

解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则

z=2.5x+4yo

可行域为

12x+8y264

<6x+6y242

6x+10y254

xNO,x£N

yNO,yGN

即

3x+2y216

,x+y27

3x+5y227

x2O,x£N

yNO,yGN

作出可行域如图所示：

经试验发现，当x=4,y=3时，，花费最少，为z=2.5x+4y

2.体现了函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论的思想

以及化归思想(函数、方程、不等式本身就是密不可分的)

例4：(2007理22.C)设函数/(x)=|2x+l|-k一4|.

(I)解不等式/(x)>2；

(II)求函数y=/(x)的最小值.

例5：(2008理24)已知函数"%)=|九一8|-|%-4|。

(1)作出函数V=/(%)的图像；

(2)解不等式|X—8]|%-4|〉2。

例6：(2009理24)如图，。为数轴的原点，ARM为数轴上三点，

C为线段0M上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到

A距离4倍与C到B距离的6倍的和.

(1)将y表示成％的函数；

(2)要使y的值不超过70,%应该在什么范围内取值?

►

102030

解：(I)y=4|x-10|+6|x-20|,0<x<30.

(II)依题意，x满足

,4|x-10|+6|x-201<70,

0<x<30.

解不等式组，其解集为【9,23]

所以xe[9,23].

例7.(2010理24)设函数/(%)=|2x-4|+1

(1)画出函数》=於)的图像；

(II)若不等式/(九)Wax的解集非空,

求a的取值范围.

(这些内容在选修4-5中都要学到)

3.体现了学科内部知识联系

X>1

例3:（2010福建理数）8.设不等式组卜2y+320所表示的平面区域

y>x

是Q,平面区域是Q与a关于直线3x-4），-9=0对称，对于Q中的任意

一点A与R中的任意一点B,|A6|的最小值等于（）

A.—B.4C.—D.2

55

【答案】B

【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域a中的点到直线

3X一分-9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区

可看出点（1,1）到直线3x-4y-9=0的距离最小，故|AB|的最小值

为2x13x1——9|=4,所以选B。

4.体现不等式在实际生活中的应用

例2：（2010广东理数）19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含

12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个

单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单

位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的

碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要

满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个

单位的午餐和晚餐？

解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则

z=2.5x+4yo

可行域为

12x+8yN64

,6x+6y242

6x+10y254

x20,x£N

yNO,yGN

即

3x+2y216

,x+y27

3x+5y227

x20,xGN

y，0,yGN

作出可行域如图所示：

经试验发现,当x=4,y=3时,花费最少，为z=2.5x+4y

（四）、对教学的启示

通过上述分析可见，2010年实验区不等式试题较好的反应了课

标的要求，因此在教学中要做到:

