初二数学平行线难题训练

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初二数学平行线难题训练

一．选择题（共1小题）1．（2023春?XX校级期中）假使两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（）A．42°、138°B．都是10°

C．42°、138°或42°、10°D．以上都不对二．解答题（共28小题）2．（2023?六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．

3．（2023春?宜昌校级期中）如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．

（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=______．

（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD=α．①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．

②问∠DBA的大小是否发生改变？若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由．（3）若将题目条件“∠ACB=90°〞，改为：“∠ACB=β〞，其它条件不变，那么∠DBA=______．（直接写出结果，不必证明）

4．（2023春?雁塔区校级期中）如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB=90°；

（2）如图②，假使∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数．（3）如图③，假使H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，变化？假使变化，说明理由；假使不变，试求出其值．

的值是否发生

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5．如下图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面积为12，求△ACE的面积．

6．（1）如图①，假使直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗？为什么？（2）如图②，平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，BC和B′C′在同一直线上，这两个平行四边形的面积相等吗？为什么？

7．（2023春?平定县期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；

（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

8．（2023春?滑县期中）如下图，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．

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①结论：（1）______（2）______（3）______（4）______

②选择结论______，说明理由．

9．（2023春?威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为______；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．

10．（2023秋?渠县期末）如图，AB∥CD，∠CDE=121°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=140°，求∠F的度数．

11．（2023春?武安市期末）摸索：小明和小亮在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，摸索∠P与∠A，∠C的数量关系．

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发现：在图1中，小明和小亮都发现：∠APC=∠A+∠C；

小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（______）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（______）∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C

小亮是这样证明的：过点作PQ∥AB∥CD．∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C

请在上面证明过程的过程的横线上，填写依据；两人的证明过程中，完全正确的是______．应用：

在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠P的度数为______；在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为______；拓展：

在图4中，摸索∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．12．（2023春?江西校级期中）已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．

（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．

（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．

13．（2023秋?连云港校级月考）探究题：

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（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？

（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．14．（2023秋?连云港校级月考）如图，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2与∠3互余；那么DE和CD有怎样的位置关系？为什么？

15．（2023秋?连云港校级月考）（1）根据以下表达填依据：

已知：如图①，AB∥CD，∠B+∠BFE=180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：由于∠B+∠BFE=180°所以AB∥EF（______）由于AB∥CD（______）所以CD∥EF（______）

所以∠CDF+∠DFE=180°（______）

所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠

D=360°

（2）根据以上解答进行摸索，如图②，AB∥EF，∠BDF与∠B、∠F有何数量关系

（3）你能摸索处图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B、∠F的数量关系吗？请写出来．16．（2023春?路北区期末）已知直线AB∥CD，

（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是______．

（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是______．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．

17．（2023春?滨湖区期末）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；

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（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．

18．（2023春?龙岗区校级期中）如图：已知AB∥DE，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数．

19．（2023春?萧山区期末）如图，射线OA∥射线CB，∠C=∠OAB=100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC．（1）试说明AB∥OC的理由；（2）试求∠BOE的度数；（3）平移线段AB；

①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．

②若在平移过程中存在某种状况使得∠OEC=∠OBA，试求此时∠OEC的度数．

20．（2023春?泸州期中）如图，AB∥CD，点M是线段EF上一点，若点N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）

（1）当点N在射线FC上运动时，求证：∠FMN+∠FNM=∠AEF；（2）当点N在射线FD上运动时，猜想∠FMN+∠FNM与∠AEF有什么关系？并说明理由．

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21．（2023春?北塘区校级期中）如图，DH交BF于点E，CH交BF于点G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．

试判断CH和DF的位置关系并说明理由．

22．（2023秋?泉港区期末）如图，点A、B分别在直线CM、DN上，CM∥DN．（1）如图1，连接AB，则∠CAB+∠ABD=______；

（2）如图2，点P1是直线CM、DN内部的一个点，连接AP1、BP1．求证：∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°；（3）如图3，点P1、P2是直线CM、DN内部的一个点，连接AP1、P1P2、P2B．试求∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD的度数；

