高考综合复习十二含有参数的不等式

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高中数学高考综合复习

专题十八含有参数的不等式问题

众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又是复习提高的难点。

（1）解不等式，寻求新不等式的解集；

（2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。

（3）注意到上述题型（2）的难度与繁杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以摸索与总结。

一、立足于“直面求解〞

解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解〞的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断地从求解不等式切入。

例1.设关于x

的不等式（1）解此不等式；

（2）若不等式解集为（3，+∞），求m的取值范围；（3）若x=3属于不等式的解集，求m的取值范围

分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里m20,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为axb型，于是可以x的系数a的取值为主线进行探讨。

解：

（1）由题设，原不等式

m（x+2）m2+(x-3)(m

R，m≠0)

(m-1)xm2-2m-3(1)

∴当m1时，由（1

）解得当m=1时，由（1）得x

R;

当m1且m≠0时，由（1

）解得

∴当m1

时，原不等式的解集为当m=1时，原不等式的解集为R

当m1且m≠0

时，原不等式的解集为

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（2）若不等式的解集为（3，+∞），则由（1

）知应得∴此时m的取值范围为{5}

（3）注意到x=3为不等式的解，将x=3代入（1）得：3（m-1）m2-2m-3

m2-5m0

0m5

∴此时所求m的取值范围为（0，5）

点评：对于（2），已知含参不等式的解集，要求的是所含参数m的取值范围。对此，我们正是立足于（1）直面求解，由已知解集

的特征断定m-10

以及

，m的取值或取值范围由此而产生。

例2．已知关于x

的不等式组

的整数解的集合为{-2},求实数R的取值范围。

分析：由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当x=-2属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。

解：不等式x2-x-20

(x+1)(x-2)0

x-1或x2

∴不等式x2-x-20的解集A=（-∞，-1）∪（2，+∞），显然-2∈A不等式2x2+(2R+5)x+5R0

(x+R)(2x+5)0①

B，得：（-2+R）（-4+5）0

R2②

设这一不等式的解集为B，则由-2

注意到（x+R）(2x+5)=0的根为x1=-R，∴

，

(1)

当时,由①得,即此时-2B

(2)

当∵{x|x

∴

A∩B,x

时,由①得Z}={-2}

③

于是由②、③得所求实数的取值范围为[-3，2）

点评：在这里，考察的重点是含有参数的成员不等式，设含参不等式2x2+(2R+5)x+5R0的解集为B，而后首先由-2必要的R的取值范围，进而立足于这一范围。以含参不等式左边（x+R）(2x+5)=0的根的大小为主线引入探讨。

B获得一个

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首先由整数元素的附属获得问题存在的必要条件，而后立足于必要条件对应的范围进行探讨，这是解决含数元素的集合问题的基本策略。

二、致力于“化生为熟〞

化生为熟是解题的通用方略，正如一位俄罗斯女数学家所言：解题，就是把“要解的题〞转化为“已经解过的题〞。而对所给出的具体问题，如何化生为熟？则要根据问题的具体的条件与目标来决定问题转化的手段方向。

1、化生为熟之一：转化为二次不等式或整式不等式问题。

二次不等式是我们所熟知的事物，因此，假使问题可转化为二次不等式或整式不等式问题，则解题便胜券在握。

例1.

若不等式

的解集为（-∞，1）∪（2，+∞），求a的取值范围。

分析：注意到所给不等式，故想到利用分式不等式的基本变形转化为整式不等式的解集问题。

解：不等式

[（a-1）x+1](x-1)0

[（1-a）x-1](x-1)0①

解法一:（分类探讨）：由已知不等式解集的形式得：1-a0且1-a≠1

以下以

①式左边多项式的根与1的大小为主线展开探讨：

（1）当01-a1即0a1

时，

∴由①得x1

或

∴由题设条件得

（2）当1-a1，即a0时

∴由①得

或x1这与题设条件不符

于是由（1）、（2）所得a的取值范围为

{

}

解法二：（利用对一元二次不等式解集的认知）

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原不等式[（1-a）x-1](x-1)0

又原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根

∴

∴所求a

的取值范围为

点评：这里“化生为熟〞的手段是“不等式的等价变形〞一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）0的解集为（-∞，x1）∪(x2,+∞),则必需（1）ac0

（2）x1为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；x2为方程ax+b=0或cx+d=0的实根；

例2.