1.把握内容定位的变化，提出恰当的教学要求

与以往课程对不等式内容的定位比较，本章内容有非常大的变

化。以往的课程一开始就强调不等式的求解和证明，关注的是代数变

换和逻辑推理，而本次课程对此有较大调整。本章强调的是把不等式

作为刻画和描述现实世界中事物不等关系的一种工具，作为描述、刻

画优化问题的一种数学模型。不等式的求解和证明在后续课程中解

决。这种变化要求我们在教学上做出大的调整。

实际上，不等式的学习不是一次到位的，课标设计了一个螺旋上

升的过程。在本模块中，强调不等式作为刻画不等关系的数学模型，

突出它的现实背景和实际应用。在后续的学习中，通过“导数及其应

用”“推理与证明”“不等式选讲”等，不断推进不等式的学习。因

此，对不等式的推理和证明，在本模块的要求不高，教学中一定要把

好分寸。例如，一元二次不等式的求解不要过分展开（如不要引入含

有参数讨论的问题），只要达到最基本要求即可；不要在用基本不等

式证明不等式上提高要求，也不要在“等号成立的条件”等细节上过

分纠缠。在线性规划的教学中，要选择恰当的案例，通过案例的学习，

使学生掌握解决简单线性规划问题的基本方法。

2.注意构建问题情景，体现过程、联系和思想

鉴于上述定位的变化，教学的重点需要转移到让学生经历从问

题情景中抽象出不等式模型，借助知识之间的联系（如与函数、直线

与方程等的联系），了解求解不等式方法的丰富性（不仅是代数变换,

还有图解法），体会不等式的儿何意义和在解决优化问题中的作用。

教学中要加强“不等关系是客观事物的基本数量关系”的认识，

把不等关系及不等式的教学建立在实际背景上。可以引导学生进一步

挖掘身边或数学中的不等关系，通过分析其中的基本数量关系，以加

深学生对用不等式刻画不等关系的认识。在不等式性质的教学中，要

注意与等式性质的类比，以使学生认识不等式及其性质与等式及其性

质之间的异同。其中要引导学生认识讨论等式、不等式的基本思想，

即“运算中的不变性就是性质”。

一元二次不等式的教学，首先要强调“经历从实际情境中抽象出

一元二次不等式模型的过程”，还要“通过函数图像了解一元二次不

等式与相应函数、方程的联系”，注重用数形结合思想解决问题。另

外，设计求解一元二次不等式的程序框图是以往教科书中没有的，这

里既是算法思想的应用，同时也有助于使学生更好地掌握解一元二

次不等式的过程和结构，所以教学中应当给予充分重视。

二元一次不等式（组）的教学，要强调从实际情景中抽象出二元

一次不等式（组）模型，而不是像以往那样从纯数学角度提出问题。

在对不等式组儿何意义的考察中，要注意按教科书构建的过程，从具

体到抽象，使学生切实经历好从点与有序数对、直线与方程的对应到

平面区域与不等式组的对应的过渡，进一步体会数形结合思想的实质

及其重要性。

线性规划的应用性很强，其中的优化思想方法是基本的数学思想

方法。教学中，应根据教科书的安排，让学生经历完整的从“数学化”

（提出优化问题）到“图解法”的过程，突出借助儿何直观解决问题

的基本方法，引导学生体会线性规划的基本思想。

均值不等式（，力之。）的教学，应当避免过去的“给出

不等式及其证明，举例应用，学生练习”的教学模式，要强调基本不

等式的探究过程，其中要注意培养从数、形等不同角度看同一问题的

习惯和意识。内容本身难度不大，但思想深刻，所以教学中更要关注

数学思想方法的教学：构建儿何模型，对代数关系进行解释；反之，

找出几何图形中隐含的数量关系，并表示为代数形式，得出一些有用

的数学原理。另外，要注意从“用基本不等式解决简单的最大（小）

的值问题”提出教学要求，以加强应用。

3.注重理解不等式的背景，培养学生应用不等式知识解决实际

问题的能力；

4.关于信息技术的使用

本章信息技术的“使用点”，可以从下面儿个方面考虑。

（1）利用计算机作出厂54的图象，在图象上任取一点P（x,y）

并拖动之，让学生观察纵坐标y随横坐标x变化的情况，得出点〃的

位置、x的取值和y的符号之间的关系；

（2）写出一元二次不等式a*+bx+c>o（〈o）的程序框图、程序并

在计算机上运行；

（3）借助儿何画板等，研究二元一次不等式（组）解集的儿何意

义;

(4)借助几何画板等，在可行域中找出一个点，使直线，=一彳3

过此点时截距最大值；

(5)用Excel等软件求解一些简单的线性规划问题；等。

综合上述分析，我们在高二的教学过程中，应该在课标的指导

下落实教材的编写意图，避免墨守成规或循规蹈矩地按照已有教学经

验补充填塞，那样做是对学生的不负责任，退一步即使是为了考试取

得高分也应该关注课改动向，理解并落实课标要求，只有这样做才能

避免给学生增加不必要的负担，才能使课改之路走的更健康。

选修2-1第一章《常用逻辑用语》

与大纲相比较增加了全称量词、存在量词、全称命题、特

称命题及其两种命题的否定。

对教学的几个建议：

1.避免追求概念的形式化定义，忽视对概念意义的理解。

课程标准中明确提出，“注意引导学生在使用常用逻辑用语的

过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用

常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机

械记忆和抽象解释”。与以往教材相比，本章内容呈现注重了通过对

实例的思考、探究、发现、归纳总结，最后得出相关概念的特点，这

样的设计意图是力求突出学生学习的主体地位，体现通过学生自己的

探究和发现，体会新概念意义的课程设计理念。教学中要充分领回教

材的这种编写意图，要结合数学或生活中的实例，让学生充分体会新

概念的意义。如对“命题”的概念，教材改变了给出“命题”概念，

然后让学生对相关例题做出判断的呈现方式，而是先给出具体例子，

让学生去发现、归纳，得出“命题”概念，再运用得出的概念做判断

的方式，教学中要给学生有发挥的空间，也就是在学生得出“命题”

