不动点定理及其应用

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摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给

出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.

关键词不动点;不动点定理;Banach空间

FixedPointTheoremsandItsApplications

AbstractThefixedpointtheoremisoneofimportanttoolsin

studyingtheexistenceanduniquenessofsolutiontofunctionalequation.Inthispaper,thefixedtheoreminlinearfunctionalanalysisanditsapplicationsareintroducedandthecorrespondingexamplesaregiven.Meanwhile,theBrouwerandLeray-Schauderfixedpointtheoremsarealsoinvolved.

KeyWordsFixedpoint,Fixedpointtheorem,BanachSpace

不动点定理及其应用

0引言

在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论

[1-3]

.而在非线性泛函中是

研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是大量存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具.下面给出不动点的定义.

定义0.1设映射T:X?X,若x?X满足Tx?x,则称x是T的不动点.即在函数取值的过程中,有一点x?X使得Tx?x.

对此定义,有以下理解.

1）代数意义：若方程Tx?x有实数根x0,则Tx?x有不动点x0.

2）几何意义：若函数y?f?x?与y?x有交点?x0,y0?则x0就是y?f?x?的不动点.

在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,探讨解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容.对于大量方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.

本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以摸索归纳.

1Banach不动点定理及其应用1.1相关概念

首先介绍本文用的一些概念.

定义1.1.1设X为距离空间,?xn?是X中的点列,若对任给的??0,存在

[3]

N?0,使得当m,n?N时,??xm,xn???.则称点列?xn?为基本点列或Cauchy点列.

1

假使X中的任一基本点列均收敛于X中的某一点,则称X为完备的距离空间.

定义1.1.2定义在线性空间上的映射统称为算子.

[3]

定义1.1.3给定距离空间?X,??及映射T:X?X,若x?X满足Tx?x，则

[3]

称x是T的不动点.

1.2Banach不动点定理

定理1.2.1设X是完备的距离空间，距离为?.T是由X到其自身的映

[3]

射，且对任意的x,y?X,不等式??Tx,Ty?????x,y?成立,其中?是满足不等式

0???1的常数.那么T在X中存在唯一的不动点.即存在唯一的x?X,使得Tx?x.

证明在X中任意取定一点x0,令

x1?Tx0，x2?Tx1，?，xn?1?Txn，?首先证明?xn?是X中的一个基本点列.由于

??x1,x2????Tx0,Tx1?????x0,x1?????x0,Tx0?；??x2,x3????Tx1,Tx2?????x1,x2???2??x0,Tx0?；?????????于是

??xn,xn?1???n??x0,Tx0?，n?1,2,3,?

??xn,xn?p????xn,xn?1????xn?1,xn?2??????xn?p?1,xn?p?

???n??n?1????n?p?1???x0,Tx0?

?n?1??p??n??x0,Tx0????x0,Tx0?.?1??1??又0???1,故?n?0?n???,即?xn?是基本点列.由于X完备,所以由定义1.1.1

2

知?xn?收敛于X中某一点x.另外,由??Tx,Ty?????x,y?知,T是连续映射.在

xn?1?Txn中,令n??,得Tx?x,因此x是T的一个不动点.

下面证明唯一性.设另有y使y?Ty,则

??x,y????Tx,Ty?????x,y?,

考虑到0???1,则有??x,y??0,即x?y.

定理1.2.2设T是由完备距离空间X到其自身的映射,假使存在常数

[3]

?:o???1以及自然数n0使得

00?(Tnx,Tny)???(x,y)(x,y?X)?1?

那么T在X中存在唯一的不动点.

证明由不等式?1?,Tn满足定理1.2.1的条件,故Tn存在唯一的不动点x0.

00现在证明x0也是映射T唯一的不动点.事实上

Tn(Tx0)?Tn?1(x0)?T(Tnx0)?Tx0

000可知,Tx0是映射Tn的不动点.由Tn不动点的唯一性,可得Tx0?x0,故x0是映射

00T的不动点.若T另有不动点x1,则由

Tnx1?Tn?1Tx1?Tn?1x1???Tx1?x1

000知x1也是Tn的不动点.仍由唯一性,可得x1?x0.