若不等式

的解集为(-3,-1)∪[2,+∞）,求实数a的值

分析:对于这类不等式或比较繁杂的分式不等式问题,例2的解题思路能起重要的启示作用.

解:原不等式

(x+a)(x2+4x+3)≥0(x2+4x+3≠0)

(x+1)(x+3)(x+a)≥0(x≠-1,且x≠-3)

设f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x≠-3且x≠-1)则原不等式

f(x)≥0

a=-2

由题设知x=2为方程f(x)=0的根,∴f(2)=0∴所求实数a=-2

点评：利用一元二次不等式ax2+bx+c0的解集与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。

2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题，

集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。

例1.若对

中的一切实数a，

满足不等式b的x

也满足不等式,求正实数b的取值范围。

分析：注意到各不等式的解组成集合，为将已知的两不等式的“解〞之间的关系转化为两个集合之间的关系，首先从化简两个不等式的解集切入

解：设集合A={x||x-a|b}

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则：A=(a-b,a+b)

（1）

设集合

则：

由题设知A≤B，

（2）

故由①，②得：

注意到

又

∴由(3)

得(5)

同理由(4)得

(6)

再注意到这里b0,于是由(5)、（6）得b

的取值范围为

。

点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。

例2.要使满足关于x的不等式2x2-9x+a0（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式x2-4x+30和x2-6x+80中的一个，求实数a的取值范围。

分析：根据例1的解题经验，我们以求出有关不等式的解集切入，而后利用有关解集之间的关系突破。

解:设A={x|x2-4x+30}，则A=（1，3）；B={x|x2-6x+80},则B=（2，4）；∴A∪B=（1，4）

设C={x|2x2-9x+a0},则由题设得

C又设f(x)=2x2-9x+a

A∪B，即C

（1，4）

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则f(x)

的图象是以直线∴由

C

为对称轴且开口向上的抛物线

(1,4)

（1，4）得{x|f(x）

0}

于是可知实数a

的取值范围为

点评：上述解答进行了两次转化：第一次是转化为集合间的关系：C在

C在望。

配伍练习：已知三个不等式：（1）|2x-4|5-x;

A∪B；其次次是注意到2x2-9x+a0为二次不等式，于是

A∪B=（1，4）的基础上，进一步将问题转化为已知一元二次不等式的解集，而这样的问题恰是我们所熟悉的，于是解题胜利

（2

）

（3）2x2+mx-10，

若同时满足不等式（1）、（2）的x也满足（3），求m的取值范围。

点拨：此题的题面与例2颇为相像，若设不等式（1）、（2）、（3）的解集分别为A、B、C，则转化为有关集合间的关系，也颇为顺畅；只是在立足于

A∩B

3、化生为熟之三：转化为二次不等式

在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件乃是我们正面解决含参不等式问题的唯一的理论依据:ax2+bx+c0对任何xax2+bx+c0对任何x

而与上述不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的,是在其基础上滋生出的关于最值的命题：μ＜f(x)恒成立μ＞f(x)恒成立

例1.

μ＜f(x)的最小值或μ≤f(x)的下确界μ＞f(x)的最大值或μ≥f(x)的上确界

R恒成立R恒成立

a0且Δ=b2-4ac0;a0且Δ=b2-4ac0;

C实施其次次转化时会遇到新的状况，如何完成其次次转化？请同学们实践中品味和感知。

（1）若对于任意XR恒有,求m的值

（2）已知不等式|x+1|+|x-2|m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

解：

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（1）注意到对任意xR，总有x2+x+10

∴对任意x

R恒成立

对任意x对任意x

R恒有3x2+2x+2m（x2+x+1）成立R恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)0成立

注意到m

N*，∴m=1

（2）设f(x)=|x+1|+|x-2|,则f(x)m对一切实数x恒成立

mf(x)的最小值（1）

∵f(x)=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3(当且仅当-1≤x≤2时等号成立)∴f(x)的最小值为3（当且仅当x

[-1，2]时所得）（2）

于是由（1）（2）得m3

，即所求的取值范围为

。

例2.

