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本文格式为Word版,下载可任意编辑——固体物理答案第3章3.1已知一维单原子链,其中第j个格波,在第n个格点引起的位移
?nj?ajsin(?tj?naqj??j)?nj为:
?j为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kBT。具体计算每个原子
的平方平均位移。解:(1)根据其中T?1T1?0sin2(?jt?naqj??j)dt?T22??j2为振动周期,
所以?nj?ajsin(?jt?naqj??j)?(2)第j个格波的平均动能
2212aj2?n122?njm??112222m?a2?cos(?t?naq??)?maj?jNjjjjj2n411格波平均能量=kBT22(3)经典的简谐运动有:每个格波的平均动能=平均势能=
112ma2?N?kBTjj42振幅
a2j?2kBTkBT122,所以。??a?njj22Nm?j2Nm?j22?n?(??nj)2???nj??a2j??jjjj而每个原子的平方平均位移为:
12kBT。2Nm?j
3.2探讨N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a),其2N个格波的解。当m?M时与一维单原子链一一对应。解:(1)一维双原子链:??2a?q??2a
1??2??m?M4mM??22声学波:????sinaq?1??1???2mM??(m?M)????当m?M时,有
2???2?4?aq(1?cosaq)?sin2。mm21??2??m?M4mM??22光学波:????sinaq?1??1???2mM??(m?M)????当m?M时,有
2???2?4?aq(1?cosaq)?cos2。mm2?24?2aq??sin???m2(2)一维双原子链在m?M时的解???2?4?cos2aq??m2?
与一维单原子链的解??2??2a?q??2a
4?aqsin2m2??a?q??a
是一一对应的。
3.5已知NaCl晶体平均每对离子的相互作用能为:
u(r)???q2r??rn
其中马德隆常数a?1.75,n?9,平衡离子间距r0?2.82?。(1)试求离子在平衡位置附近的振动频率。
(2)计算与该频率相当的电磁波的波长,并与NaCl红外吸收频率的测量只值61?进行比较。
解:(1)处理小振动问题,一般可采用简谐近似,在平衡位置附近,可将互作用能展开至偏差??r?r0的二次方项。
?U(r0??)1?2U(r0??)24U(r0??)?U(r0)???????O(?)(1)2??2????0??0其中
?U(r0??)?0为平衡条件。由r0已知可确定?:
????0???q2nr0n?1。(2)
根据(1)式,离子偏离平衡位置?所受的恢复力为:
?U(r0??)?2U(r0??)F?????????'?(3)2??????0?2U(r)n?12??q。(4)故恢复力常数为???r2rr03'0对于离子晶体的长光学波,
??(0)?2?'mMm?M?2(m?M)(n?1)?q2(5)
mMr03将Na的原子质量m?23?1.66?10?24g,Cl的原子质量M?35.5?1.66?10?24g,基本电荷电量q?4.803?10?10esu代入上式,得
??(0)?1.11?1014Hz
(2)相对应的电磁波波长为
2?3.14?2.998?108?6??c??17?10m?17?m(6)14?1.11?102?对应与远红外波,与NaCl红外吸收频率测量值在同一数量级。[注:如采用国际单位制进行计算,因在(2)式前乘一因子
k?
14??0?8.99?109牛顿米2/库仑]
3.6求出一维单原子链的频率分布函数?(?)。解:一维单原子链的色散关系为:??24?aqaq4?2sin2??m2sin,其中?m?m22m???msinaq,2aaqd???mcosdq
22振动模式的数目:dn?2?NaNad?2Ndq?2???d?
22aaq2?2???m???mcos222N??22所以g(?)????m???0?
???m???m
3.7设三维晶格的光学振动在q?0附近的长波极限有:
?(q)??0?Aq2
1?V1?23/2(?0??)2???0求证:频率分布函数为g(?)??4?A
?0???0?证明:由?(q)??0?Aq2,得?q?(q)?2Aq。
Vg(?)?(2?)3??等平面1dsV4?q2VqV?32???2?2A(?0??)232Aq4?A4??q?(q)(2?)1?V12(???)???0?23/20故频率分布函数为g(?)??4?A
?0???0?
3.8有N个一致原子组成面积为S的二维晶格,在德拜近似下,计算比热,并探讨在低温极限比热正比于T。
2
?解:(1)q空间的状态密度为
S
。2
(2?)
?每个q对应一个纵波,??c?q,?每个q对应一个横波,??c?q。
所以d?范围的状态数应包括纵波和横波的状态数:
Sg(?)?(2?)2其中
???jlS?2?q2?q?S?????22???(2?)cc?q?j(q)?c????dl111?(2?2)22c?c?cS2?c21由于晶格振动模数有限,则晶格振动最高频率由
2N???m0g(?)d????m0?d?
决定。由此得?D?c(4?N12)。S??比热cV?kB???2kBT()e?DkTB(e??kBT0?1)2g(?)d??kB???2kBT()e?DkTB(e??kBT??S2?c20?d?
?1)2令x???k,??D?kB?D,?D—德拜温度。BTc?4NkT2?DTx3exvB(?)D?0(ex?1)2dx。(2)在低温极限T?0,
?DT??,
c(T2?x3exT?)D?0(ex?1)2dx?24NkB(?)2?T2v?4NkB,D与三维状况下的德拜T3
律相对应。
3.10设晶体中每个振子的零点震动能
12??,试用德拜模型求晶体的零点振动能。解:根据德拜理论,??cq,可得晶格频率分布函数为
g(?)?3V2?2c3?2。存在?m,在???m范围的振动都可用弹性波近似,?m则根据自由度确定如下:
?m?g(?)d??3V?m2?2c3?0?2d??3N。01或???2N?3m?c?6?(V)??。
因此固体总的零点振动能为
E0???m102??g(?)d??98N??m。
3.11一维复式格子m?5?1.67?10?24g,
Mm?4,??1.5?10N/m1.?541d0ync/,求:m)
(1)光学波?O?OAmax,min,声学波?max。
(2)相应声子能量是多少电子伏特。(3)在300K时的平均声子数。
(4)与?Omax相对应的电磁波在什么波段。
解:(1)
即(O?max?2?5???6.70?1013HzmM2mm?M2??5.99?1013Hzm2??3.00?1013HzM)?10?15ev?s1.602
O?min?A?max?(2)????
??1.055?10?34J?s?(1.055O?max?4.41?10?2ev?Omin?3.94?10ev?2O?max?1.97?10?2ev(3)在T?300K相应的能量:
23KBT?1.38?1?10??19300/?(1.61?02810)??2.e5v因此在室温只能激发声学声子,平均声子数为
n?e1A??max??11e1.972.58??1kBT1?1
2.14?1(4)??2?cO?max2?3.14?2.988?108?5??2.8?10m?28?m。此波优点在红外波段。136.70?10
O?max?2?5???6.70?1013HzmM2mm?M2??5.99?1013Hzm2??3.00?1013HzM)?10?15ev?s1.602
O?min?A?max?(2)????
??1.055?10?34J?s?(1.055O?max?4.41?10?2ev?Omin?3.94?10ev?2O?max?1.97?10?2ev(3)在T?300K相
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