华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与稳定基础

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1.把握常见的五种基本尺规作图；理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；2．了解全等三角形的概念和性质，能够确凿地鉴别全等三角形中的对应元素；摸索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，把握综合法证明的格式；

3.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并把握它们的性质以及判定方法；

4．理解并能应用直角三角形的性质解题；理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特别方法“斜边，直角边〞（即“HL〞）判定两个直角三角形全等；

5．理解并把握角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，能用它们解决作图题、几何计算及证明题.

要点一、全等三角形的性质和判定

1.全等三角形的性质

全等三角形对应边相等，对应角相等.2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定1——“角边角〞：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角

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边角〞或“ASA〞）.

全等三角形判定2——“边角边〞：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边〞或“SAS〞）.

全等三角形判定3——“边边边〞：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边〞或“SSS〞）.全等三角形判定4——“角角边〞：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边〞或“AAS〞）.

要点诠释：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等.

（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等.

（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等.（4）假使以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.

3.判定直角三角形全等的特别方法——斜边直角边定理斜边直角边定理（或简记为HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

要点诠释：判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.要点二、等腰三角形

1.等腰三角形的性质及其作用

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角〞）．性质1用之证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个重要依据．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合（简称“三线合一〞）．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

2.等腰三角形的判定

假使一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边〞）.

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

3.等边三角形的性质和判定：

性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

要点诠释：由等边三角形的“三线合一〞可得：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．要点三、尺规作图、命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图

只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．

要点诠释：（1）要熟练把握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.（2）把握五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；经过一已知点作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线．并能利用本章的知识理解这些基本作图的方法．

2.命题与逆命题

判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，假使一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，假使这句话不能对于结果给予确定或者否定的回复，那它就不是命题.

（2）每一个命题都可以写成“假使…,那么…〞的形式，“假使〞后面为题设部分，“那么〞后面为结论部分.

（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定正确.3.定理与逆定理

数学中，有些命题可以从基才能实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．假使一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.

要点诠释：（1）定理的作用不仅在于它透露了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.

（2）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.

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要点四、角平分线、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线性质定理及其逆定理

角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.

2.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理及其逆定理

线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．

要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.

类型二、全等三角形的性质和判定

1、已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特别位置关系，并证明．

要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．

（2）BD、CE有何特别位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．

（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）BD、CE特别位置关系为BD⊥CE．证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．

∴BD、CE特别位置关系为BD⊥CE．

此题考察了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是细心观测，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．举一反三：

如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.

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证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°

∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB与△EAC中，

??DAB??EAC??AB?AC

??B??C?∴△DAB≌△EAC（ASA）∴BD＝CE.

2、（2023秋?诸暨市期中）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．

过点P作PE⊥BA于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PF，然后利用HL证明Rt△PEA与Rt△PFC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PAE=∠PCB，再根据平角的定义解答．

证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，

∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．

，

此题考察了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．举一反三：

已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．

4

证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE与Rt△CBA中，??ED＝AC

AE＝AB，?∴Rt△DAE≌Rt△CBA（HL）∴∠E＝∠CAB

∵∠CAB＋∠EAF＝90°，

∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．类型二、等腰三角形

3、如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，

试判断△AFC的形状，并说明理由．

要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．由于∠BAD＝∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．

解：△AFC是等腰三角形．理由如下：

在△BAD与△BCE中，