若不等式

对一切xR恒成立，求实数的取值范围。

分析：为化生为熟，首先考虑在不等式的等价变形过程中去掉绝对值，而后再转化为二次三项式大于0（或小于0恒成立问题）。

解：不等式

注意到

∴原不等式对一切x对一切x

R恒成立

R恒成立

-5(3x2-2x+3)x2+2mx+15(3x2-2x+3)

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∴所求m的取值范围为（-11，9）

点评：在原不等式等价变形过程中，化整为零，使各个部分都归结为二次型不等式恒成立的问题，这也是在应用解决数学问题通用的化整为零，灵活机动的战略战术.

例3.已知三个关于x的不等式：(1)|2x-4|5-x;

(2)

(3)2x2+mx-10

;

若同时满足不等式（1）（2）的x也满足不等式（3），试求m的取值范围。

分析：本例的条件与结论与例2颇为相像，于是考虑由例2的解题思路切入并延伸。

解：将（1）（2）联立，得：

0≤x1或2x3

设不等式（1）的解集为A，（2）的解集为B（3）的解集为C则有A∩B=[0，1）∪（2，3）

由题设知

∴再由题设知，当x

当x

，即[0，1）∪（2，3

）

C

[0，1）∪（2，3）时，不等式（3）恒成立

[0,1）∪[2,3]，时，不等式2x2+mx-10恒成立

注意到当x=0时，2x2+mx-10显然成立，∴当x

[0,1）∪[2,3]，时，不等式2x2+mx-10恒成立

设

则由1）得mg(x)恒成立

mg(x)的最小值或m≤g(x)的下确界

注意到g(x)在（0，1）∪(2,3)内为减函数∴g（x）g(3)

又

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g(x)

的下确界为

∴由（2）（3

）得

，即所求m

的取值范围为

点评：题面与第一步的转化都与前面的例2“有着惊人的相像之处〞，但是其次步的转化却有着明显的差异：前者是转化为已知二次函数f(x)0

的解区间但“神不似〞的问题

三、借重于“变量转换〞

当我们面对生疏繁杂的无理函数或复合函数问题时，循着哲学中“量变促质变〞的原理，可借重“变量替换〞这一量的变换，促使有关问题向其对立的方向转化，转化为我们所熟悉的有理函数或比较简单的问题，以“量变〞促发“质变〞，乃是我们解决比较繁杂问题的基本策略之一.

（1，4）的充要条件，后者是转化为含参不等式的恒成立问题，大家在解题与总结时要注意比较品悟，这些“形似〞

例1.若不等式

的解集为（4，b），求a,b的值

分析：此类问题在一元二次不等式板块中经常出现。注意到我们对一元二次不等式的认知：ax2+bx+c0的解集为（x1,x2）

a0且x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。

a0且x1,x2为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。

ax2+bx+c0的解集为（-∞,x1）∪（x2,+∞）

于是由此不等式所含的数

和ax想到：借助换元，将所给问题，转化为一元二次不等式问题。

解：设

t=，则t≥0

且原不等式

∴由题设知关于t

的不等式(t≥0)的解集为（2

，）

∴一元二次方程的两根为2

，

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∴由韦达定理得

由此解得

∴

点评：这里“化生为熟〞的手段是“换元〞，变量转换，是使问题完成从“无理〞向“有理〞的质的转变的重要手段.

例2．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是减函数，当x围.

[0

，]时，f（sin2x-msinx+m）+f(-2)0恒成立，求m的取值范

分析：注意到这里含有抽象的函数符号“f〞，故首先想到通过“反用〞单调性的定义脱去“f〞，将所给问题转化为普通的不等式恒成立的问题；又注意到“f〞之下是关于sinx的二次三项式，为使有关不等式以及解题过程双双简明，考虑其次次转化时运用变量转换.