概念前，要对给出的6个具体例子有充分的发现、思考的空间，要允

许学生有不同的见解和看法，最后归结到“命题”的概念。新概念的

得出是学生在充分酝酿、感受的基础上得出的，是学生充分感受其意

义的基础上自己总结出来的。

总之，教学中要避免“形式的”理解概念，而忽视对概念意义的

理解。要注意通过实例让学生去理解概念，同时要给学生充分的思考、

探究的时间和空间，避免“概念+例题”的形式化教学，避免教学中

的“灌输”。

2.联系日常生活实例或已有知识学习新内容。

除了教科书中给出的实例，实际教学中可以适当增加相关的生

活实例进行学习，同时注意联系已有知识学习新内容。如对本章学生

理解较为困难的''充分条件”“必要条件”概念的学习，由于它们与

日常生活中的“充分”“必要”的意义相近，教学中可以适当给出一

些生活中的例子以帮助学生理解。对逻辑联结词“或”“且”的理解,

可以借助并联、串联电路理解等。

3.注意自然语言、文字语言、符号语言三者的结合运用。

教学中鼓励学生用这三种语言描述对新概念的理解。自然语言

也就是让学生用自己的话陈述对一个概念的理解，以此检验学生对这

个概念的理解与否以及理解程度，而不是形式的去背教科书中的界

定，实际不理解这个概念的真正含义；文字语言可以帮助学生进一步

精确、形式化的严谨表述这个概念，以达到对这个概念的给为准确理

解；符号语言则可以达到对这个概念的简约化理解，以符号的形式简

洁、准确的表述概念。教学中要注意这三种语言的结合运用，以达到

对新内容的准确、深刻理解。

选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》

《圆锥曲线与方程》在课标下有哪些变化？在高二教学中如

何进行学习？以下就课标要求与2010年实验区高考试题的特点，分析

解析几何教学的方向。

（一）、课标与大纲的区别

1.编排方式的变化。

在大纲中，解析几何是作为一个整体安排在必修中，而在课标

中将解析几何的内容分为2部分，分阶段学习不同的内容。具体编排

见下表。

大纲课标

必修

位置数学2选修2—1

（直线、

与（平面解析几何（圆锥曲线与方程）

圆、圆锥曲

内容初步）

线）

课时361816

2.教学内容的变化

新课标删去了直线与直线的夹角和到角公式，加强了圆的方程的

应用。

3.教学要求的变化

对双曲线的定义、几何图形和标准方程的要求由掌握降为了解，

对其有关性质由掌握降为知道，而其它要求不变。

（二）、实验区高考试题分析

1.直线与圆

例1：（课标全国115）过点A（4,1）的圆C与直线x-y-l=O相切

于点B（2,1）.则圆C的方程为,

例2：（广东12）已知圆心在x轴上，半径为也的圆O位于y轴

左侧，且与直线x+y=O相切，则圆。的方程是—

这两个题目都是求圆的方程，通过直线与圆相切这一条件，建立

方程的思想去求解。体现了儿何问题代数化的思想，与课标考纲要求

一致。

课标要求：回顾确定圆的儿何要素，在平面直角坐标系中，探索

并掌握圆的标准方程与一般方程。

考纲要求：掌握确定圆的儿何要素，掌握圆的标准方程与一般方

程.

2.椭圆

考纲要求：掌握椭圆、的定义、儿何图形、标准方程及简单性质。

课标要求：经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌

握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

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例3:(2010课标全国卷20)设耳，鸟分别是椭圆E:=+3.=i(a>b〉0)

ab

的左、右焦点，过耳斜率为1的直线1与E相较于A.B两点，且

|4月，忸用成等差数歹1

(I)求£的离心率；

(II)设点P(0,-1)满足陷=|网，求E的方程.