01.3Banach不动点定理的应用

1.3.1在探讨积分方程解的存在性与唯一性中的应用

例给定积分方程

x?t??f?t????K?t,s?x?s?ds?2?

ab其中f?t?是?a,b?上的已知连续函数,K?t,s?是定义在矩形区域a?t?b,a?s?b上的已知连续函数,证明当?足够小时（?是常数）,?2?式在?a,b?上存在唯一连

3

续解.

证明在C?a,b?内规定距离

??y1,y2??maxy1?x??y2?x?

a?t?b令?Tx??t??f?t????K?t,s?x?s?ds

ab则当?充分小时,T是C?a,b??C?a,b?的压缩映射.因

??Tx1,Tx2??max?Tx1??t???Tx2??t?

a?t?b??max?K?t,s??x1?s??x2?s??dsa?t?bab??max?K?t,s?x1?s??x2?s?ds

a?t?bab??M??x1,x2?,其中M?max?K?t,s?ds,从而当?M?1时,T是压缩映射,则由定理1.2.1知方

a?t?bab程对于任一f?t??C?a,b?解存在并且唯一.

例考虑微分方程初值问题

?dy?dx?f?x,y?,??3??yx?x?y0,0?其中f?C?R2?,且f?x,y?关于y满足Lipschitz条件,即存在L?0使

f?x,y??f?x,y'??Ly?y'，x,y,y'?R?4?

则初值问题?3?在R上存在唯一解.

证明微分方程(3)等价于积分方程y?x??y0??f?t,y?t??dt，

x0x4

取??0,使L??1.在C?x0,x0???上定义映射

?T???x??y0??f?t,y?t??dt,

x0x则由(4)式得

T??T?=maxx0?x?x0??x0???f?t,??t???f?t,??t????dt

xx?maxx0?x?x0??x0?L??t????t?dt

?L????,?,??C?x0,x0???，

已知L??1,故由定理1.2.1知存在唯一的连续函数?0?C?x0,x0???,使?0?T?0,即

?0?x??y0??f?t,?0?t??dt，

x0x且?0?x?在?x0,x0???上连续可微，且y??0?x?就是微分方程?2?在?x0,x0???上的唯一解.

1.3.2在数列求极限中的应用

由定理1.2.1的证明可知,若f是?a,b?上的压缩映射,则对?x1??a,b?,由递

xn为f的唯一不动点.推公式xn?1?f?xn?确定的数列?xn?收敛,且x0?limn??例证明：若f?x?在区间I??a?r,a?r?上可微,f??x??a?1且

[5]

f?a??a??1?a?r，任取x0?I.令x1?f?x0?,x2?f?x1?,??,xn?1?f?xn?,则

limxn?x*,x*为方程x?f?x?的根（即x*为f?x?的不动点）.

n??证明已知x0?I,设xn?I则

xn?1?a?f?xn??f?a??f?a??a?f'???xn?a?f?a??a（??(xn,a)）

5

由已知得xn?1?a?ar??1?a?r?r

即xn?1?I,从而得知,一切xn?I.由微分中值定理,存在?在xn与xn?1之间,即

??I使得

xn?1?xn?f?xn??f?xn?1??f'???xn?xn?1?axn?xn?1,?0?a?1?.

这说明xn?1?f?xn?是压缩映射,所以?xn?收敛.又因f?x?连续.在xn?1?f?xn?里取极限知?xn?的极限为x?f?x?的根.

aax2n?1,n?2,3??;求证数列?xn?收敛例设x1?,a??0,1?,xn??222[9]

并求其极限.

ax2a?a?证明易知0?xn?.则我们在区间?0,?上考虑函数f?x???,对

222?2?x21x221a?a???x1?x2x1?x2?x1?x2?x1,x2??0,?有f?x1??f?x2??2222?2?a??a??0,1??.即f?x?是?0,??上的压缩映射.从而?xn?收敛于方程的解.设

?2?ax20x0??得x0?1?a?1.

221.3.3在数学建模中的应用

不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点〞.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定搭理使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.

引理设f?x?在?a,b?上连续，且f?a?,f?b?异号,则f?x?在?a,b?内

[6-7]

至少存在一点c使得f?c??0.