（4）若按以上规律，猜想并直接写出∠CAP1+∠AP1P2+…∠P5BD的度数（不必写出过程）．

23．（2023春?灌阳县期中）如图：AE平分∠DAC，∠DAC=120°，∠C=60°，AE与BC平行吗？为什么？

24．（2023春?芗城区校级期中）根据图形及题意填空，并在括号里写上理由．已知：如图，AD∥BC，AD平分∠EAC．试说明：∠B=∠C

解：∵AD平分∠EAC（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵AD∥BC（已知）

∴∠______=∠______（______）∠______=∠______（______）∴∠B=∠C．

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25．（2023春?鄂州校级期中）如图∠EFC+∠BDC=180°，∠AED=∠ACB，则∠DEF=∠B，为什么？

26．如图，六边形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．求证：AF∥CD，AB∥DE，BC∥EF．

27．已知，如图，直线AB∥CD，直线EF⊥AB，点M在CD上，MP平分∠GMC，PN平分∠EGM，且∠CMG+∠MGF=90°．

（1）若∠MGN=75°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数；（2）若∠MGF=30°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数；

（3）若点M在直线CD轴上移动，∠MPN的大小是否发生变化？假使保持不变，请给出证明；假使发生变化，请求出变化范围．

28．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．

（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试摸索∠EPF与∠EQF之间的关系．

（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．

（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为______．（直接写结论）

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29．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．

（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．

（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．

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初二数学平行线难题训练

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）1．（2023春?XX校级期中）假使两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（）A．42°、138°B．都是10°

C．42°、138°或42°、10°D．以上都不对

根据两边分别平行的两个角相等或互补列方程求解．解：设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°，（1）两个角相等，则x=4x﹣30°，解得x=10°，

4x﹣30°=4×10°﹣30°=10°；

（2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）=180°，解得x=42°，

4x﹣30°=4×42°﹣30°=138°．

所以这两个角是42°、138°或10°、10°．以上答案都不对．应选D．此题主要运用两边分别平行的两个角相等或互补，学生简单忽视互补的状况而导致出错．

二．解答题（共28小题）

2．（2023?六盘水）如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1=S2=S3，请帮小颖说明理由．

根据两平行线间的距离相等，即可解答．

解：∵直线l1∥l2，

∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等．即S1=S2=S3．此题考察了平行线之间的距离，解集此题此题的关键是明确两平行线间的距离相等．

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3．（2023春?宜昌校级期中）如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．

（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA=45°．

（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD=α．①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．

②问∠DBA的大小是否发生改变？若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由．（3）若将题目条件“∠ACB=90°〞，改为：“∠ACB=β〞，其它条件不变，那么∠DBA=β．（直接写出结果，不必证明）

（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAD=90°，然后求出∠BAC=45°，从而得到∠ABC=45°，再根据BD平分∠FBC求出∠DBC=90°，然后求解即可；

（2）①EF∥GH，得出∠2=∠3，进一步得出∠1=∠3，利用三角形的内角和得出∠EBC，利用平角的意义得出∠PBC；

②根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，再根据三角形的内角和定理表示出∠4，然后表示∠5，再利用平角等于180°列式表示出∠DBA整理即可得解．（3）根据（2）的结论计算即可得解．解：（1）∵EF∥GH，

∴∠CAD=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°，∵∠DAB=∠BAC，∴∠BAC=45°，∴∠ABC=45°，∵BD平分∠FBC，∴∠DBC=×180°=90°，∴∠DBA=90°﹣45°=45°；（2）如图，

①∵EF∥GH，

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∴∠2=∠3，∵∠1=∠2=α，∴∠1=∠3=α，∵∠ACB=90°，

∴∠EBC=90°﹣∠1﹣∠3=90°﹣2α，∠PBC=（180°﹣∠EBC）=45°+α；

②设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，∵EF∥GH，∴∠2=∠3，

在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x，∵直线BD平分∠FBC，

∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，

=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x），=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x，=∠ACB，=×90°，

=45°；

（3）由（2）可知，

设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，∵EF∥GH，∴∠2=∠3，

在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x，∵直线BD平分∠FBC，

∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，

=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x），=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x，=∠ACB，∠ACB=β时，∠DBA=β．

此题考察了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

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4．（2023春?雁塔区校级期中）如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点．（1）求证：∠DBF+∠DFB=90°；

（2）如图②，假使∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC=50°，求∠DEC的度数．（3）如图③，假使H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，变化？假使变化，说明理由；假使不变，试求出其值．