这个题目从知识点方面重点考查了椭圆的一个很重要的性质离

心率以及标准方程，完全符合新课标要求，综合数列、椭圆的定义、

直线与椭圆的位置关系，利用代数方法转化为方程，从而求出离心率,

体现了运用代数方法解决儿何问题这种重要的“数形结合”思想方法。

例4:(2010江苏18)在平面直角坐标系my中，如图，已知椭

(3)设f=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。

本题主要考查直解法求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程、

直线交点坐标等基础知识。考查运算求解能力和利用特殊到一般或由

一般到特殊的这种数学方法求动直线过定点的这种探究问题的能力。

3.双曲线

课标要求，了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的

简单儿何性质.

例5：(2010安徽5)双曲线方程为x2-2y2=l,则它的右焦点坐标为

(A)(*0)(B)(争0)(C)(告,0)(D)(73,0)

这个题目已知双曲线的方程，考查了双曲线的简单儿何性质。

例6：(2010辽宁9)设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为

B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离

心率为

(A)6(B)V3(C)第(D)理

这个题目根据双曲线的一些性质(焦点，端点，渐近线)，考查

双曲线的离心率这个重要的性质。

例7：(2010课标全国卷12)已知双曲线E的中心为原点,F⑶0)是

E的焦点，过F的直线1与E相交于A,B两点，且AB的中点为

N(-12,75),则E的方程为

222222

(A)土-工=1(B)土-匕=1(C)二-匕=1(D)

364563

这个题目通过直线与双曲线的几何位置关系（焦点，中点弦）,

考查双曲线的方程。本题有一定的综合程度。

4.抛物线：课标要求掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程

及简单性质.

例8：（2010福建2）以抛物线产=4%的焦点为圆心，且过坐标

原点的圆的方程为（）

A.z2+y2+2/=0B./2+y2+/=0

C.72+y2-z=0D./2+/-2/=0

这个题目以抛物线的性质为载体考查圆的方程。

例9：（2010陕西8）已知抛物线J=2p无（p>0）的准线与圆x2+y2

—6尤一7=0相切，则夕的值为（）

（A）|（B）1（C）2（D）4

这个题目以直线与圆的位置关系考察抛物线的准线这一性质。

例10：（2010浙江13）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,

点A（0,2）.若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准

线的距离为.

这个题目重点考查抛物线的定义

从以上试题可以看出，虽然课标要求掌握抛物线，但2010高考

抛物线以小题形式出现，以考查抛物线的定义、性质为主。解答题重

点考查了椭圆。

三、对高二教学的建议:

对比课标和大纲的不同，严格按照课标要求，教学应向以下方面

努力：

1.加深对定义理解及灵活应用。（如椭圆、抛物线）

2.同时加强运算能力及运用代数方法解决儿何问题的能力。（直

线与椭圆组成方程组求弦长）

3.注意整个“解析几何”的结构体系以及知识内容的前后衔接，

准确把握教学要求。

《数学2》中的直线与方程、圆与方程，以及选修1-1（选修2-1）

中的圆锥曲线与方程，系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程”

一起构成了经典的平面解析几何内容的主干。教学时，要注意知识内

容的衔接，把相关内容放在平面解析儿何内容的通盘中考虑，切实把

握每部分的教学要求。特别注意的是，《标准》规定的教学要求中，

椭圆的内容要求“理解”，双曲线的内容只作“了解”，抛物线的内

容理科要求“理解”而文科只要“了解”。

4.圆锥曲线的第二定义、圆锥曲线的统一定义以及非标准形式的

圆锥曲线方程不作基本教学要求。

对于《标准》“说明与建议”部分提到的一些内容，在教材编写

过程中，教材做了一定的弹性处理，一定要把握好它们的教学要求。

教学中，老师经常说的圆锥曲线的“第二定义”、圆锥曲线的离

心率与统一方程，尽管是非常经典的内容，但不作为基本的教学要求。

考虑到它们的意义，椭圆、双曲线的“第二定义”在教材相关部分的

例题有所体现，但没有明确给出它们的“第二定义”。在拓展性栏目

“信息技术应用用《儿何画板》探究点的轨迹：椭圆”和“信息技

术应用用《儿何画板》探究点的轨迹：双曲线”虽然给出了上述两

种圆锥曲线的“第二定义”，但是作为选学内容。

圆锥曲线都是平面上一个动点到一个定点和它到定直线的距离

的比是常数的点的轨迹。试想，在平面上给出一个定点和一条定直