6

定理设f?x?是定义在?a,b?上的连续函数,其满足a?f?x??b，

[6-7]

则在?a,b?上至少存在一个不动点x0,即f?x0??x0.

例日常生活中常有这样一个经验：把椅子往不平的地面上放,寻常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.

模型假设：对椅子和地面做一些假设：

1）椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形.2）地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现休止点（没有像台阶那样的状况）.即地面可视为数学上的连续曲面.

3）对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.

4）椅子转动时中心不动.

模型分析：在图1中椅脚连线为正方形ABCD,对角线AC与x轴重合,椅子绕中心点O旋转角度?后,正方形ABCDB'B转至

A?B?C?D?的位置,所以对角线AC与x轴A'C夹角?表示了椅子的位置.

其次要把椅脚着地用数学符号表来.假使用某个变量表示椅脚与地面的

?OAx示出竖直

C'DD'距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量?的函数.

设f???为A,C两脚与地面距离之和，g???为B,D两脚与地面距离之和.由假

7

设2）知,f???和g???都是连续的函数.由假设3）,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的?，f???和g???中至少有一个为零.即f???g???=0，当??0时不妨设g????0,f????0.从而数学问题就转化为求证存在?0,使

???f??0??g??0??0,?0????.

2??模型求解：令h????f????g???.因

????????h?0??f?0??g?0??0,h????f???g???0.

?2??2??2???则由定理知,必存在?0???0,?,使h??0??0,即f??0??g??0??0.

?2?1.3.4在解线性方程组中的应用

例设有线性方程组x?Cx?b其中C??cij?是n?n方阵，

[1]

b??b1,b2,?,bn?是未知向量,证明：若矩阵C满足sup?cij?1,i?1,2,?,n，则

Tij?1n方程x?Cx?b有唯一解.

xi?yi,则X是完备的度量证明设X是Rn（或Cn）,定义度量??x,y??max1?i?n空间.

作映射T:X?X,Tx?Cx?b,x?X.若

x??x1,x2,?,xn??X,y??y1,y2,?,yn??X,

TT??n?????cx?b?cy?b则??Tx,Ty??max???ijji?ijji???1?i?n?j?1???

n?max?cijxj?yj?max?cij??x,y??a??x,y?

1?i?nj?11?i?nj?1nn而a?max?cij?1,所以T是X上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的x*?Rn,

1?i?nj?1使得x*?Cx*?b.

8

2Leray—Schauder不动点定理2.1相关概念

定义2.1.1称映射f:U?Y在x0?U处连续,是指对任给??0,存在??0,

[3]

当x?U且x?x0??时,恒有f(x)?f(x0)??.若f在U内每一点连续,则称f在

U上连续.

定义2.1.2设X,Y为线性赋范空间,D?X,称映射F:D?Y为紧映射,

[4]

假使F将D中的任何有界集S映成Y中的相对紧集F(S),即F(S)是Y的紧集.假使映射F是连续的,则称F为紧连续映射,或全连续映射.

定义2.1.3设M是U的一个子集,假使对任意的y1,y2?M以及满足

[3]

0???1的任意实数?,元素?y1?(1??)y2仍属于M,则称M是U的凸集.假使M既是闭集且凸集,则称M是U中的闭凸集.

2.2Leray—Schauder不动点定理及应用

定理2.2.1（Brouwer不动点定理）设?是Rn中的有界闭凸子集，??表示?的相对边界；设f?C(?,Rn)并且满足f(??)??.则在?上必有不动点.

例2.2.1设B是实l2空间的闭单位球,令f:B?B为

?f?x????1?x,?1,?2,??,x???k??B.

2??则f在B上连续,但f在B上却没有不动点（否则，存在x?B，使f?x??x.由此推得?1?1?x,?2??1,?,再由x?l2得x?0,这又导致f?x???1,0,0,???x，得到矛

2盾）.

在应用中,往往涉及到无穷维空间（如C?a,b?,L2?a,b?）上的算子,由上例可知，Brouwer不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维

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空间的有界闭集即紧集,若将Brouwer不动点定理中的“有界闭凸集〞改为“紧凸集〞，则可利用Leray—Schauder度理论,就可以说明下