解：由f(x)为奇函数得-f(-2)=f(2)

∴f(sin2x-msinx+m)-f(-2)当x[0，]时恒成立

f(sin2x-msinx+m)f(2)当x[0，]时恒成立①

令sinx=t,则由x[0，]得0≤t≤1

[0，1]时恒成立②

∴由①得f(t2-mt+m)f(2)当t又∵f(x)在R上为减函数，

∴由②得t2-mt+m2当t

m（1-t）2-t2当t

[0，1]时恒成立

[0，1]时恒成立③

当t=1时，对任意mR都有m(1-t)2-t2成立④

当t≠1时，令

g(x)=(0≤t1)

则由③得mg(t)（0≤t1）恒成立

mg(t)(0≤t1)的最小值⑤

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∵

g(t)=

=

易知g(t)在[0,1）内递增，∴g(t)有最小值g(0)=2∴由⑤得m2⑥

于是由④，⑥得所求m的取值范围为（-∞，2）

点评：回想上述解题过程，在脱去符号“f“之后，首先借助换元，促使关于sinx的二次不等式恒成立的问题，转化为关于t的二次不

等式恒成立的问题，完成化繁为简的第一次转化；在此基础上进而由对③式的“主元转换〞切入，使问题进一步转化为

g(x)=（0≤t1）的值域问题，从而完成了化生为熟的其次次转化.

解决比较繁杂的函数问题，问题转化往往不能一步到位，此例的解法，为我们提供了一个两次转化，自然顺畅的解题示范，请大家细细品悟.

四、尝试于“主元转换〞

在数学问题中，主要变量之外的其它变数都称为参数（参量），然而，“主要〞与“次要〞是辩证的统一：它们一方面相互对立，另一方面又相互依存，相互联系和相互贯穿，因此，在数学的解题研究中，当我们以熟悉的“主元〞切入而面临繁难的境地时，则可考虑利用“主元〞与“参数〞之间的辩证关系实施“主元转换〞；尝试以原来的参数作为“主元〞进行考察，从而以全新的角度审视和分析问题，解题由此而引入新的境地，获得简明的解题思路与解题过程便在情理之中了.

例1.假使不等式2x-1m（x2-1）对于m

分析：注意到这里限定m的范围，所以若将已知不等式视为关于m的一次型不等式，则所给问题便转化为：已知关于m的一次型不等式在m

解：原不等式f(m)=(1-x2)m+2x-1

则f(m)为m的一次函数或常数函数，其几何意义为直线，于是原不等式对任意m

[-2，2]成立

（1-x2）m+(2x-1)0

[-2，2]上恒成立，求其系数中所含x的取值范围，于是，利用一次函数的单调性便可轻易破解

[-2，2]成立，求x的取值范围

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∴x

∈

点评：上述解法的详细过程为分类探讨:（i）当1-x20

-1x1时,f(m)在[-2,2]为增函数

∴由f(m)0(-2≤m≤2)得

f(-2)0

(ii)当1-x20

x-1或x1时,f(m)在[-2,2]上为减函数

∴由f(m)0(-2≤m≤2)得

(iii)当1-x2=0

x=1时

当x=1时f(m)=10

当x=-1时f(m)=-30不成立,

综上(i)(ii)(iii)得所求的x

的取值范围为

例2.已知对于满足p=16sin3α,且α

分析:由题设易得p

[-,]的所有实数p,不等式log22x+plog2x+12log2x+p恒成立,求实数x的取值范围.

[-2,2],所给不等式为log2x的二次不等式,也可视为P的一次型不等式,由此想到以P为主元考察并转化问题.

解：由P=16sin3

α,

又不等式log22x+plog2x+12log2x+p

log22x+(P-2)log2x+(1-P)0(以x为主元)

①

（log2x-1）P+（log22x-2log2x+1）0(以P为主元)②

设f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2③注意到当log2x=1即x=2时原不等式不成立

故f(p)为p的一次函数，并且由①②得所给问题等价于f(p)在区间[-2，2]上恒大于0

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∴所求实数x

的取值范围为

点评：在这里不可忽略考察（3）中P的关系log2x-1=-0的料情形，事实上，当log2x-1=0即x=2时原不等不成立，故这里x≠2，即这里的f(p)不存在为常数求的情形