的值是否发生

（1）根据DE∥BC，得到∠EDB+∠DBC=180°，再利用角平分线的性质，即可解答；（2）根据FD⊥AB，∠BGC=50°，得到∠DHG=40°，利用外角的性质得到∠FDC+∠HCD=50°，再根据DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=100°，利用三角形内角和为180°，∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣100°=80°．

（3）不变，根据∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，即可解答．解：（1）如图1，

∵DE∥BC，

∴∠EDB+∠DBC=180°，

∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°，∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC，∴2∠FDC+2∠CDB=180°，∴∠FDC+∠CDB=90°，∴FD⊥BD，

∴∠DBF+DFB=90°．（2）如图2，

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∵∠BGC=50°，FD⊥BD，∴∠DHG=40°，

∴∠FDC+∠HCD=40°，

∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，

∴∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=80°，

∴∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣80°=100°．（3）不变，如图3，

∵∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，∴

=

=2．

此题考察了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决此题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系．

5．如下图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面积为12，求△ACE的面积．

根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE的面积即可．

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解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，∵AE∥BD，∴h=h′，

∵△ABD的面积为12，BD=3，∴h=8，

∴△ACE的面积为：

=28．

此题考察了两平行线之间的距离，解决此题的关键是根据两平行线间的距离相等求出高．

6．（1）如图①，假使直线l1∥l2，那么三角形ABC与三角形A′BC面积相等吗？为什么？（2）如图②，平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，BC和B′C′在同一直线上，这两个平行四边形的面积相等吗？为什么？

（1）△ABC和△A′BC的底边都为BC，由于平行线间的距离四处相等，所以△ABC和△A′BC的BC边上的高相等，所以△ABC和△DBC的面积相等．

（2）平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D有一条公共边AD，四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC，由于平行线间的距离四处相等，所以平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D的高相等，即可解答．解：（1）相等；∵L1∥L2，

∴L1，L2之间的距离是固定的，

∴△ABC和△A′BC的BC边上的高相等，∴△ABC和△A′BC的面积相等；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，

∴AD和BC之间的距离是固定的，∵BC和B′C′在同一直线上，

∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D公共边AD边上的高相等，∴平行四边形ABCD与平行四边形AB′C′D面积相等．此题主要考察了平行线间的距离．解决此题的关键是明确平行线间的距离四处相等．

7．（2023春?平定县期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；

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（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；

（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．

此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．

证明：（1）过P作PQ∥l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．

（2）关系：∠3=∠2﹣∠1；过P作直线PQ∥l1∥l2，

则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1∥l2；

同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

此题主要考察的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键．8．（2023春?滑县期中）如下图，已知AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系，请你从四个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．①结论：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°（2）∠APC=∠PAB+∠PCD（3）∠PCD=∠APC+∠PAB

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（4）∠PAB=∠APC+∠PCD②选择结论（1），说明理由．

①（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，再根据两直线平行同旁内角互补即可解答；

（2）过点P作l∥AB，则AB∥CD∥l，再根据两直线内错角相等即可解答；

（3）根据AB∥CD，可得出∠PEB=∠PCD，再根据三角形外角的性质进行解答；

（4）根据AB∥CD，可得出∠PAB=∠PFD，再根据∠PFD是△CPF的外角，由三角形外角的性质进行解答；

②选择①中任意一个进行证明即可．

解：①（1）过点P作PE∥AB，则AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（2）过点P作直线l∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4，∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

（3）∵AB∥CD，∴∠PEB=∠PCD，

∵∠PEB是△APE的外角，∴∠PEB=∠PAB+∠APC，∴∠PCD=∠APC+∠PAB；

（4）∵AB∥CD，∴∠PAB=∠PFD，

∵∠PFD是△CPF的外角，∴∠PCD+∠APC=∠PFD，

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∴∠PAB=∠APC+∠PCD．

②选择结论（1），证明同上．

此题考察的是平行线的性质及三角形外角的性质，能根据题意作出辅助线，再利用平行线的性质进行解答是解答此题的关键．9．（2023春?威海期中）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM=90°；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．

（1）由平行线的性质得出∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，即可得出结果；（2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°，再由角的互余关系即可得出结果；

（3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论．解：（1）作PG∥AB，如图①所示：则PG∥CD，

∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，∵∠1+∠2=∠P=90°，