若a,b[-11]且a≠b

，则有

（1）判断f(x)在区间[-1，1]的单调性；

（2

）解不等式

（3）若f(x)≤m2-2am+1对所有x

[-1，1]，a

[-1,1]恒成立，求m的取值范围。

分析：注意到这里f(x)为轴象数，故（1）的数解只能运用数的单调性定义，而f(x)的单调性一经确定，便为（2）的推理以及（3）的转化奠定理论基础。

解：（1）设x1,x2

[-1,1]且x1x2，则x2-x10

并且由题设得

∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)∴f(x)在区间[-1，1]上的增区数。

（2）注意到f(x1)定义域为[-1，1]，且f(x)在用区间[-1，1]递增，

∴利用增数定义为

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∴原不等式的解集为

(3)由(1)知f(x)在闭区间[-1,1]上为增函数①∴f(x)≤m2-2am+1在x

[-1,1],

[-1,1]上恒成立②

m2-2am+1(-1≤a≤1)≥f(x)(-1≤x≤1)③m2-2am+1≥f(1)在am2-2am+1≥0在a(-2m)a+m2≥0在a

[-1,1]上恒成立

[-1,1]上恒成立(以m为主元④[-1,1]上恒成立(以m为主元⑤

当g(a)=(-2m)a+m2，则g(a)为a的一次函数⑥∴由（5）（6）得g(a)≥0在a

g(1)≥0且g(-1)≥0m≤-2或m≥2

[-1,1]上恒成立

∴所求m的取值范围为（-∞,-2]∪[2,+∞）

点评：这里的解题经历三次视角的转化：第一次是由①到②，将f(x)在给定区间上递增，视为相关不等式在给定区间上恒成立；其次次是以②到③，将不等式与f(x)的最大值建立联系；第三次是从④到⑤，将关于m的二次不等式视为关于a的一次型不等式，由此，解题一步步转化，一步步走向熟悉与简明.

五、练习（高考真题）

1、在R上定义运算：xy=x(1-y),若不等式（x-a）(x+a)1对任意实数x成立，则（）

A．-1a1B.0a2C.

2、已知m

D.

R，设P：x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a[-1，1]恒成立；Q

：函数

在（-∞，+∞）上有极值，求使P正确且Q正确的m的取值范围。

3、函数y=f(x)在区间（0,+∞）内可导，导函数f′(x)是减函数，且f′(x)0，设x0

（0，+∞），y=kx+m是曲线y=f(x)在点（x0f(x0)）处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m

（1）用x0f(x0),f′(x0)表示m；（2）证明：当x

（0，+∞）时，g（x）≥f(x)；

（3）若关于x

的不等式的关系。

分析与解答：1、

在[0，+∞）上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a与b所满足

分析：注意到我们对上面定义的陌生，故首先想到此后题对运算的定义切入，将有关不等式转化为普通不等式：

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由所给定义（x-a）(x+a)1对任意x

（x-a）(1-x-a)1对xx2-x+(1-a2+a)0对xΔ=1-4（1-a2+a）04a2-4a-30

R恒成立R恒成立

R成立

2、

故应选C

分析：由P正确且Q正确推出m的范围

首先需要寻觅命题P与命题Q成立时，变量m所满足的等价条件，故从命题P、Q的转化切入。

解：由x1,x2为方程x2-ax-2=0的两个实根，得x1+x2=a，x1x2=-2

∴命题P正确不等式

对任意实数a[-1，1]成立（1）

∵-1≤a≤1,∴8≤a2+8≤9,

∴由（1）得命题P正确

|m2-5m-3|≥3

m2-5m-3≤-3或m2-5m-3≥3m≤-1或0≤m≤5或m≥6

（-∞，-1]∪[0，5]∪[6，+∞）时，命题P正确（2）

即当m

又

f′(x)的图象是开口向上的抛物线

∴要使f(x)在（-∞，+∞）上有极值，只需f′(x)的最小值小于零

m-1或m4

（-∞，-1）∪（4,+∞）时,命题Q正确（3）

即当m

于是由（2）、（3）知，当命题P、Q同时正确时，m的取值范围由（-∞，-1）∪（4,5]∪[6，+∞）。

点评：在这里命题Q的转化：注意到f(x)在R上可导，所以f（x）在R上存在极值，只需f＇(x)可取正值、负数与零值，又f＇（x）是二次项系数为正数的二次函数，且在R上连续，故只f＇(x)的最小